Bài tập Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khi đó, góc giữa vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {AD} \)là:
90°;
60°;
45°;
30°.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {DAB}\).
Dễ thấy \(AB \bot AD \Rightarrow \widehat {DAB} = 90^\circ \). Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 90^\circ \).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. Đáy là tam giác ABC vuông tại B. Khi đó góc giữa vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và vectơ \[\overrightarrow {B'C'} \] bằng bao nhiêu?
45°;
120°;
90°;
30°.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC} \).
Do đó \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC}\).
Mà tam giác ABC vuông tại B. Nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = 90^\circ \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 3,\left| {\overrightarrow v } \right| = 4\) và góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) bằng 60°. Tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) bằng
12;
6;
−12;
−6.
Đáp án đúng là: B
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 3.4.\cos 60^\circ = 6\).
Cho hình chóp S.ABC có AB = 4; \(\widehat {BAC} = 60^\circ ;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 6\). Khi đó độ dài \(\overrightarrow {AC} \) là
3;
6;
4;
−12.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat {BAC}\)\( \Leftrightarrow 6 = 4.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ \)\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3\).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = 90^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 45^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = 90^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 45^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 90^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 45^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 90^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {C'C} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 135^\circ \) trong đó E là điểm đối xứng với C' qua C.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 60^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 120^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 180^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Gọi M là trung điểm CD.
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} \).
Do tam giác ACD đều nên \(AM \bot CD \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} = 0\).
Và tam giác BCD đều nên BM CD \( \Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CD} = 0\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD} \).
Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3\). Xác định góc α giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
α = 30°;
α = 45°;
α = 60°;
α = 120°.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \).
Cho tứ diện S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SB vuông góc với đáy và \(SB = a\sqrt 3 \). Góc giữa hai vectơ \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right)\) là
60°;
45°;
30°;
90°.
Đáp án đúng là: A
Ta có
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}\).
Xét tam giác SBA vuông tại B ta có \(\tan \widehat {SAB} = \frac{{SB}}{{AB}} = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 60^\circ \).
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right)\)bằng
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\);
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
C. Giả sử cạnh của tứ diện là a.
D. Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\).
A. Mặt khác \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)
B. \( = AB.AM.\cos 30^\circ - AB.AD.\cos 60^\circ \)\( = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
C. Do đó \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} \) bằng
\({a^2}\sqrt 2 \);
\({a^2}\);
\({a^2}\sqrt 3 \);
\(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EH} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = {a^2}\).
(vì \(\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)).
\(\widehat {C'AC}\).
\(\widehat {C'AA'}\).
\(\widehat {AC'C}\).
\(\widehat {AC'A'}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Do \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \) nên \(\left( {AC',\overrightarrow {BB'} } \right) = \left( {AC',\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {C'AA'}\).
30°.
45°.
90°.
60°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
\(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right) = \widehat {BSD}\).
Do ABCD là hình vuông cạnh a nên \(BD = a\sqrt 2 \).
Có \(S{B^2} = S{D^2} = 2{a^2}\).
Xét \(\Delta SBD\) có \(\cos \widehat {BSD} = \frac{{S{B^2} + S{D^2} - B{D^2}}}{{2 \cdot SB \cdot SD}} = \frac{{4{a^2} - 2{a^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat {BSD} = 60^\circ \).
6.
12
9.
0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 0^\circ \).
Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {DC} } \right| \cdot \cos 0^\circ = {3^2} = 9\).
6.
12
9.
0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Có BC2 = AB2 + AC2 nên tam giác ABC vuông tại A.
Do đó \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\).
\(\frac{{{a^2}}}{2}\).
\({a^2}\).
\(\frac{3}{4}{a^2}\).
\(\frac{{3{a^2}}}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)\)\[ = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {CC'} \]
\( = - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\).
\(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \cos \widehat {BSC}\).
\(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {BS} \cdot \overrightarrow {CS} \).
\(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \cos \widehat {BSC} = 2{a^2}\cos \widehat {BSC}\).
\(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = {a^2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.Có \(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right) = \widehat {BSC}\).
Khi đó \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \cos \widehat {BSC}\).
b) Đúng. \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - \overrightarrow {BS} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {CS} } \right) = \overrightarrow {BS} \cdot \overrightarrow {CS} \).
c) Đúng. Xét DSAB vuông tại A, có \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).
Tương tự \(SC = a\sqrt 2 \).
Do đó \[\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \cos \widehat {BSC} = 2{a^2} \cdot \cos \widehat {BSC}\].
d) Sai. Xét \(\cos \widehat {BSC} = \frac{{S{B^2} + S{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot SB \cdot SC}} = \frac{{2{a^2} + 2{a^2} - {a^2}}}{{2 \cdot \sqrt 2 a \cdot \sqrt 2 a}} = \frac{3}{4}\).
Do đó \[\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \cos \widehat {BSC} = 2{a^2} \cdot \cos \widehat {BSC} = 2{a^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{{3{a^2}}}{2}\].
