Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 3
29 câu hỏi
A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Trong các phát biểu sau phát biểu nào sai?
Đồ thị hàm số \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)\) là đường thẳng cắt đường thẳng \(y = ax{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).\)
Đồ thị hàm số \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng \(y = ax\) nếu \(b \ne 0\) và trùng với đường thẳng \(y = ax\) nếu \(b = 0.\)
Đồ thị hàm số \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)\) là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(b.\)
Đồ thị hàm số \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0;b \ne 0} \right)\) là đường thẳng không đi qua gốc tọa độ.
Đáp án đúng là: A
Đồ thị hàm số \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng \(y = ax\) nếu \(b \ne 0\) và trùng với đường thẳng \(y = ax\) nếu \(b = 0.\)
Do đó, phát biểu A là sai.
Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\). Kẻ \(Mx\parallel AC\) cắt \(AB\) tại \(E,\) kẻ \(My\parallel AB\) cắt \(AC\) tại \(F\).
a) \(E,F\) là trung điểm của cạnh \(AB,AC.\)
Đúng
Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(ME\parallel AC\) nên \(ME\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Do đó, \(E\) là trung điểm của \(AB.\)
Có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(MF\parallel AB\) nên \(MF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Do đó, \(F\) là trung điểm của cạnh \(AC\).
Vậy \(E,F\) là trung điểm của cạnh \(AB,AC.\)
b) \(EF = \frac{1}{2}BC.\)
Đúng
Vì \(E,F\) là trung điểm của cạnh \(AB,AC\) (câu a) nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC.\)
c) \(ME = MF.\)
Đúng
Ta có \(ME,MF\) là các đường trung bình của tam giác \(ABC.\)
Do đó, \(ME = \frac{1}{2}AC,MF = \frac{1}{2}AB.\)
Mà tam giác \(ABC\) cân nên \(AB = AC\).
Suy ra \(ME = MF\).
d) \(AE = AF.\)
Đúng
Ta có \(E,F\) là trung điểm của cạnh \(AB,AC.\)
Do đó, \(AE = \frac{1}{2}AB,AF = \frac{1}{2}AC\).
Suy ra \(AE = AF.\)
Đường thẳng \(x = 2\) luôn cắt trục hoành tại điểm
Có hoành độ bằng \(2,\) tung độ bằng \(0.\)
Có hoành độ bằng \(0,\) tung độ bằng \(2.\)
Có hoành độ bằng \(2,\) tung độ bằng \(2.\)
Có hoành độ bằng \(2,\) tung độ tùy ý.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(x = 2\) luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2,\) tung độ bằng \(0.\)
Để chuẩn bị cho buổi thi đua văn nghệ nhân ngày Tết thiếu nhi, cô giáo đã chọn ra 10 học sinh gồm: 4 học sinh nữ là Hoa, Mai, Linh, Mi; 6 học sinh nam là Cường, Hùng, Nguyên, Kiên, Phúc, Hoàng. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm các học sinh tập múa trên.
a) Các kết quả có thể xảy ra là \(10.\)
Đúng
Có 10 kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm tập, đó là: Hoa, Mai, Linh, Mi, Cường, Hùng, Nguyên, Kiên, Phúc, Hoàng.
b) Có \(6\) kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nữ”.
Sai
Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nữ” là 4 gồm Hoa, Mai, Linh, Mi.
c) Xác suất của biến cố “Học sinh được chọn là nam” là \(0,6.\)
Đúng
Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nam” là 6.
Do đó, xác suất của biến cố “Học sinh được chọn là nam” là \(\frac{6}{{10}} = 0,6.\)
d) Xác suất của biến cố “Học sinh được chọn là nam và có tên bắt đầu bằng chữ H” là \(0,2.\)
Đúng
Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nam và có tên bằng đầu bằng chữ H” là 2 và là Hùng; Hoàng.
