Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 1
29 câu hỏi
A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Đường thẳng \(y = 1\) luôn cắt trục tung tại điểm
Có tung độ bằng \(1,\) hoành độ bằng \(0.\)
Có hoành độ bằng \(1,\) tung độ bằng \(0.\)
Có hoành độ bằng \(1,\) tung độ bằng \(1.\)
Có tung độ bằng \(1,\) hoành độ tùy ý.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(y = 1\) luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1,\) hoành độ bằng \(0.\)
Cho \(\Delta ABC\), trung tuyến \(AM\), đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) cắt \(AB\) ở \(D\), đường phân giác \(\widehat {AMC}\) cắt \(AC\) ở \(E.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\). Biết \(BC = 30{\rm{ cm, }}AM = 10{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
a) \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}.\)
Đúng
b) \(DE\parallel BC\).
Đúng
c) \(DI = EI.\)
Đúng
d) \(ED = 6{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Sai
Ta có: \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) do \(MD\) là tia phân giác của \(\widehat {AMB}\).
\(\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{MC}}{{MA}}\) do \(ME\) là tia phân giác của \(\widehat {AMC}.\)
Mà \(MB = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))
Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{CE}}{{AE}}\), suy ra theo định lí Thalès đảo ta có \(DE\parallel BC\).
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) lần lượt có \(DI\parallel BM\) và \(EI\parallel CM\).
Do đó, \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{EI}}{{CM}} = \frac{{AI}}{{AM}}\).
Mà \(BM = CM\) suy ra \(DI = EI.\)
Ta có: \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) mà \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MI}}{{AI}}\) (do \(DI\parallel BM\)) suy ra \(\frac{{MI}}{{AI}} = \frac{{MB}}{{MA}}\).
Lại có \(\frac{{MA}}{{AI}} = \frac{{MB}}{{DI}}\) (do \(DI\parallel BM\))
Do đó, \(\frac{{MB}}{{DI}} = \frac{{MI + IA}}{{AI}} = 1 + \frac{{MI}}{{AI}} = 1 + \frac{{MB}}{{AM}} = \frac{{AM + MB}}{{AM}}\).
Suy ra \(DI = \frac{{BM.AM}}{{AM + BM}} = \frac{{15.10}}{{10 + 15}} = \frac{{150}}{{25}} = 6\).
Suy ra \(ED = 2DI = 2.6 = 12\) (do \(DI = IE = \frac{1}{2}DE\)).
Cho hàm số bậc nhất \(y = 2024x - 2025\). Hãy chỉ ra hệ số \(a,b\) của hàm số đó.
\(a = 2024;b = 2025.\)
\(a = 2024;b = - 2025.\)
\(a = - 2025;b = 2024.\)
\(a = 2025;b = 2024.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có hàm số \(y = 2024x - 2025\) có hệ số \(a = 2024;b = - 2025.\)
Một hộp có 40 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \(1;2;3;.....;39;40\) với hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp.
a) Có \(20\) kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số lẻ”.
Đúng
Các kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số lẻ”, đó là: \(1;3;5;....;37;39.\)
Do đó, có \(20\) kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số lẻ”.
b) Có \(5\) kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là bình phương của một số”.
Sai
Các kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút là bình phương của một số” là: \(1;4;9;16;25;36\).
Do đó, có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố này.
c) Xác suất của biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là bình phương của một số” là \(0,125.\)
Sai
Xác suất của biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút là bình phương của một số” là: \(\frac{6}{{40}} = \frac{3}{{20}}.\)
d) Xác suất của biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là lập phương của một số” là \[0,075.\]
Đúng
Kết quả thuận lợi của biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là lập phương của một số” là: \(1;8;27.\)
Do đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố này.
Vậy xác suất của biến cố này là \(\frac{3}{{40}} = 0,075.\)
(1,5 điểm) Cho tam giác \[ABC{\rm{ }}\left( {AB < AC} \right)\] vuông tại \[A\] có đường cao \[AH.\]
a) Chứng minh rằng ΔABC∽ΔHAC.
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\), có: \(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {ACB} = \widehat {HCA}\) (gt)
Do đó, ΔABC∽ΔHAC. (g.g)
b) Lấy điểm \(I\) thuộc đoạn \(AH\) (\(I\)không trùng với \[A,H\]). Qua \[B\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[CI\] tại \[K\]. Chứng minh rằng \[CH.CB = CI.CK.\]
Xét \(\Delta CHI\) và \(\Delta CKB\), ta có:
\(\widehat {CHI} = \widehat {CKB} = 90^\circ \) (gt)
\(\widehat {HCI} = \widehat {KCB}\)
Do đó, (g.g)
Suy ra \(\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CB}}\).
Suy ra \(CH.CB = CI.CK\).
c) Tia \[BK\] cắt tia \[HA\] tại điểm \[D.\] Chứng minh \[CH.CB + DK.DB = C{D^2}.\]
Gọi \(M\) là giao điểm của \(BI\) và \(DC\). Vì \(I\) là trực tâm của \(\Delta BDC\) nên \(BI \bot DC\).
Xét \(\Delta CMI\) và \(\Delta CDK\), ta có: \(\widehat {CMI} = \widehat {CKD} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {MCI} = \widehat {DCK}\) (gt)
Suy ra (g.g)
Suy ra \(\frac{{CM}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CD}}\) nên \(CD.CM = CI.CK\).
Mà từ phần b) ta có: \(CH.CB = CI.CK\) suy ra \(CH.CB = CI.CK = CD.CM.\)
Chứng minh được (g.g) suy ra \(DK.DB = DM.DC\).
Do đó, \(CH.CB + DK.DB = CM.CD + DM.DC = DC\left( {MD + MC} \right) = D{C^2}\).
Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất một ẩn?
\(2x - 2023 = 0.\)
\(3x = 0.\)
\(2x + \sqrt 3 = 0.\)
\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0.\)
Đáp án đúng là: D
Nhận thấy \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\) hay \({x^2} - 4 = 0\) không là phương trình bậc nhất một ẩn.
Do đó, chọn đáp án D.
\(x = - 2\) là nghiệm của phương trình:
\(2x - 4 = 0.\)
\(2x + 4 = 0.\)
\(2x - 2 = 0.\)
\(2x + 2 = 0.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(2x + 4 = 0\) hay \(2x = - 4\) nên \(x = - 2\).
Do đó, \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình \(2x + 4 = 0\).
Cho hình vẽ dưới đây:
Hệ thức theo Định lí Thalès của hình trên là
\(\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\).
\(\frac{{BE}}{{CB}} = \frac{{CA}}{{AD}}\).
\(\frac{{CE}}{{BE}} = \frac{{AD}}{{CD}}\).
\(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AD}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\widehat B = \widehat E\), mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(DE\parallel AB\). Ta có hệ thức sau: \(\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\).
Cho các hình vẽ sau:
Đoạn thẳng \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) trong hình vẽ nào?
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Đáp án đúng là: C
Nhận thấy ở Hình 3, xét tam giác \(ABC\), có:
\(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\).
Do đó, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Cho tam giác \(ABC\), \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) \(\left( {D \in BC} \right)\). Tỉ lệ thức nào sau đây đúng?
\(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}}.\)
\(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}}.\)
\(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).
\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\).
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác) nên \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).
Chọn khẳng định đúng.
Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
Hai tam giác cân luôn đồng dạng.
Hai tam giác vuông luôn đồng dạng.
Đáp án đúng là: B
Ta có hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng theo tỉ số là \(1\).
Cho ΔMNP∽ΔQRS, hãy chọn đáp án đúng.
\(\widehat M = \widehat R.\)
\(\frac{{MN}}{{QR}} = \frac{{NP}}{{QS}}.\)
\(\frac{{MN}}{{QR}} = \frac{{NP}}{{RS}}.\)
\(\widehat N = \widehat Q.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có nên \(\frac{{MN}}{{QR}} = \frac{{NP}}{{RS}}\) (tỉ lệ các cạnh tương ứng).
Nếu ΔABC∽ΔMNP theo tỉ số k=23 thì ΔMNP∽ΔABC theo tỉ số
\(\frac{2}{3}.\)
\(\frac{3}{2}.\)
\(\frac{4}{9}.\)
\(\frac{4}{3}.\)
Đáp án đúng là: B
Vì theo tỉ số \(k = \frac{2}{3}\) hay \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{2}{3}\).
Do đó, nên \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{3}{2}\).
Do đó, chọn B.
Đội văn nghệ khối 8 của một trường có 3 học sinh nam lớp 8A, 3 học sinh nữ lớp 8B, 1 học sinh nam lớp 8C và 2 học sinh nữ lớp 8C. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong đội văn nghệ khối 8 để tham gia chương trình văn nghệ của trường. Số kết quả có thể xảy ra là:
\(6.\)
\(7.\)
\(8.\)
\(9.\)
Đáp án đúng là: D
Số học sinh khối 8 tham gia văn nghệ là: \(3 + 3 + 2 + 1 = 9\) (học sinh).
Một chiếc hộp đựng \(15\) chiếc bút gồm \(5\) bút đỏ, \(1\) bút xanh, \(6\) bút tím và \(3\) bút đen. Bạn An lấy ngẫu nhiên một chiếc bút trong hộp. Biến cố: “An lấy được chiếc bút màu xanh” là biến cố:
không thể xảy ra.
chắc chắn xảy ra.
có 1 kết quả thuận lợi.
có 5 kết quả thuận lợi.
Đáp án đúng là: C
Nhận thấy số kết quả thuận lợi cho biến cố “An lấy được chiếc bút màu xanh” là 1 kết quả.
Do đó, chọn đáp án C.
Phần 3. (2,0 điểm) Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Xác định hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( { - 4;0} \right)\) và \(B\left( {0;5} \right)\).
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: \(1,25\)
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm \(AB\) là \(y = ax + b\).
Ta có \(A\left( { - 4;0} \right) \in AB\) nên ta có: \( - 4.a + b = 0\) hay \(b = 4a.\)
Lại có \(B\left( {0;5} \right) \in AB\) nên ta có: \(0.a + b = 5\) hay \(b = 5\).
Mà \(b = 4a\) nên suy ra \(4a = 5\) và \(a = \frac{5}{4}\) hay \(a = 1,25\).
Vậy hệ số góc của đường thẳng cần tìm \(AB\) là \(a = 1,25\).
Tính giá trị của \(x\), biết: \({x^3} - 1 + \left( {1 - x} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\).
Đáp án: \(1\)
Ta có: \({x^3} - 1 + \left( {1 - x} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\)
\({x^3} - 1 + x - 5 - {x^2} + 5x = 0\)
\({x^3} - {x^2} + 6x - 6 = 0\)
\(\left( {x - 1} \right){x^2} + 6\left( {x - 1} \right) = 0\)
\(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = 0\)
Vì \({x^2} + 6 > 0\) với mọi \(x\) nên \(x - 1 = 0\) hay \(x = 1.\)
Vậy giá trị của \(x\) bằng \(1.\)
Một người cắm một cái cọc vuông góc với mặt đất sao cho bóng của đỉnh cọc trùng với bóng của ngọn cây. Biết cọc cao \(1,5{\rm{ m}}\) so với mặt đất, chân cọc cách gốc cây \({\rm{8 m}}\) và cách bóng của đỉnh cọc \({\rm{2 m}}\).
Hỏi chiều cao của cây là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Đáp án: \(0,28\)
Số phần tử không gian mẫu là: \(5.5 = 25\).
Trường hợp 1: Tích hai số là 1 thì hai thẻ rút ra đều ghi số 1.
Do đó, có 1 kết quả có thể xảy ra.
Trường hợp 2: Tích hai số là số nguyên tố.
Các kết quả có thể xảy ra là: \(\left( {1;2} \right);{\rm{ }}\left( {1;3} \right);{\rm{ }}\left( {1;5} \right);{\rm{ }}\left( {2;1} \right);{\rm{ }}\left( {3;1} \right);{\rm{ }}\left( {5;1} \right)\).
Do đó, có 6 kết quả có thể xảy ra.
Suy ra \(n\left( A \right) = 1 + 6 = 7\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{7}{{25}} = 0,28\).
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Một tàu hỏa từ Hà Nội đi TP. Hồ Chí Minh. Sau 1 giờ 48 phút, một tàu hỏa khác khởi hành từ Nam Định cũng đi TP. Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của tàu thứ nhất \(5{\rm{ km/h}}{\rm{.}}\) Hai tàu gặp nhau tại một nhà ga sau 4 giờ 48 phút kể từ khi tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc của mỗi tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP. Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội \(87{\rm{ km}}{\rm{.}}\)
Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)\(\left( {x > 0} \right)\).
Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(x - 5{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Sau 4 giờ 48 phút = \(4,8\) giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là \(4,8x\) (km).
Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút = \(1,8\) giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là \(4,8 - 1,8 = 3\) (giờ).
Khi đó, quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là \(3\left( {x - 5} \right)\) (km).
Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP. Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội \(87{\rm{ km}}\) nên ta có phương trình: \(4,8x = 3\left( {x - 5} \right) + 87\)
\(4,8x = 3x - 15 + 87\)
\(4,8x - 3x = 72\)
\(1,8x = 72\)
\(x = 40\) (thỏa mãn)
Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(40{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right),\) vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(40 - 5 = 35{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
(0,5 điểm) Giải phương trình \(2x{\left( {8x - 1} \right)^2}\left( {4x - 1} \right) = 9.\)
Ta có: \(2x{\left( {8x - 1} \right)^2}\left( {4x - 1} \right) = 9\)
\(8x{\left( {8x - 1} \right)^2}\left( {8x - 2} \right) = 72\).
Đặt \(y = 8x - 1,\) ta được: \(\left( {y + 1} \right){y^2}\left( {y - 1} \right) = 72\)
\(\left( {{y^2} - 9} \right)\left( {{y^2} + 8} \right) = 0\)
\({y^2} - 9 = 0\) (vì \({y^2} + 8 > 0\))
Do đó, \({y^2} = 9\) nên \(y = 3\) hoặc \(y = - 3\).
• Với \(y = 3\) thì \(8x - 1 = 3\) nên \(8x = 4\), suy ra \(x = \frac{1}{2}.\)
• Với \(y = - 3\) thì \(8x - 1 = - 3\) nên \(8x = - 2\), suy ra \(x = - \frac{1}{4}.\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{1}{2}; - \frac{1}{4}} \right\}.\)
(0,5 điểm) Giải phương trình: \(\frac{{2027 - x}}{{73}} + \frac{{2025 - x}}{{75}} + \frac{{2023 - x}}{{77}} + \frac{{2021 - x}}{{79}} + 4 = 0\).
\(\frac{{2027 - x}}{{73}} + \frac{{2025 - x}}{{75}} + \frac{{2023 - x}}{{77}} + \frac{{2021 - x}}{{79}} + 4 = 0\)
\(\left( {\frac{{2027 - x}}{{73}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2025 - x}}{{75}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2023 - x}}{{77}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2021 - x}}{{79}} + 1} \right) = 0\)
\(\frac{{2100 - x}}{{73}} + \frac{{2100 - x}}{{75}} + \frac{{2100 - x}}{{77}} + \frac{{2100 - x}}{{79}} = 0\)
\(\left( {2100 - x} \right)\left( {\frac{1}{{73}} + \frac{1}{{75}} + \frac{1}{{77}} + \frac{1}{{79}}} \right) = 0\)
Vì \(\frac{1}{{73}} + \frac{1}{{75}} + \frac{1}{{77}} + \frac{1}{{79}} \ne 0\) nên \(2100 - x = 0\), suy ra \(x = 2100\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 2100\).