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là 0°.
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \) và \[\overrightarrow {BO} \] là 180°.
Cosin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CS} \) bằng \(\frac{1}{4}\).
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {SD} \) bằng 60°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.Hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là hai vectơ ngược hướng nên góc giữa chúng bằng 180°.
b) Sai. Hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BO} \) là hai vectơ cùng hướng nên góc giữa chúng bằng 0°.
c) Đúng. Có \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \widehat {SCD}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác SCD có:
\(\cos \widehat {SCD} = \frac{{S{C^2} + C{D^2} - S{D^2}}}{{2SC \cdot CD}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {2a} \right)}^2}}}{{2 \cdot 2a \cdot a}} = \frac{1}{4}\).
d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {SD} = - \overrightarrow {OA} \cdot \left( {\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OS} } \right) = - \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OS} = 0\) nên góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {SD} \) bằng 90°.
Cho tứ diện đều SABC có tất cả các cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC.
\(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} \).
\(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\).
\(\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {SA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} \).
\(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {SC} = 0\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.Có \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SB} = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \cos \widehat {ASB} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Tương tự \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{{{a^2}}}{2};\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{{{a^2}}}{2}\) nên \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} \).
b) Đúng. Có \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {SA} = \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) \cdot \overrightarrow {SA} = \overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SA} = 0\).
c) Đúng. Có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {SM} - \overrightarrow {SA} = - \overrightarrow {SA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} \).
d) Sai.\[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - \overrightarrow {SA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} } \right) \cdot \overrightarrow {SC} \]\[ = - \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {SC} \]
\( = - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm của BC.
\(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AM} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\).
\(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} = \frac{3}{2}\).
\(\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = 60^\circ \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Vì \(AA' \bot AM\) nên \[\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {AM} \]. Do đó \[\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AM} = 0\].
b) Đúng. \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\].
c) Sai. \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AA'} } \right)\)
Vì \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0;\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\) nên \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {{1^2} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4}\).
d) Sai. Ta có \[\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} }}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {A'B} } \right|}} = \frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\]\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'B} } \right) \approx 52,2^\circ \).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC'} = {a^2}\).
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {B'D'} = 0\).
\(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {AC'} = 2{a^2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì AA' ^ AB nên \(\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0\).
b) Đúng. Có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {BAC'}\).
Ta có \(AC' = a\sqrt 3 ,BC' = a\sqrt 2 \).
Xét DABC' có \(\cos \widehat {BAC'} = \frac{{A{B^2} + A{{C'}^2} - B{{C'}^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC'}} = \frac{{{a^2} + 3{a^2} - 2{a^2}}}{{2\sqrt 3 {a^2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC'} = a \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = {a^2}\).
c) Đúng. Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\B'D'//BD\end{array} \right.\) nên AC ^ B'D'. Do đó \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {B'D'} = 0\).
d) Đúng. Có \(\left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {B'AC'}\).
\(AC' = a\sqrt 3 ,AB' = a\sqrt 2 \).
Xét DAB'C' có \(\cos \widehat {B'AC'} = \frac{{A{{B'}^2} + A{{C'}^2} - B'{{C'}^2}}}{{2 \cdot AB' \cdot AC'}} = \frac{{2{a^2} + 3{a^2} - {a^2}}}{{2\sqrt 6 {a^2}}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\).
Khi đó \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| \cdot \cos \widehat {B'AC'} = a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{2}{{\sqrt 6 }} = 2{a^2}\).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 3; AD = 4 và AA' = 12. Tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 12
Có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).
Có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{4}{5}\).
Khi đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 3 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 12\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2, SA ^ (ABCD) và SA = 2.
Tính \(\overrightarrow {BS} \cdot \overrightarrow {CD} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Có \[\left( {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \widehat {SBA} = 45^\circ \].
Xét DSAB vuông tại A, có \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2\sqrt 2 \).
Khi đó \(\overrightarrow {BS} \cdot \overrightarrow {CD} = \left| {\overrightarrow {BS} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CD} } \right| \cdot \cos 45^\circ = 2\sqrt 2 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD), SA = a. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SC} \) bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 54,7
Ta có \(\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right) = \widehat {ASC}\).
Do ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác SAC vuông tại A, có \(\tan \widehat {ASC} = \frac{{AC}}{{SA}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {ASC} \approx 54,7^\circ \).
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 1;\left| {\overrightarrow b } \right| = 2;\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 3\). Tính \(\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0
Ta có \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 3\)\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow 1 - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4 = 9\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 2\).
Ta có \(\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)\( = 2{\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 3\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 2{\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 \cdot 4 = 0\).
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −2
Ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right)\)\( = 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \)
Dễ dàng chứng minh được \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD} \) nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0\).
Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right) = 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \)\( = - 4\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \)\[ = - 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\]
\[ = - 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = - 2\].
Bạn có thích hoạt động này không?
