Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 3

1. a) Trong các phương trình trên, phương trình bậc hai một ẩn là: \( - {x^2} - 7x - 6 = 0;\)\({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\).

     • Với phương trình \( - {x^2} - 7x - 6 = 0,\) ta có \(a =  - 1,b =  - 7,c =  - 6\).

     • Với phương trình \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\), ta có \(a = 1,b = 2\sqrt 2 ,c = 2\).

     b) • Giải phương trình \( - {x^2} - 7x - 6 = 0,\) ta thấy \(a - b + c = 1 - \left( { - 7} \right) + 6 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x =  - 1\) và \(x =  - 6\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(\left\{ { - 1; - 6} \right\}\).

     • Giải phương trình \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\), ta được: \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0\) hay \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2} = 0\)

Suy ra \(x - \sqrt 2  = 0\) nên \(x = \sqrt 2 \).

Vậy phương trình có nghiệm là \(\left\{ {\sqrt 2 } \right\}\).

2. Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là \(x\) (g/cm3) \(\left( {x > 1} \right).\)

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là \(x - 1\) (g/cm3).

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: \(\frac{{880}}{x}\) (cm3).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: \(\frac{{858}}{{x - 1}}\) (cm3).

Theo đề bài, thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3 nên ta có phương trình: \(\frac{{858}}{{x - 1}} - \frac{{880}}{x} = 10.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{858}}{{x - 1}} - \frac{{880}}{x} = 10\)

\(\frac{{858x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{880\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{10x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)

\(858x - 880\left( {x - 1} \right) = 10x\left( {x - 1} \right)\)

\(858x - 880x + 880 = 10{x^2} - 10x\)

\(10{x^2} + 12x - 880 = 0\)

\(5{x^2} + 6x - 440 = 0\)

Giải phương trình trên ta được: \({x_1} =  - 10;\,\,{x_2} = 8,8.\)

Ta thấy chỉ có giá trị \({x_2} = 8,8\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là \(8,8\) g/cm3; khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là \(8,8 - 1 = 7,8\) (g/cm3).

     a) Thay \(x =  - \sqrt 3 ,y = 1\) vào hàm số, ta được: \(\left( {m - 1} \right).{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 1\) hay \(m - 1 = \frac{1}{3}\),

suy ra \(m = \frac{4}{3}\).

Vậy \(m = \frac{4}{3}\) thì được đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = \frac{4}{3}{x^2}\) đi qua điểm \(A\left( { - \sqrt 3 ;1} \right).\)

     b) Ta có bảng giá trị của hàm số \(\left( P \right):y = \frac{4}{3}{x^2}\) là

Do đó, đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = \frac{4}{3}{x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2;\frac{{16}}{3}} \right);\left( { - 1;\frac{4}{3}} \right);\left( {0;0} \right);\left( {2;\frac{{16}}{3}} \right);\)\(\left( {1;\frac{4}{3}} \right).\)

Từ đây, ta có đồ thị như sau:

     c) Thay \(x = 3\) vào hàm số \(\left( P \right):y = \frac{4}{3}{x^2}\), ta được: \(y = \frac{4}{3}{.3^2} = 12\).

Vậy điểm trên \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \(3\) là \(\left( {3;12} \right)\).

     d) Gọi điểm cần tìm là \(I\left( {{x_0};2{x_0}} \right)\).

Thay vào \(\left( P \right):y = \frac{4}{3}{x^2}\), ta có: \(2{x_0} = \frac{4}{3}x_0^2\) hay \(\frac{{{x_0}}}{{x_0^2}} = \frac{2}{3}\) nên \(\frac{1}{{{x_0}}} = \frac{2}{3}\) suy ra \({x_0} = \frac{3}{2}\).

Vậy điểm trên \(\left( P \right)\) có tung độ gấp đôi hoành độ là \(I\left( {\frac{3}{2};3} \right)\).

     a) Với \(m = 2\), ta có: \({x^2} - 2x + 2 = 0\) hay \({\left( {x - 1} \right)^2} + 1 = 0\) (vô lí do \({\left( {x - 1} \right)^2} + 1 > 0\))

     Vậy với \(m = 2\) thì phương trình (1) vô nghiệm.

     b) Xét phương trình: \({x^2} - 2x + m = 0\) có \(\Delta ' = 1 - m\).

     Để phương trình (1) có nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0\) hay \(1 - m \ge 0\) nên \(m \le 1.\)

     Vậy phương trình có nghiệm khi \(m \le 1.\)

     c) Phương trình: \({x^2} - 2x + m = 0\) có \(\Delta ' = 1 - m\).

     Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) hay \(1 - m > 0\) nên \(m < 1.\)

     Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\).

     Lại có: \(x_1^3{x_2} + {x_1}x_2^3 - 2x_1^2x_2^2 = 5\)

                 \({x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - x_1^2x_2^2 = 5\)

                 \({x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} \right) - 2x_1^2x_2^2 = 5\)

                 \({x_1}{x_2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] - 2x_1^2x_2^2 = 5\)

Suy ra \(4m - 2{m^2} - 2{m^2} = 5\) hay \( - 4{m^2} + 4m - 5 = 0\)

Suy ra \( - \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) - 4 = 0\) hay \( - {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 = 0\).

Nhận thấy \( - {\left( {2m - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(m < 1.\)

Suy ra \( - {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 < 0\) với mọi \(m < 1.\)

Do đó, phương trình \( - 4{m^2} + 4m - 5 = 0\) vô nghiệm.

Vậy không có giá trị \(m\) thỏa mãn.

  1. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Ox.\] Ta có \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) nên \[OH = AH = \left| {--2} \right| = 2.\]

Do đó \[\Delta AOH\] vuông cân tại \[H,\] nên \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)

Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có: \[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\]

Suy ra \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 .\)

Gọi \[I\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[Ox,\] do đó \[I\left( {--2;{\rm{ }}2} \right).\]

Ta cũng chứng minh được \(\widehat {HOI} = 45^\circ \) và \(OI = 2\sqrt 2 .\)

Như vậy, phép quay thuận chiều \[90^\circ \] tâm \[O\] biến điểm \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) thành điểm \[I\left( {--2;{\rm{ }}2} \right).\]

2. Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp nên \[\widehat {A\,} + \widehat C = 180^\circ \] (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng \(180^\circ ).\) Suy ra \[\widehat C = 180^\circ  - \widehat {A\,} = 180^\circ  - 80^\circ  = 100^\circ .\] Xét \(\Delta ABD\) có \(\widehat {A\,} + \widehat {ABD} + \widehat {ADB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {ADB} = 180^\circ  - \left( {\widehat {A\,} + \widehat {ABD}} \right) = 180^\circ  - \left( {80^\circ  + 60^\circ } \right) = 40^\circ \].

Vì \[AD\,{\rm{//}}\,BD\] nên \[\widehat {DBC} = \widehat {ADB} = 40^\circ \] (so le trong).

Xét \(\Delta BCD\) có \(\widehat {C\,} + \widehat {CBD} + \widehat {BDC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {BDC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {C\,} + \widehat {CBD}} \right) = 180^\circ  - \left( {100^\circ  + 40^\circ } \right) = 40^\circ .\)