Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 4
5 câu hỏi
(1,5 điểm) Tìm \(x,y,z\) trong các tỉ lệ thức sau:
a)\(\frac{x}{{3,2}} = \frac{{2,5}}{{7,2}};\)
b) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = - 32;\)
c) \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}\) và \(x + y + z = 27.\)
Hướng dẫn giải
a) \(\frac{x}{{3,2}} = \frac{{2,5}}{{7,2}}\) do đó \(x = \frac{{2,5.3,2}}{{7,2}} = \frac{{10}}{9}\).
Vậy \(x = \frac{{10}}{9}\).
b) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = - 32\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{ - 32}}{8} = - 4\).
Do đó, \(x = 3.\left( { - 4} \right) = - 12\) và \(y = 5.\left( { - 4} \right) = - 20\).
Vậy \(x = - 12\) và \(y = - 20\).
c) \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}\) và \(x + y + z = 27.\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2} = \frac{{x + y + z}}{{4 + 3 + 2}} = \frac{{27}}{9} = 3\).
Do đó, \(x = 4.3 = 12;{\rm{ }}y = 3.3 = 9;{\rm{ }}z = 2.3 = 6\).
Vậy \(x = 12;y = 9;z = 6.\)
(1,5 điểm) Cho \(x,y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Ta có bảng sau:
a) Xác định hệ số tỉ lệ của \(y\) đối với \(x\).
b) Điền các giá trị còn thiếu để hoàn thiện bảng trên.
Hướng dẫn giải
a) Từ bảng ta có khi \(x = 9\) thì \(y = 10\) và \(x,y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có hệ số tỉ lệ của \(x\) và \(y\) là \(a = x.y = 9.10 = 90\) hay \(y = \frac{{90}}{x}\).
b) Ta có hệ số tỉ lệ \(a = 90\) nên ta được bảng sau:
(2,5 điểm)
3.1. Bạn Tùng mua 12 gói bim bim với giá 5 nghìn đồng một gói để khao các bạn tổ I. Bạn Huy cũng dùng số tiền như của bạn Tùng mua 6 gói bánh để khao các bạn tổ II. Tính giá tiền mỗi gói bánh mà bạn Huy mua.
3.2. Trong đợt quyên góp sách ủng hộ các bạn vùng lũ miền trung, số sách quyên góp được của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ với \(16;13;12.\) Tính số sách mỗi lớp quyên góp được biết rằng lớp 7A quyên góp nhiều hơn lớp 7C là \(12\) quyển.
Hướng dẫn giải
3.1.Gọi giá tiền một gói bạn Huy mua là \(x\) (nghìn đồng)
Vì số tiền mà bạn Tùng và Huy mua đồ là như nhau nên gói bánh, bim bim và giá tiền của nó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Do đó, ta có \(12.5 = 6x\) suy ra \(x = \frac{{12.5}}{6} = 10\) (nghìn đồng)
Vậy giá gói bánh bạn Huy mua là 10 nghìn đồng.
3.2. Gọi số sách quyên góp được của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(x;y;z\) (quyển).
Vì số sách quyên góp được của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ với \(16;13;12\) và lớp 7A quyên góp nhiều hơn lớp 7C là 12 quyển nên ta có: \(\frac{x}{{16}} = \frac{y}{{13}} = \frac{z}{{12}}\) và \(x - z = 12\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{{16}} = \frac{y}{{13}} = \frac{z}{{12}} = \frac{{x - z}}{{16 - 12}} = \frac{{12}}{4} = 3\)
Suy ra \(\frac{x}{{16}} = 3\) nên \(x = 48\); \(\frac{y}{{13}} = 3\) nên \(y = 39\); \(\frac{z}{{12}} = 3\) nên \(z = 36\).
Vậy số sách quyên góp được của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(48\) quyển, \(39\) quyển, \(36\) quyển.
