Bài tập Toán 9 Bài 3 (có đáp án): Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

25.49=25.49=5.7=35

9.16.36=9.16.36=3.4.6=72

27.48=27.3.16=81.16=81.16=9.4=36

81a2=81.a2=9.a

2.18=2.18=36=6

1,1.44.10=1,1.44.10=11.11.4=11.2=22

2−1.2+1=2−12+1=2−1=1

Với a>0 ta có:

27a.3a=27a.3a=81a2=9a=9a

Với a≥3, thì 3-a≤0, ta có: 

a4(3−a)2=a4.(3−a)2=a23−a=a2(a−3)

Với a<b<0 thì a-b<0, ta có

1a−ba6(a−b)2=1a−ba6.(a−b)2=1a−ba3.a−b=1a−b.a3.a−b=a3

A=(8+72−2)2=8.2+72.2−2.2=16+144−4=4+12−2=14

B=4+7-4−72=4+72−24+74−7+4−72 =4+7−2(4+7)(4−7)+4−7     =8−216−7     =8−2.3     =2

C=35+235−2     =352−2     =45−2     =43

Ta có (16+4)2=20 và (16+4)2=(4+2)2=36

Cho nên (16+4)2<(16+4)2

Do đó 16+4<16+4

Hai vế của bất đẳng thức luôn không âm nên bình phương hai vế, ta được

a+b2≤a+b2⇔a+b≤a+2ab+b

⇔2ab≥0(luôn đúng).

Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0

Do đó a+b≤a+b, với mọi a,b không âm.

Hai vế của bất đẳng thức luôn không âm nên bình phương hai vế, ta được

ac+bd2≤(a2+b2)(c2+d2)⇔a2c2+2acbd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2⇔a2d2−2adbc+b2c2≥0⇔ad-bc2≥0

Dấu “ = “ xảy ra khi bc=ad hay a=kc; b=kd.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ta có

A=3x+2y≤(32+22)(x2+y2)

Mà 32+22(x2+y2)=13.52=13.13.4=13.2=26

Do đó A≤26 suy ra −26≤x≤26

Dấu “ =” xảy ra khi x=3k và y=2k, do đó

1. Điều kiện xác định x≠a và x≠32a

Ta có

A=2x2−ax−3a22x2−5ax+3a2=2x2+2ax−3ax−3a22x2−2ax−3ax+3a2=2x(x+a)−3a(x+a)2x(x−a)−3a(x−a)=(x+a)(2x−3a)(x−a)(2x−3a)=x+ax−a

2. Thay x=a2+1 vào biểu thức rút gọn trên ta được:

A=a2+1+aa2+1−a=a2+1+aa2+1+aa2+1−aa2+1+a=a2+1+a2a2+1−a2=a2+1+a2

1. Điều kiện xác định là: a≥0b≥0a≠b

Ta có aa+bb=a3+b3=a+ba−ab+b

Khi đó

A=a+b−abaa+bb−a−b−1a−b=1a+b−a−b−1a−b=a−ba−b−a−b−1a−b=a−b−a−b−1a−b=1a−b

2. Với a-b=1, suy ra A = 1

Giả sử hai tam giác đồng dạng với tỉ số k, suy ra 

a'a=b'b=c'c=k⇔a'=kab'=kbc'=kc

Khi đó, ta biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng

ka2+kb2+kc2=a+b+c(ak+bk+ck)⇔ak+bk+ck=k(a+b+c)2

⇔k(a+b+c)=k(a+b+c) (luôn đúng).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Điều kiện xác định: x2−9≥0x−3≥0⇔x2≥9x≥3⇔x≥3

Biến đổi phương trình đã cho về dạng

x−3x+3−x−3=0⇔x−3=0x+3=1⇔x=3x=−2

Kết hợp điều kiện xác định ta được x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho.

Nhận xét: Như chúng ta đã biết, phương trình trên còn có thể giải bằng phương pháp biến đổi tương đương, cụ thể

x2−9−x−3=0⇔x−3≥0x2−9=x−3⇔x≥3x2−9=x−3⇔x≥3(x−3)(x+3)=x−3⇔x≥3(x−3)(x+2)=0⇔x≥3x=3x=−2⇔x=3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.

49.100=49.100=7.10=70

24.(−9)2=24.(−9)2=22.−9=36

72.32=36.2.36=64.36=8.6=48

12,1.490=12,1.49.10=121.49=121.49=11.7=77

27.48(a−3)2=27.3.16.(a−3)2=81.16.(a−3)2=9.4.a−3=36.a−3

18.75a2=16.3.25.3.a2=16.9.25.a2=4.3.5.a=60a

Với a>0, ta có

a.9a=a.9a=9=3

Với a<0, ta có

8a2.18a4=8a2.18a4=144a6=144.a6=12a=−12a3

A=72.18=36.2.9.2=36.4.9=6.2.3=36

B=257.716=257.716=2516=54

C=92+32−22     =92.2+32.2−2.2     =92⋅2+32⋅2−2.2     =9+3−4     =3+3−2     =1+3

A=5+2+15−1=5+15−1+25−1=5−1+2.5−2.1=4+10−2

B=2+1+32+1−3=2+12−32=2+22+1−3=22

C=4−3−4+32=4−3−24−3.4+3+4+3=8−24+34−3=8−216−3=8−213

VP=8+215=5+25.3+3=5+32=5+3=VT

VP=9+45=5+25.2+4=5+22=5+2=VT

Với a > 0, hai vế luôn dương nên bình phương hai vế của bất đẳng thức ta được:

a+12>a+12⇔a+1+2a>a+1

⇔2a>0 (luôn đúng)

Vậy a+1>a+1 với mọi a > 0

Với a≥1, tức là a−1≥0, hai vế luôn không âm nên bình phương hai vế của bất đẳng thức ta được

a−12<a2⇔a−1<a

⇔−1<0 (luôn đúng)

Vậy a−1<a với mọi a≥1

6−12=6−26=7−263−22=3−23.2+2=5−26

Dễ thấy 7−26>5−26

Do đó 6−1>3−2

Ta có:

p−a+p−b+p−c2≤1.p−a+1.p−b+1.p−c2

Suy ra

p−a+p−b+p−c2≤12+12+12p−a+p−b+p−c⇔p−a+p−b+p−c2≤3p⇔p−a+p−b+p−c≤3p

Đẳng thức xảy ra khi p−a1=p−b1=p−c1 hay a=b=c

Ta tiếp tục chứng minh p<p−a+p−b+p−c

Ta có

p<p−a+p−b+p−c⇔p<p−a+p−b+p−c+2(p−a)(p−b)+2(p−b)(p−c)+2p−c(p−a)

⇔2(p−a)(p−b)+2(p−b)(p−c)+2p−c(p−a)>0 (luôn đúng)

Vậy p<p−a+p−b+p−c≤3p