Bài tập Xác định vectơ, chỉ ra các yếu tố của vectơ lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong các vectơ sau, vectơ nào sau đây có điểm đầu là A, điểm cuối là B?
\(\overrightarrow {AA} \);
\(\overrightarrow {BA} \);
\(\overrightarrow {AB} \);
\(\overrightarrow {BB} \).
Đáp án đúng là: C
Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B là \(\overrightarrow {AB} \).
Trong không gian cho 3 điểm phân biệt A, B, C. Vectơ nào trong các vectơ sau đây là vectơ – không?
\(\overrightarrow {BB} \);
\(\overrightarrow {BA} \);
\(\overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {CA} \).
Đáp án đúng là: A
Vì vectơ – không là vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau nên \(\overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
Vectơ nào sau đây cùng phương với \(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {DC} \);
\(\overrightarrow {DA} \);
\(\overrightarrow {BB'} \);
\(\overrightarrow {C'C} \).
Đáp án đúng là: B
Vì BC // DA nên \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {DA} \) là hai vectơ cùng phương.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
Vectơ \(\overrightarrow {BA} \) bằng với vectơ nào sau đây?
\(\overrightarrow {A'B'} \);
\(\overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {AB} \).
Đáp án đúng là: B
Vì \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ cùng hướng và BA = CD nên \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ bằng nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, vectơ nào sau đây bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \)?
\(\overrightarrow {DC} \);
\(\overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {BC} \).
Đáp án đúng là: A
Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và AB = DC nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Số vectơ khác vectơ – không bằng vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ là
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow {BB'} \) và \(\overrightarrow {CC'} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) và AA' = BB'; AA' = CC' nên \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} ;\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \).
Cho tứ diện ABCD, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vectơ \(\overrightarrow {AI} \) cùng hướng với vectơ nào sau đây?
\(\overrightarrow {BI} \);
\(\overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {CI} \);
\(\overrightarrow {AB} \).
Đáp án đúng là: D
Vectơ \(\overrightarrow {AI} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
Cho tứ diện ABCD. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD?
12;
4;
10;
8.
Đáp án đúng là: A
Số vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD có số các chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử. Suy ra số vectơ là \(A_4^2 = 12\).
Trong không gian, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) là:
\(\overrightarrow {A'C'} \);
\(\overrightarrow {BA'} \);
\(\overrightarrow {BB'} \);
\(\overrightarrow {C'C} \).
Đáp án đúng là: D
Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) là \(\overrightarrow {C'C} \).
Cho tứ diện ABCD. Các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện là
\(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {DA} \);
\(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} \).
Đáp án đúng là: D
Các vectơ đó là \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} \).
1.
2.
3.
4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 1\].
Vậy độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AC} \] là 1.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chọn mệnh đề đúng?
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \)và \(\overrightarrow {A'B'} \) bằng nhau.
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \)và \(\overrightarrow {A'B'} \) cùng hướng nhưng khác độ dài.
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \)và \(\overrightarrow {A'B'} \)ngược hướng.
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \)và \(\overrightarrow {A'B'} \) vuông góc.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \)và \(\overrightarrow {A'B'} \) cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau.
\(\overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {A'B'} \).
\(\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {BC} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vectơ đối với vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {BB'} \).
\(\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {C'C} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Có ABCD.A'B'C'D' là hình lăng trụ đứng nên \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BB'} \) cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau.
Trung điểm của cạnh A'B'.
Trùng với A'.
Trùng với B'.
Trung điểm của cạnh CD.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi M' là trung điểm của A'B' .
Do ABB'A' là hình bình hành nên MM' // AA' và MM' = AA'.
Hai vectơ \(\overrightarrow {MM'} \) và \(\overrightarrow {AA'} \) có cùng hướng và cùng độ dài nên \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {AA'} \).
Do đó M' là điểm cần tìm.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'.
Vectơ \(\overrightarrow {BB'} \) có điểm đầu là B, điểm cuối là B'.
Vectơ \(\overrightarrow {BB'} \) bằng vectơ \(\overrightarrow {CC'} \).
Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {BB'} \) là \(\overrightarrow {CC'} \).
Có 2 vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ bằng vectơ \(\overrightarrow {BB'} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow {BB'} \) có điểm đầu là B, điểm cuối là B'.
b) Đúng. Do \(\overrightarrow {BB'} \) và \(\overrightarrow {CC'} \) cùng hướng và BB' = CC' (tính chất lăng trụ) nên \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} \).
c) Sai. Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {BB'} \) là \(\overrightarrow {C'C} \).
d) Đúng. Tương tự câu b, có \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \).
Vậy có hai vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ và bằng \(\overrightarrow {BB'} \) là \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {CC'} \).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2; AD = 3; A'A = 4.
Vectơ \(\overrightarrow {BA'} \) bằng vectơ \(\overrightarrow {CD'} \).
\(\left| {\overrightarrow {BA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {A'D} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right|\).
Số các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp là \(A_8^2\).
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {CC'} \) là 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Dễ thấy BCD'A' là hình bình hành nên A'B = D'C.
Lại có \(\overrightarrow {BA'} \), \(\overrightarrow {CD'} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {CD'} \).
b) Đúng. Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên BA' = A'D = DB.
Do đó \(\left| {\overrightarrow {BA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {A'D} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right|\).
c) Đúng. Số các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp là \(A_8^2\).
d) Sai. \(\left| {\overrightarrow {CC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| = 4\).
Cho hình chóp tam giác S.ABC với M là trung điểm cạnh BC.
Vectơ \(\overrightarrow {SM} \) có điểm đầu là S, điểm cuối là M.
Vectơ \(\overrightarrow {SM} \) và \(\overrightarrow {SA} \) bằng nhau.
Vectơ \(\overrightarrow {BC} \) có độ dài bằng độ dài cạnh đáy BC.
Vectơ \(\overrightarrow {SM} \) và \(\overrightarrow {MS} \) đối nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow {SM} \) có điểm đầu là S, điểm cuối là M.
b) Sai. Vectơ \(\overrightarrow {SM} \) và \(\overrightarrow {SA} \) không cùng hướng nên chúng không bằng nhau.
c) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow {BC} \) có độ dài bằng độ dài cạnh đáy BC.
d) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow {SM} \) và \(\overrightarrow {MS} \) đối nhau.
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có độ dài bằng độ dài cạnh AB.
Vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SB} \) bằng nhau.
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) bằng nhau.
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) đối nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có độ dài bằng độ dài cạnh AB.
b) Sai. Vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SB} \) có độ dài bằng nhau nhưng chúng không cùng hướng nên vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SB} \) không bằng nhau.
c) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau.
d) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng và cùng độ dài nên chúng đối nhau.
Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C', M là trung điểm của AB, M' là trung điểm của A'B'.
Vectơ \(\overrightarrow {MM'} \) bằng vectơ \(\overrightarrow {AA'} \).
Vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BB'} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'B'} \) đối nhau.
Vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Do ABB'A' là hình bình hành nên MM' // AA' và MM' = AA'.
Do đó \(\overrightarrow {MM'} \)và \(\overrightarrow {AA'} \) cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau.
b) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BB'} \) cùng hướng và cùng độ dài.
c) Sai. Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'B'} \) bằng nhau do chúng cùng hướng và cùng độ dài.
d) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều. Có bao nhiêu vectơ bằng với vectơ \(\overrightarrow {AA'} \)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Có hai vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) là \(\overrightarrow {BB'} \) và \(\overrightarrow {CC'} \).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp chữ nhật?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 7
Có 7 vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp chữ nhật là
\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {AC'} \).
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' từ các đỉnh của hình hộp đã cho, có bao nhiêu vectơ đối (khác vectơ - không) của vectơ \(\overrightarrow {AB} \)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Các vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {B'A'} ,\overrightarrow {C'D'} \).
Vậy có 4 vectơ lập các đỉnh của hình hộp đã cho là vectơ đối (khác vectơ - không) của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 56
Có \(A_8^2 = 56\)vectơ có điểm đầu và điểm cuối được lấy từ hai đỉnh của hình lập phương.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không lập từ các đỉnh của hình lập phương và cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AB} \)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 7
Có 7 vectơ khác vectơ – không lập từ các đỉnh của hình lập phương và cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {C'D'} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {B'A'} \).
