Đáp án đúng là: B

Xét \(\Delta ABC\) ta có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) suy ra \(50^\circ + 60^\circ + \widehat C = 180^\circ \) nên \(\widehat C = 70^\circ \).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có \(\widehat A = \widehat D = 50^\circ \) và \(\widehat C = \widehat E = 70^\circ \).

Do đó, $\mathrm{\Delta ABC}\backsim \mathrm{\Delta DFE}.$ (g.g)

Đáp án đúng là: C

Ta có:  nên \(\widehat F = \widehat C\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {50^\circ + 75^\circ } \right) = 55^\circ \).

Suy ra \(\widehat F = 55^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta DEF\) theo tỉ số \({k_1}\) nên \(\frac{{\Delta ABC}}{{\Delta DEF}} = {k_1}\).

\(\Delta DEF\) đồng dạng với \(\Delta GHK\) theo tỉ số \({k_2}\) nên \(\frac{{\Delta DEF}}{{\Delta DHK}} = {k_2}\).

Do đó, \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta GHK\) theo tỉ số là \(\frac{{\Delta ABC}}{{\Delta DHK}} = \frac{{\Delta ABC}}{{\Delta DEF}}.\frac{{\Delta DEF}}{{\Delta DHK}} = {k_2}{k_1}\).

Đáp án đúng là: C

Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Chọn được bạn nam” là 5.

Đáp án đúng là: D

Gieo đồng thời hai con xúc xắc, số các kết quả có thể xảy ra là: \(6.6 = 36\).

Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(ME\parallel AC\) nên \(ME\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Do đó, \(E\) là trung điểm của \(AB.\)

Có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(MF\parallel AB\) nên \(MF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Do đó, \(F\) là trung điểm của cạnh \(AC\).

Vậy \(E,F\) là trung điểm của cạnh \(AB,AC.\)

Vì \(E,F\) là trung điểm của cạnh \(AB,AC\) (câu a) nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC.\)

Ta có \(ME,MF\) là các đường trung bình của tam giác \(ABC.\)

Do đó, \(ME = \frac{1}{2}AC,MF = \frac{1}{2}AB.\)

Mà tam giác \(ABC\) cân nên \(AB = AC\).

Suy ra \(ME = MF\).

Ta có \(E,F\) là trung điểm của cạnh \(AB,AC.\)

Do đó, \(AE = \frac{1}{2}AB,AF = \frac{1}{2}AC\).

Suy ra \(AE = AF.\)

Có 10 kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm tập, đó là: Hoa, Mai, Linh, Mi, Cường, Hùng, Nguyên, Kiên, Phúc, Hoàng.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nữ” là 4 gồm Hoa, Mai, Linh, Mi.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nam” là 6.

Do đó, xác suất của biến cố “Học sinh được chọn là nam” là \(\frac{6}{{10}} = 0,6.\)

Đúng

Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn là nam và có tên bằng đầu bằng chữ H” là 2 và là Hùng; Hoàng.

Do đó, xác suất của biến cố đó là: \(\frac{2}{{10}} = 0,2.\)

Đáp án: \(2\)

Vì \(\left( {{d_1}} \right)\parallel \left( {{d_2}} \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {m^2} = 2{\rm{            (1)}}\\ - m - 5 \ne 2m + 1{\rm{    (2)}}\end{array} \right.\)

Giải (1) ta có: \(2 - {m^2} = 2\) nên \({m^2} = 4\), suy ra \(m = 2\) hoặc \(m = - 2.\)

Giải (2) ta có: \( - m - 5 \ne 2m + 1\) nên \( - m - 2m \ne 5 + 1\) hay \( - 3m \ne 6\) suy ra \(m \ne - 2\).

Do đó, giá trị thỏa mãn là \(m = 2\).

Đáp án: \( - 1,5\)

Ta có: \(x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\)

\(x\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + 1\)

\({x^3} + 6{x^2} + 9x - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + 1\)

\({x^3} + 6{x^2} + 9x - 3x - {x^3} - 6{x^2} - 12x - 9 = 0\)

\( - 6x = 9\)

\(x = - \frac{9}{6}\) hay \(x = - \frac{3}{2}\) hay \(x = - 1,5\).

Đáp án: \(50\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(K\) là trung điểm của \(AB\); \(I\) là trung điểm của \(AC\).

