Câu hỏi Ôn tập cuối năm

a. Định nghĩa 1 : (Hàm số sin): Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với số thực sinx.

sin: R -> R

x -> y = sinx.

Hàm số y = sinx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1;1].

b.Định nghĩa 2 : (Hàm số cosin): Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với số thực cosx.

cos : R -> R

x -> y = cosx.

Hàm số y = cosx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1;1]

c. Định nghĩa 3: (Hàm số tang): Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức

tan : D -> R

x -> y = tanx.

Hàm số y = tanx có tập xác định: 

Tập giá trị của hàm số y = tanx là R.

d. Định nghĩa 4 : (Hàm số cotang): là hàm số được xác định bởi công thức

cot : D -> R

x -> y = cotx.

Hàm số y = cotx có tập xác định D = {x ∈ R \ x ≠ kπ, k ∈ Z}. Tập giá trị của hàm số y = cotx là tập R.

a. Hàm số y = sinx và y = cosx là hàm số tuần hoàn có chu kì là 2 π.

b. Hàm số y = tanx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn có chu kì là π.

a) Cách giải các phương trình lượng giác cơ bản:

+ Phương trình sin x = a.

Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho sin α = a.

Khi đó phương trình trở thành sin x = sin α

⇒ Phương trình có nghiệm: 

+ Phương trình cos x = a.

Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho cos α = a.

Khi đó phương trình trở thành cos x = cos α.

⇒ Phương trình có nghiệm: x = ±α + k2π (k ∈ Z).

+ Phương trình tan x = a.

Tìm một cung α sao cho tan α = a.

Khi đó phương trình trở thành tan x = tan α.

⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).

+ Phương trình cot x = a

Tìm một cung α sao cho cot α = a.

Khi đó phương trình trở thành cot x = cot α.

⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).

b) Cách giải phương trình a.sin x + b.cos x = c.

+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 ⇒ Phương trình lượng giác cơ bản .

+ a ≠ 0 và b ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Ta giải phương trình trên như phương trình lượng giác cơ bản.

+ Cho tập A gồm n phần tử.

Mỗi hoán vị của A là kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A.

+ Số các hoán vị: Pn = n! = 1.2.3.4.5….n.

Ví dụ: Số hoán vị của tập gồm 6 phần tử là: P6 = 6! = 720.

Số hoán vị của tập gồm 3 phần tử là: P3 = 6.

+ Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

+ Số tổ hợp chập k của n phần tử:

+ Ví dụ:

- Số chỉnh hợp chập 3 của 5: 

- Số tổ hợp chập 3 của 5: 

- Chọn ngẫu nhiên 5 bông hoa trong số 8 bông hoa khác nhau để cắm vào 5 lọ khác nhau:

⇒ Có  cách chọn.

- Chọn ngẫu nhiên 5 bông hoa trong số 8 bông hoa khác nhau

⇒ Có  cách chọn.

Công thức nhị thức Niutơn:

(a+b)n = Cn0 an + Cn1an-1 b + … Cnkan-k bk + ... + Cnn-1a bn-1 + Cnn bn.

Chú ý: số hạng T(k+1) =Cnk a(n-k)bk được gọi là số hạng tổng quát của khái triển (a+b)n.

Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu Ω chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Kí hiệu n(Ω), n(A) theo thứ tự là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử và số phần tử của A. Ta gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A) là tỉ số sau:

+ Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì ta làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 .

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1. Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1.

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với n ∈ N*.

+ Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có: n3 + 5n chia hết cho 6.

Chứng minh: Đặt P(n) = n3 + 5n.

Với n =1 ⇒ P(1) = 6 ⋮ 6

Giả sử (Pn) chia hết cho 6 đúng với n=k ≥1, nghĩa là, ta có:

P(k) = (k3 + 5k) ⋮ 6.

Ta có: P(k+1) = (k+1)3 + 5(k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 5k + 5 = k3 + 5k + 3(k2 + k) + 6

Mặt khác, theo giả thiết quy nạp ta có: k3 + 5k ⋮6.

Hơn nữa k2 + k = k(k+1) : 2 ( hai số tự nhiên tiếp k, k +1 phải có một số chẵn do k(k+1):2).

Do vậy P(k+1)⋮6. Tức mệnh đề đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp, ta có P(n) = n3 + 5n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*.

+ Định nghĩa: cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

(un): un + 1 = un + d

+ Tổng n số hạng đầu tiên của CSC: