Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

• $\Delta ABC\backsim \text{Δ}DEF$  vì \(\widehat B = \widehat D = 45^\circ ;\,\,\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{DF}}.\)

• \[\Delta ABC\] không đồng dạng với \(\Delta MNP\) vì \(\widehat B = \widehat M = 45^\circ ;\,\,\frac{{AB}}{{MN}} \ne \frac{{BC}}{{MP}};\,\,\frac{{AB}}{{MP}} \ne \frac{{BC}}{{MN}}.\)

• \[{\rm{\Delta }}DEF\] không đồng dạng với \(\Delta MNP\) vì \(\widehat B = \widehat D = 45^\circ ;\,\,\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{DF}}.\)

Khi đó $\Delta MNP\backsim \text{Δ}DEF$  (g.g).

Hướng dẫn giải

1.

2. Gọi \[x\,\,\left( h \right)\] là thời gian xe hơi chạy đến lúc đuổi kịp xe đạp \[\left( {x > 0} \right)\].

Quãng đường xe hơi chạy đến lúc đuổi kịp xe đạp là \[60x\,\,\left( {km} \right)\].

Thời gian xe đạp chạy đến lúc gặp xe ô tô là \[x + 6\,\,\left( h \right)\].

Quãng đường xe đạp chạy đến lúc gặp xe ô tô là \[15\left( {x + 6} \right)\,\,\,\left( {km} \right)\].

Theo đề bài, ta có phương trình

\[60x = 15\left( {x + 6} \right)\]

\[4x = x + 6\]

\[3x = 6\]

\[x = 2\] (TMĐK)

Vậy xe hơi chạy trong \(2{\rm{ h}}\) thì đuổi kịp xe đạp.

Hướng dẫn giải

a) Cửa hàng đã thu thập dữ liệu được biểu diễn trong biểu đồ trên bằng phương pháp phỏng vấn 1 000 khách hàng. Đây là phương pháp thu thập trực tiếp.

b) Hãy chuyển đổi dữ liệu từ biểu đồ trên sang dạng bảng thống kê theo mẫu sau:

c) Nếu cửa hàng muốn kinh doanh một món ẩm thực duy nhất thì cửa hàng nên ưu tiên chọn món Phở. Vì đây là món ăn được khách hàng lựa chọn nhiều nhất (chiếm \[45\% ).\]

Hướng dẫn giải

a) Các số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 200 là: \(\left\{ {10;\,\,11;\,\, \ldots ;\,\,199} \right\}\).

Vậy có 190 cách viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 200.

b) Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố“Số tự nhiên được viết ra là số tròn trăm” là \[100\,;\,\,200\,;\,\,300\,;\,\,400\,;\,\,500\,;\,\,600\,;\,\,700\,;\,\,800\,;\,\,900.\]

Do đó, xác suất của biến cố “Số tự nhiên được viết ra là số tròn trăm” là: \(\frac{9}{{190}}\).

Hướng dẫn giải

1. Ta có \(AB \bot AE;\,\,CD \bot AE\) nên \(CD\,{\rm{//}}\,AB\).

Xét tam giác \(ABE\) có \(CD\,{\rm{//}}\,AB\), ta có

\[\,\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EA}}\] (hệ quả của định lí Thalès).

Hay \[\frac{{1,5}}{{AB}} = \frac{2}{{2 + 8}}\] suy ra \[AB = 7,5\,\,{\rm{m}}\].

Vậy chiều cao của cây là \[7,5\,\,{\rm{m}}\].

2.

a) Xét \[\Delta ABK\] và \[\Delta CBF\] có:

\[\widehat {ABK} = \widehat {CBF}\;\left( {\widehat B\;\,{\rm{chung}}} \right)\]

\(\widehat {AKB} = \widehat {CFB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta ABK\backsim \Delta CBF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

b) Xét \[\Delta AEB\] và \[\Delta ACF\] có:

\(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\;\,\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\)

\(\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó $\Delta AEB\backsim \Delta ACF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(AE \cdot AC = AF \cdot AB\) (đpcm)

c)

• Xét \[\Delta BFC\] vuông tại \[F\] có \[O\] là trung điểm của \[BC\] nên \(FO = \frac{{BC}}{2}\)                    (1)

• Xét \[\Delta BEC\] vuông tại \[E\] có \[O\] là trung điểm của \[BC\] nên \(EO = \frac{{BC}}{2}\)                    (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra \[FO = EO\]    (5)

• Xét \[\Delta AEH\] vuông tại \[E\] có \[I\] là trung điểm của \[AH\] nên \(EI = \frac{{AH}}{2}\)             (3)

• Xét \[\Delta AFH\] vuông tại \[F\] có \[I\] là trung điểm của \[AH\] nên \(FI = \frac{{AH}}{2}\)             (4)

Từ (3) và (4) nên suy ra \[FI = EI\]     (6)

Từ (5) và (6) ta suy ra được \[OI\] là đường trung trực của cạnh \[EF\].

Khi đó \[OI \bot EF\] hay \[OI \bot DN\].

Do đó \[DN\] là đường cao của \[\Delta DOI\].

Xét \[\Delta DOI\] có \[DN\] và \[IK\] là đường cao và \[N\] là giao của \[DN\] và \[IK\].

Do đó \[N\] là trực tâm của tam giác \[DOI\].

Vậy \[OI \bot DI\] (đpcm).

Hướng dẫn giải

Đặt \[a = 2024 - x\,;\,\,\,b = 2026 - x\,;\,\,\,c = 2x - 4050.\]

Ta có \[a + b + c = 2024 - x + 2026 - x + 2x - 4050 = 0\]

Suy ra \[a + b =  - c\] nên \({(a + b)^3} =  - {c^3}\).

Khi đó \({a^3} + {b^3} + {c^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b) + {c^3} =  - {c^3} + 3abc + {c^3} = 3abc\)

Do đó \({\left( {2024 - x} \right)^3} + {\left( {2026 - x} \right)^3} + {\left( {2x - 4050} \right)^3} = 0\)

\[3\left( {2024 - x} \right)\left( {2026 - x} \right)\left( {2x - 4050} \right) = 0\]

\[2024 - x = 0\] hoặc \[2026 - x = 0\] hoặc \[2x - 4050 = 0\]

\[x = 2024\] hoặc \[x = 2026\] hoặc \[x = 2025\].

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \[S = \left\{ {2024\,;\,\,2025\,;\,\,2026} \right\}.\]