Do đó, \(KI\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Suy ra \(KI = \frac{1}{2}BC\) hay \(BC = 2KI = 50{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy độ dài của \(BC\) bằng \(50{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(0,4\)

Các kết quả có thể xảy ra khi lập một số có ba chữ số khác nhau từ các số \(1,2,3,4,6\) là: \(5.4.3 = 60\).

Gọi \(A\) là biến cố “Số được chọn chia hết cho 3”.

Nhận thấy ta lập được 4 bộ số gồm 3 chữ số có tổng chia hết cho 3 là:

\(\left( {1;2;3} \right);{\rm{ }}\left( {1;2;6} \right);{\rm{ }}\left( {2;3;4} \right);{\rm{ }}\left( {2;4;6} \right)\).

Mỗi bộ số, ta lập được các số có ba chữ số là: \(3.2.1 = 6\) (số)

Do đó, 4 bộ số thì lập được các số có tổng chữ số chia hết cho 3 là: \(6.4 = 24\) (số)

Suy ra số kết quả thuận lợi của biến cố “Số được chọn chia hết cho 3” là: \(24\)số.

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(\frac{{24}}{{60}} = \frac{2}{5} = 0,4.\)

Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là \(x\) (tấn) \(\left( {x > 0} \right)\).

Số ngày để thu hoạch hết số thóc theo dự định là \(\frac{x}{{20}}\) (ngày)

Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là: \(x + 10\) (tấn)

Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là \(20 + 6 = 26\) (tấn)

Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là \(\frac{{x + 10}}{{26}}\) (ngày)

Vì hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}\)

\(\frac{{13x - 260}}{{260}} = \frac{{10\left( {x + 10} \right)}}{{260}}\)

\(13x - 260 = 10x + 100\)

\(3x = 360\)

\(x = 120\) (thỏa mãn)

Vậy số thóc theo dự định là \(120\) tấn.

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {BAD} = 90^\circ \).

Vì \(AH \bot BD\) tại \(H\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\), có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (cmt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {ABH}\)

Do đó, $\mathrm{\Delta ABD}\backsim \mathrm{\Delta HBA}$  (g.g)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HAD\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ \)

\(\widehat {BDA} = \widehat {ADH}\)

Do đó, (g.g)

Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) hay \[A{D^2} = BD.DH\].

Mà \[AD = BC\] (do \[ABCD\] là hình chữ nhật)

Suy ra \[B{C^2} = BD.DH\] (đpcm)

Vì \(DE\) là đường phân giác của tam giác \(ABD\) nên \(\widehat {ADE} = \widehat {EDB}\).

Ta có: (cmt) nên \(\widehat {DBA} = \widehat {HAD}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(\widehat {DBA} + \widehat {EDB} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}\) (1)

Xét \(\Delta AID\) có \(\widehat {AIE} = \widehat {IAD} + \widehat {IDA} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}\) (tính chất góc ngoài) (2)

Xét \(\Delta DEB\) có \(\widehat {AEI} = \widehat {EBD} + \widehat {BDE}\) (tính chất góc ngoài ) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {AIE} = \widehat {AEI}\).

Do đó, \(\Delta AIE\) cân tại \(A\).

Suy ra \(AE = AI\).

Xét \(\Delta ADH\), có \(DI\) là đường phân giác nên \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}.\)

Mà \(AE = AI\) (cmt) (4)

Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), suy ra \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DH}}{{DA}}\) (5)

Từ (4) và (5) suy ra \(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) \(\left( * \right)\)

Xét \(\Delta ADB\) có \(DE\) là đường phân giác nên \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}\)\(\left( {**} \right)\)

Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AE}}{{EB}}\) hay \(A{E^2} = IH.EB\) (đpcm).

Điều kiện xác định: \(x \ne 4;x \ne 5;x \ne 6;x \ne 7.\)

\(\frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}} + \frac{1}{{{x^2} + 13x + 42}} = \frac{1}{{18}}\)

\(\frac{1}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 6} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}\)

\(\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 5}} + \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 6}} + \frac{1}{{x + 6}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\)

\(\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\)

\(\frac{3}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}\)

\(\left( {x + 4} \right)\left( {x + 7} \right) = 54\)

\({x^2} + 11x + 28 = 54\)

\({x^2} + 11x - 26 = 0\)

\(\left( {x + 13} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)

Do đó, \(x = - 13\) hoặc \(x = 2.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 13;2} \right\}\).