Đáp án đúng là: C

Xét \(\Delta ABC\) có \(BM\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{CM}}\) (tính chất đường phân giác)

Do đó, \(\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{MA}}\) và \(\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{BC}}{{MC}}.\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{AB + BC}}{{AB + MC}} = \frac{{AB + BC}}{{BC}}\).

Suy ra \(AM = \frac{{AB.AC}}{{AB + BC}}.\)

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy \(\widehat {DHK} = \widehat {HEK}\), mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(HK\parallel EF\).

Mà \(DK = KF = 7{\rm{ cm}}\) nên \(K\) là trung điểm của \(DF\).

Suy ra \(HK\) là đường trung bình của tam giác \(DEF\).

Suy ra \(H\) là trung điểm của \(DE\).

Do đó, \(HE = DH = \frac{1}{2}DE = 6,5{\rm{ cm}}\).

Đáp án đúng là: A

Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia.

Đáp án đúng là: C

Vì \(AB\parallel CD\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc so le trong)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BDC\) có:

\(\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = 90^\circ \)

\(\widehat {DBA} = \widehat {CDB}\) (cmt)

Do đó,  (g.g)

Đáp án đúng là: C

Các đoạn thẳng \(AA',BB',CC',DD'\) cùng đi qua một điểm \(I\).

Vì \(A,B,C,D\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(IA',IB',IC',ID'\) nên ta có: \(\frac{{IA}}{{IA'}} = \frac{{IB}}{{IB'}} = \frac{{IC}}{{IC'}} = \frac{{ID}}{{ID'}}.\)

Do đó, hai tứ giác \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\) đồng dạng phối cảnh, điểm \(I\) là tâm đồng dạng phối cảnh.

Hai đoạn thẳng \(AB\) và \(A'B'\) đồng dạng phối cảnh, điểm \(I\) là tâm đồng dạng phối cảnh.

Hai đoạn thẳng \(BD\) và \(B'D'\) đồng dạng phối cảnh, điểm \(I\) là tâm đồng dạng phối cảnh.

Vậy khẳng định sai là “Hai đoạn thẳng \(BB'\) và \[AA'\] đồng dạng phối cảnh, điểm \(I\) là tâm đồng dạng phối cảnh”.

Biều đồ trên là biểu đồ đoạn thẳng.

Để thu thập dữ liệu được biểu diễn ở biểu đồ trên, ta sử dụng phương pháp thu thập gián tiếp bằng cách lấy dữ liệu từ nguồn Niên gián thống kê 2021.

Từ biểu đồ trên, ta có bảng thống kê sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta qua các năm 2015; 2017; 2018; 2019; 2020 như sau:

Tỉ số phần trăm vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước năm 2020 so với năm 2015 là: \[\frac{{10{\rm{ }}284,2}}{{6{\rm{ }}944,9}}.100\% \approx 148,1\% \].

Vậy năm 2020 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước tăng khoảng \[148,1\% - 100\% = 48,1\% \] so với năm 2015.

Xét \[\Delta DCB\] có \[ME\parallel DB\] và \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[ME\] là đường trung bình của tam giác \[BDC\].

Suy ra \[E\] là trung điểm của \[DE\] nên \[DE = EC = \frac{1}{2}DC\].

Suy ra \[AD = DE = EC.\]

Xét tam giác \[AME\] có \[ID\parallel ME\] và \[AD = DE\] nên \[DI\] là đường trung bình của tam giác \[AME.\]

Do đó, \[I\] là trung điểm của cạnh \[AM.\]

Đúng

Xét hai tam giác \[ABI\] và \[\Delta IBM\] có cùng chiều cao hạ từ đỉnh \[B\] xuống đáy \[AM\] và có hai đáy \[AI = AM\].

Do đó, ta có: \[{S_{ABI}} = \frac{1}{2}{h_B}.AI;{\rm{ }}{S_{BMI}} = \frac{1}{2}{h_B}.IM\].

Suy ra \[{S_{AIB}} = {S_{IMB}}.\]

Ta có: \[I\] là trung điểm của cạnh \[AM\] nên chiều cao hạ từ \[A\] xuống đáy \[BC\] bằng 2 lần chiều cao hạ từ \[I\] xuống đáy \[BC\].

Do đó, ta có: \[\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{IBC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_A}.BC}}{{\frac{1}{2}{h_I}.BC}} = 2\] nên \[{S_{ABC}} = 2{S_{IBC}}.\]

Đáp án: \[7,75\]

Tỉ lệ phần trăm mực nước cao nhất của sông Đà tại trạm Hòa Bình năm 2021 so với năm 2019 là:

\[\frac{{1{\rm{ }}273}}{{1{\rm{ }}380}}.100\% \approx 92,25\% \]

Do đó, năm 2021 mực nước cao nhất của sông Đà tại trạm Hòa Bình đã giảm \[100\% - 92,25\% = 7,75\% \] so với năm 2019.

Đáp án: \(0,28\)

Số phần tử không gian mẫu là: \(5.5 = 25\).

Trường hợp 1: Tích hai số là 1 thì hai thẻ rút ra đều ghi số 1.