Do đó, xác suất của biến cố đó là: \(\frac{2}{{10}} = 0,2.\)
Phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn trong các phương trình sau:
\(2x = 0.\)
\(3{x^2} + 1 = 0.\)
\(0x + 2 = 0.\)
\(\frac{1}{x} = 0.\)
Đáp án đúng là: A
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\).
Do đó, phương trình \(2x = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn.
(1,5 điểm) Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Kẻ \(AH \bot BD\) tại \(H.\)
a) Chứng minh rằng ΔABD∽ΔHBA.
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {BAD} = 90^\circ \).
Vì \(AH \bot BD\) tại \(H\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\), có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (cmt)
\(\widehat {ABD} = \widehat {ABH}\)
Do đó, ΔABD∽ΔHBA (g.g)
b) Chứng minh rằng \(B{C^2} = BD.DH.\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HAD\) có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ \)
\(\widehat {BDA} = \widehat {ADH}\)
Do đó, (g.g)
Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) hay \[A{D^2} = BD.DH\].
Mà \[AD = BC\] (do \[ABCD\] là hình chữ nhật)
Suy ra \[B{C^2} = BD.DH\] (đpcm)
c) Kẻ \(DE\) là đường phân giác của tam giác \(ABD\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(DE\) và \(AH\). Chứng minh \(\Delta AIE\) cân và \(A{E^2} = IH.EB.\)
Vì \(DE\) là đường phân giác của tam giác \(ABD\) nên \(\widehat {ADE} = \widehat {EDB}\).
Ta có: (cmt) nên \(\widehat {DBA} = \widehat {HAD}\) (hai góc tương ứng)
Suy ra \(\widehat {DBA} + \widehat {EDB} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}\) (1)
Xét \(\Delta AID\) có \(\widehat {AIE} = \widehat {IAD} + \widehat {IDA} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}\) (tính chất góc ngoài) (2)
Xét \(\Delta DEB\) có \(\widehat {AEI} = \widehat {EBD} + \widehat {BDE}\) (tính chất góc ngoài ) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {AIE} = \widehat {AEI}\).
Do đó, \(\Delta AIE\) cân tại \(A\).
Suy ra \(AE = AI\).
Xét \(\Delta ADH\), có \(DI\) là đường phân giác nên \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}.\)
Mà \(AE = AI\) (cmt) (4)
Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), suy ra \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DH}}{{DA}}\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra \(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) \(\left( * \right)\)
Xét \(\Delta ADB\) có \(DE\) là đường phân giác nên \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}\)\(\left( {**} \right)\)
Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AE}}{{EB}}\) hay \(A{E^2} = IH.EB\) (đpcm).
Phương trình nào sau đây nhận \(x = 2\) là nghiệm?
\(3x + 6 = 0.\)
\(2x + 3 = 1 + x.\)
\(x + 2 = 4 + x.\)
\(2x - 4 = 0.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \(2x - 4 = 0\) nên \(2x = 4\) do đó, \(x = 2.\)
Cho hình vẽ bên, biết \(BC\parallel ED\).
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.
\(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{DE}}.\)
\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}.\)
\(\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{CE}} = \frac{{BC}}{{DE}}.\)
\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}.\)
Đáp án đúng là: C
Vì \(BC\parallel ED\) nên theo định lí Thalès, ta được: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}.\)
Cho hình vẽ dưới đây.
Tỉ số \(\frac{x}{y}\) bằng
\(\frac{7}{{15}}.\)
\(\frac{1}{7}.\)
\(\frac{{15}}{7}.\)
\(\frac{1}{{15}}.\)
Đáp án đúng là: A
Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) (do \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)) nên ta có:
\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{3,5}}{{7,5}} = \frac{7}{{15}}\) (tính chất đường phân giác).
Do đó \(\frac{x}{y} = \frac{7}{{15}}.\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
Đường trung bình của tam giác là đường nối hai cạnh của tam giác.
Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.
Đường trung bình của tam giác là đường nối từ một đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện.
Đáp án đúng là: B
Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác
Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có \(\widehat A = 50^\circ ,\widehat B = 60^\circ ,\widehat D = 50^\circ ,\widehat E = 70^\circ \) thì
ΔABC∽ΔDEF.
ΔABC∽ΔDFE.
ΔABC∽ΔEDF.
ΔABC∽ΔFED.
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta ABC\) ta có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) suy ra \(50^\circ + 60^\circ + \widehat C = 180^\circ \) nên \(\widehat C = 70^\circ \).
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có \(\widehat A = \widehat D = 50^\circ \) và \(\widehat C = \widehat E = 70^\circ \).
Do đó, ΔABC∽ΔDFE. (g.g)
Cho biết \(\widehat A = 75^\circ ,{\rm{ }}\widehat B = 50^\circ \). Khi đó số đo \(\widehat F\) bằng
\(65^\circ .\)
\(85^\circ .\)
\(55^\circ .\)
\(75^\circ .\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: nên \(\widehat F = \widehat C\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {50^\circ + 75^\circ } \right) = 55^\circ \).
Suy ra \(\widehat F = 55^\circ \).
.\(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta DEF\) theo tỉ số \({k_1}\). \(\Delta DEF\) đồng dạng với \(\Delta GHK\) theo tỉ số \({k_2}\) thì \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta GHK\) theo tỉ số
\(\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}}.\)
\({k_1} + {k_2}.\)
\({k_1}.{k_2}.\)
\({k_1} - {k_2}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta DEF\) theo tỉ số \({k_1}\) nên \(\frac{{\Delta ABC}}{{\Delta DEF}} = {k_1}\).
\(\Delta DEF\) đồng dạng với \(\Delta GHK\) theo tỉ số \({k_2}\) nên \(\frac{{\Delta DEF}}{{\Delta DHK}} = {k_2}\).
Do đó, \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta GHK\) theo tỉ số là \(\frac{{\Delta ABC}}{{\Delta DHK}} = \frac{{\Delta ABC}}{{\Delta DEF}}.\frac{{\Delta DEF}}{{\Delta DHK}} = {k_2}{k_1}\).
Đội múa của trường gồm có 7 bạn nữ lớp 8A, 5 nam lớp 8A, 2 bạn nữ lớp 8B. Chọn ngẫu nhiên một bạn đội múa để múa chính. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Chọn được bạn nam” là
\(3.\)
\(7.\)
\(5.\)
\(4.\)
Đáp án đúng là: C
Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Chọn được bạn nam” là 5.
Gieo đồng thời hai con xúc xắc, số các kết quả có thể xảy ra là
\(10.\)
\(20.\)
\(12.\)
\(36.\)
Đáp án đúng là: D
Gieo đồng thời hai con xúc xắc, số các kết quả có thể xảy ra là: \(6.6 = 36\).
Phần 3. (2,0 điểm) Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {2 - {m^2}} \right)x - m - 5\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_2}:} \right)\) \(y = - 2x + 2m + 1\).
Đáp án: \(2\)
Vì \(\left( {{d_1}} \right)\parallel \left( {{d_2}} \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {m^2} = 2{\rm{ (1)}}\\ - m - 5 \ne 2m + 1{\rm{ (2)}}\end{array} \right.\)
Giải (1) ta có: \(2 - {m^2} = 2\) nên \({m^2} = 4\), suy ra \(m = 2\) hoặc \(m = - 2.\)
Giải (2) ta có: \( - m - 5 \ne 2m + 1\) nên \( - m - 2m \ne 5 + 1\) hay \( - 3m \ne 6\) suy ra \(m \ne - 2\).
Do đó, giá trị thỏa mãn là \(m = 2\).
Tìm giá trị của \(x\), biết: \(x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\).
(Kết qủa ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: \( - 1,5\)
Ta có: \(x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\)
\(x\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + 1\)
\({x^3} + 6{x^2} + 9x - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + 1\)
\({x^3} + 6{x^2} + 9x - 3x - {x^3} - 6{x^2} - 12x - 9 = 0\)
\( - 6x = 9\)
\(x = - \frac{9}{6}\) hay \(x = - \frac{3}{2}\) hay \(x = - 1,5\).
Giữa hai điểm \(B\) và \(C\) bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình vẽ).
Xác định độ dài của \(BC\) mà không cần phải di chuyển qua hồ nước. Biết rằng đoạn thẳng \(KI\) dài \(25{\rm{ m}}\) và \(K\) là trung điểm của \(AB,\)\(I\) là trung điểm của \(AC\). (Đơn vị: m).
Đáp án: \(50\)
Xét tam giác \(ABC\) có \(K\) là trung điểm của \(AB\); \(I\) là trung điểm của \(AC\).
Do đó, \(KI\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Suy ra \(KI = \frac{1}{2}BC\) hay \(BC = 2KI = 50{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Vậy độ dài của \(BC\) bằng \(50{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các số \(1,2,3,4,6\). Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S\). Tính xác suất để số được chọn chia hết cho \(3.\)
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: \(0,4\)
Các kết quả có thể xảy ra khi lập một số có ba chữ số khác nhau từ các số \(1,2,3,4,6\) là: \(5.4.3 = 60\).
Gọi \(A\) là biến cố “Số được chọn chia hết cho 3”.
Nhận thấy ta lập được 4 bộ số gồm 3 chữ số có tổng chia hết cho 3 là:
\(\left( {1;2;3} \right);{\rm{ }}\left( {1;2;6} \right);{\rm{ }}\left( {2;3;4} \right);{\rm{ }}\left( {2;4;6} \right)\).
Mỗi bộ số, ta lập được các số có ba chữ số là: \(3.2.1 = 6\) (số)
Do đó, 4 bộ số thì lập được các số có tổng chữ số chia hết cho 3 là: \(6.4 = 24\) (số)
Suy ra số kết quả thuận lợi của biến cố “Số được chọn chia hết cho 3” là: \(24\)số.
Xác suất của biến cố \(A\) là: \(\frac{{24}}{{60}} = \frac{2}{5} = 0,4.\)
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Một hợp tác xã thu hoạch thóc, dự định thu hoạch \(20\) tấn thóc mỗi ngày, nhưng khi thu hoạch đã vượt mức \(6\) tấn mỗi ngày nên không những đã hoàn thành kế hoạch sớm một ngày mà còn thu hoạch vượt mức \(10\) tấn. Tính số tấn thóc đã dự định thu hoạch.
Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là \(x\) (tấn) \(\left( {x > 0} \right)\).
Số ngày để thu hoạch hết số thóc theo dự định là \(\frac{x}{{20}}\) (ngày)
Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là: \(x + 10\) (tấn)
Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là \(20 + 6 = 26\) (tấn)
Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là \(\frac{{x + 10}}{{26}}\) (ngày)
Vì hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:
\(\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}\)
\(\frac{{13x - 260}}{{260}} = \frac{{10\left( {x + 10} \right)}}{{260}}\)
\(13x - 260 = 10x + 100\)
\(3x = 360\)
\(x = 120\) (thỏa mãn)
Vậy số thóc theo dự định là \(120\) tấn.
(0,5 điểm) Giải phương trình: \(\frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}} + \frac{1}{{{x^2} + 13x + 42}} = \frac{1}{{18}}\).
Điều kiện xác định: \(x \ne 4;x \ne 5;x \ne 6;x \ne 7.\)
\(\frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}} + \frac{1}{{{x^2} + 13x + 42}} = \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{1}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 6} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 5}} + \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 6}} + \frac{1}{{x + 6}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}\)
\(\left( {x + 4} \right)\left( {x + 7} \right) = 54\)
\({x^2} + 11x + 28 = 54\)
\({x^2} + 11x - 26 = 0\)
\(\left( {x + 13} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)
Do đó, \(x = - 13\) hoặc \(x = 2.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 13;2} \right\}\).
