Bài tập Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EH} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = {a^2}\).

(vì \(\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \) nên \(\left( {AC',\overrightarrow {BB'} } \right) = \left( {AC',\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {C'AA'}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

\(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right) = \widehat {BSD}\).

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên \(BD = a\sqrt 2 \).

Có \(S{B^2} = S{D^2} = 2{a^2}\).

Xét \(\Delta SBD\) có \(\cos \widehat {BSD} = \frac{{S{B^2} + S{D^2} - B{D^2}}}{{2 \cdot SB \cdot SD}} = \frac{{4{a^2} - 2{a^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat {BSD} = 60^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 0^\circ \).

Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {DC} } \right| \cdot \cos 0^\circ = {3^2} = 9\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có BC² = AB² + AC² nên tam giác ABC vuông tại A.

Do đó \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)\)\[ = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {CC'} \]

\( = - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Có \(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right) = \widehat {BSC}\).

Khi đó \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \cos \widehat {BSC}\).

b) Đúng. \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - \overrightarrow {BS} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {CS} } \right) = \overrightarrow {BS} \cdot \overrightarrow {CS} \).

c) Đúng. Xét DSAB vuông tại A, có \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Tương tự \(SC = a\sqrt 2 \).

Do đó \[\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \cos \widehat {BSC} = 2{a^2} \cdot \cos \widehat {BSC}\].

d) Sai. Xét \(\cos \widehat {BSC} = \frac{{S{B^2} + S{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot SB \cdot SC}} = \frac{{2{a^2} + 2{a^2} - {a^2}}}{{2 \cdot \sqrt 2 a \cdot \sqrt 2 a}} = \frac{3}{4}\).

Do đó \[\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \cos \widehat {BSC} = 2{a^2} \cdot \cos \widehat {BSC} = 2{a^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{{3{a^2}}}{2}\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là hai vectơ ngược hướng nên góc giữa chúng bằng 180°.

b) Sai. Hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BO} \) là hai vectơ cùng hướng nên góc giữa chúng bằng 0°.

c) Đúng. Có \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \widehat {SCD}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác SCD có:

\(\cos \widehat {SCD} = \frac{{S{C^2} + C{D^2} - S{D^2}}}{{2SC \cdot CD}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {2a} \right)}^2}}}{{2 \cdot 2a \cdot a}} = \frac{1}{4}\).

d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {SD} = - \overrightarrow {OA} \cdot \left( {\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OS} } \right) = - \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OS} = 0\) nên góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {SD} \) bằng 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Có \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SB} = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \cos \widehat {ASB} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Tương tự \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{{{a^2}}}{2};\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{{{a^2}}}{2}\) nên \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} \).

b) Đúng. Có \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {SA} = \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) \cdot \overrightarrow {SA} = \overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SA} = 0\).

c) Đúng. Có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {SM} - \overrightarrow {SA} = - \overrightarrow {SA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} \).

d) Sai. \[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - \overrightarrow {SA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} } \right) \cdot \overrightarrow {SC} \]\[ = - \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {SC} \]

\( = - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Vì \(AA' \bot AM\) nên \[\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {AM} \]. Do đó \[\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AM} = 0\].

b) Đúng. \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\].

c) Sai. \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AA'} } \right)\)

Vì \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0;\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\) nên \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {{1^2} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4}\).

d) Sai. Ta có \[\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} }}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {A'B} } \right|}} = \frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\]\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'B} } \right) \approx 52,2^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Vì AA' ^ AB nên \(\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\).

b) Đúng. Có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {BAC'}\).

Ta có \(AC' = a\sqrt 3 ,BC' = a\sqrt 2 \).

Xét DABC' có \(\cos \widehat {BAC'} = \frac{{A{B^2} + A{{C'}^2} - B{{C'}^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC'}} = \frac{{{a^2} + 3{a^2} - 2{a^2}}}{{2\sqrt 3 {a^2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC'} = a \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = {a^2}\).

c) Đúng. Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\B'D'//BD\end{array} \right.\) nên AC ^ B'D'. Do đó \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {B'D'} = 0\).

d) Đúng. Có \(\left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {B'AC'}\).

\(AC' = a\sqrt 3 ,AB' = a\sqrt 2 \).

Xét DAB'C' có \(\cos \widehat {B'AC'} = \frac{{A{{B'}^2} + A{{C'}^2} - B'{{C'}^2}}}{{2 \cdot AB' \cdot AC'}} = \frac{{2{a^2} + 3{a^2} - {a^2}}}{{2\sqrt 6 {a^2}}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\).

Khi đó \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| \cdot \cos \widehat {B'AC'} = a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{2}{{\sqrt 6 }} = 2{a^2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

Có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{4}{5}\).

Khi đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 3 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 12\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Có \[\left( {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \widehat {SBA} = 45^\circ \].

Xét DSAB vuông tại A, có \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2\sqrt 2 \).

Khi đó \(\overrightarrow {BS} \cdot \overrightarrow {CD} = \left| {\overrightarrow {BS} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CD} } \right| \cdot \cos 45^\circ = 2\sqrt 2 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 54,7

Ta có \(\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right) = \widehat {ASC}\).

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác SAC vuông tại A, có \(\tan \widehat {ASC} = \frac{{AC}}{{SA}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {ASC} \approx 54,7^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Ta có \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 3\)\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow 1 - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4 = 9\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 2\).

Ta có \(\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)\( = 2{\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 3\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 2{\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 \cdot 4 = 0\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

Ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right)\)\( = 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \)

Dễ dàng chứng minh được \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD} \) nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0\).

Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right) = 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \)\( = - 4\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \)\[ = - 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\]

\[ = - 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = - 2\].