(4,0 điểm)
4.1. Bạn Hòa đi học từ nhà đến trường bằng cách đi xe buýt dọc theo tuyến đường Lạch Tray và xuống xe tại một trong hai điểm dừng \(B\) hoặc \(C\), rồi từ đó đi bộ đến trường tại vị trí điểm \(D\). Bạn Hòa nên xuống đi bộ ở điểm dừng nào để quãng đường đi bộ đến trường ngắn hơn? Biết \(\widehat B = 50^\circ ,\widehat C = 65^\circ \).
4.2.Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\). Từ \(A\) kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H.\) Chứng minh rằng:
a) \(AH\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).
b) Kẻ \(BM \bot AC{\rm{ }}\left( {M \in AC} \right)\). Hãy so sánh \(BM\) với \(BC\) và \(BM\) với \(AC.\)
c) Kẻ \(CK \bot AB{\rm{ }}\left( {K \in AB} \right),\) \(AH\) cắt \(BM\) tại \(I\). Chứng minh \(K,I,C\) thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
4.1. Xét \(\Delta DBC\), có \(\widehat B < \widehat C{\rm{ }}\left( {50^\circ < 65^\circ } \right)\).
Do đó, \(BD > DC\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)
Vậy bạn Hòa nên xuống đi bộ ở điểm dừng \(B\) để quãng đường đi bộ đến trường là ngắn nhất.
4.2. a) Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) và \(AH \bot BC\) tại \(H\) nên \(AH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).
b) Ta có \(BM \bot AC{\rm{ }}\left( {M \in AC} \right)\) nên \(\Delta BMC\) vuông tại \(M\), có \(BC\) là cạnh huyền.
Do đó, \(BM < BC\) (quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)
Xét \(\Delta BMA\) vuông tại \(M\) có \(AB\) là cạnh huyền.
Do đó, \(BM < AB\) (1)
Lại có, tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MB < AC\).
c) Xét \(\Delta KBC\) và \(\Delta MCB\) có:
\(BC\): chung (gt)
\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tam giác \(ABC\) cân)
\(\widehat {BKC} = \widehat {BMC} = 90^\circ \) (gt)
Suy ra \(\Delta KBC = \Delta MCB\) (ch – gn)
Suy ra \(KB = MC\) (hai cạnh tương ứng).
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AK + KB\\AC = AM + MC\end{array} \right.\). Mà \(KB = MC\) (cmt)
Suy ra \(AK = AM\).
Xét \(\Delta KAI\) và \(\Delta MAI\), có:
\(AI\) chung (gt)
\(AK = AM\) (cmt)
\(\widehat {AKI} = \widehat {AMI} = 90^\circ \) (gt)
Suy ra \(\Delta KAI = \Delta MAI\) (ch – cgv)
Suy ra \(KI = MI\) (hai cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta KIB\) và \(\Delta MIC\) có:
\(\widehat {IKB} = \widehat {IMC} = 90^\circ \)
\(IK = IM\) (cmt)
\(KB = MC\) (cmt)
Suy ra \(\Delta KIB = \Delta MIC\) (2cgv)
Suy ra \(\widehat {KIB} = \widehat {MIC}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí đối đỉnh.
Suy ra \(K,I,C\) thẳng hàng.
(0,5 điểm) Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với \(2:3:5\). Hỏi ba chiều cao tương ứng của ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào?
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là \(a,b,c\) và chiều cao tương ứng là \(x,y,z\).
Điều kiện: \(a,b,c,x,y,z > 0\). Tam giác có diện tích là \(S\).
Theo đề, ta có độ dài ba cạnh tỉ lệ với \(2:3:5\) nên \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}\) (1)
Có \(S = \frac{1}{2}ax = \frac{1}{2}by = \frac{1}{2}cz\) suy ra \(a = & \frac{{2S}}{x};b = \frac{{2S}}{y};c = \frac{{2S}}{z}\) nên \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = \frac{{2S}}{{2x}} = \frac{{2S}}{{3y}} = \frac{{2S}}{{5z}}\) hay \(2x = 3y = 5z\).
Do đó, \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{y}{{\frac{1}{3}}} = \frac{z}{{\frac{1}{5}}}\).
Vậy nên chiều cao tương ứng của ba cạnh trong tam giác thỏa mãn bài toán lần lượt tỉ lệ với \(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{5}.\)