Do đó, có 1 kết quả có thể xảy ra.

Trường hợp 2: Tích hai số là số nguyên tố.

Các kết quả có thể xảy ra là: \(\left( {1;2} \right);{\rm{ }}\left( {1;3} \right);{\rm{ }}\left( {1;5} \right);{\rm{ }}\left( {2;1} \right);{\rm{ }}\left( {3;1} \right);{\rm{ }}\left( {5;1} \right)\).

Do đó, có 6 kết quả có thể xảy ra.

Suy ra \(n\left( A \right) = 1 + 6 = 7\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{7}{{25}} = 0,28\).

Đáp án: \(0\)

Ta có: \(4\left( {0,5 - 1,5x} \right) = - \frac{{5x - 6}}{3}\)

\(12\left( {0,5 - 1,5x} \right) = - \left( {5x - 6} \right)\)

\(6 - 18x = - 5x + 6\)

\(18x - 5x = 6 - 6\)

\(13x = 0\)

\(x = 0.\)

Vậy giá trị của \(x\) bằng \(0\).

Đáp án: \(42\)

Ta có: \(AB \bot BC;DE \bot BC\) nên \(DE\parallel AB\).

Xét tam giác \(ABC\) có \(DE\parallel AB\), ta có: \(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CB}}\) (hệ quả của định lí Thalès)

Hay \(\frac{2}{{AB}} = \frac{2}{{63}}\) suy ra \(AB = 42{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

Vậy chiều cao của tháp là \(42{\rm{ m}}\).

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là \(x{\rm{ }}\left( \% \right)\) với \(x > 0.\)

Khi đó, lượng muối có trong dung dịch I là: \(200.\frac{x}{{100}} = 2x{\rm{ }}\left( {\rm{g}} \right)\).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là \(20\% \) nên nồng độ muối trong dung dịch II là \(x - 20{\rm{ }}\left( \% \right)\)

Khi đó, lượng muối có trong dung dịch II là \(300.\frac{{x - 20}}{{100}} = 3\left( {x - 20} \right){\rm{ }}\left( {\rm{g}} \right)\)

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là: \(2x + 3\left( {x - 20} \right){\rm{ }}\left( {\rm{g}} \right)\).

Khối lượng dung dịch muối sau trộn hai dung dịch là: \(200 + 300 = 500{\rm{ }}\left( {\rm{g}} \right)\).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là \(33\% \) nên ta có phương trình \(\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}}.100\% = 33\% \).

Giải phương trình, ta được: \(\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}}.100\% = 33\% \)

                                             \(\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{5} = 33\)

                                             \(2x + 3\left( {x - 20} \right) = 33.5\)

                                             \(2x + 3x - 60 = 165\)

                                             \(5x = 225\) nên \(x = 45\) (thỏa mãn)

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là \(45\% \) và \(25\% .\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\), có: \(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {ACB} = \widehat {HCA}\) (gt)

Do đó, (g.g)

Xét \(\Delta CHI\) và \(\Delta CKB\), ta có:

\(\widehat {CHI} = \widehat {CKB} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {HCI} = \widehat {KCB}\)

Do đó, (g.g)

Suy ra \(\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CB}}\).

Suy ra \(CH.CB = CI.CK\).

Gọi \(M\) là giao điểm của \(BI\) và \(DC\). Vì \(I\) là trực tâm của \(\Delta BDC\) nên \(BI \bot DC\).

Xét \(\Delta CMI\) và \(\Delta CDK\), ta có: \(\widehat {CMI} = \widehat {CKD} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {MCI} = \widehat {DCK}\) (gt)

Suy ra (g.g)

Suy ra \(\frac{{CM}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CD}}\) nên \(CD.CM = CI.CK\).

Mà từ phần b) ta có: \(CH.CB = CI.CK\) suy ra \(CH.CB = CI.CK = CD.CM.\)

Chứng minh được (g.g) suy ra \(DK.DB = DM.DC\).

Do đó, \(CH.CB + DK.DB = CM.CD + DM.DC = DC\left( {MD + MC} \right) = D{C^2}\).

Ta có: \(2x{\left( {8x - 1} \right)^2}\left( {4x - 1} \right) = 9\)

           \(8x{\left( {8x - 1} \right)^2}\left( {8x - 2} \right) = 72\).

Đặt \(y = 8x - 1,\) ta được: \(\left( {y + 1} \right){y^2}\left( {y - 1} \right) = 72\)

                                    \(\left( {{y^2} - 9} \right)\left( {{y^2} + 8} \right) = 0\)

                                    \({y^2} - 9 = 0\) (vì \({y^2} + 8 > 0\))

Do đó, \({y^2} = 9\) nên \(y = 3\) hoặc \(y = - 3\).

• Với \(y = 3\) thì \(8x - 1 = 3\) nên \(8x = 4\), suy ra \(x = \frac{1}{2}.\)

• Với \(y = - 3\) thì \(8x - 1 = - 3\) nên \(8x = - 2\), suy ra \(x = - \frac{1}{4}.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{1}{2}; - \frac{1}{4}} \right\}.\)