Bài tập tự luyện

Cho hai đường tròn  $\left(O\right)$ và  $\left(O^{\text{'}}\right)$ cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn  $\left(O^{\text{'}}\right)$ cắt  $\left(O\right)$ tại C và tiếp tuyến tại A của đường tròn  $\left(O\right)$ cắt  $\left(O^{\text{'}}\right)$ tại D.

Chứng minh  $A{B}^2=BD.BC$.

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng 60 độ.

a) So sánh các góc của tam giác ABC.

b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của góc ACB.

Cho tam giác ABC cân tại A( góc A < 90 độ). Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DBE cân.

b)  $\widehat{CBE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$.

Cho tam giác  $ABC\left(AB<AC\right)$ nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường kính  $MN\perp BC$ (điểm M thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC.

Cho đường tròn  $\left(O\right)$ và hai dây  $MA,MB$ vuông góc với nhau. Gọi  $I,K$ lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI.

a) Chứng minh rằng ba điểm A,O,B thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

c) Giả sử MA=12cm, MB=16cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MAB

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.

a) Tứ giác BFCH là hình gì?

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng ba điểm H,M,F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng  $OM=\frac{1}{2}AH$.

Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm chính giữa của một nửa đường tròn. C là điểm bất kì trên nửa đường tròn kia, CM cắt AB tại D. Vẽ dây AE vuông góc với CM tại F.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACEM là hình thang cân.

b) Vẽ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng tia CM là tia phân giác của góc HCO.

c) Chứng minh rằng  $CD\le \frac{1}{2}AE$.

Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt đường thẳng AB tại F và E. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt đường thẳng AB tại I. Chứng minh rằng:

a) Các tam giác INE và INF là tam giác cân.

b)  $AI=\frac{AE+AF}{2}$.

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC và ADE (B nằm giữa A và C; D nằm giữa A và E). Cho biết  $\widehat{A}=50°,sđ\stackrel{⏜}{BD}=40°$. Chứng minh  $CD\perp BE$.