Bài tập Toán 9 Bài 3 (có đáp án): Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Với a<b<0 thì a-b<0, ta có

$\begin{array}{l}\frac{1}{a-b}\sqrt{a^6{(a-b)}^2}\\ =\frac{1}{a-b}\sqrt{a^6}.\sqrt{{(a-b)}^2}\\ =\frac{1}{a-b}\left|a^3\right|.\left|a-b\right|\\ =\frac{1}{a-b}.\left(a^3\right).\left(a-b\right)\\ =a^3\end{array}$

$\begin{array}{l}A=(\sqrt{8}+\sqrt{72}-\sqrt{2})\sqrt{2}\\ =\sqrt{8}.\sqrt{2}+\sqrt{72}.\sqrt{2}-\sqrt{2}.\sqrt{2}\\ =\sqrt{16}+\sqrt{144}-\sqrt{4}\\ =4+12-2\\ =14\end{array}$

$\begin{array}{l}B={\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)}^2\\ ={\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}\right)}^2-2\sqrt{4+\sqrt{7}}\sqrt{4-\sqrt{7}}+{\left(\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)}^2\\ =4+\sqrt{7}-2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7}})+4-\sqrt{7}\\ =8-2\sqrt{16-7}\\ =8-2.3\\ =2\end{array}$

$\begin{array}{l}C=\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\\ ={\left(3\sqrt{5}\right)}^2-2\\ =45-2\\ =43\end{array}$

Ta có ${\left(\sqrt{16+4}\right)}^2=20$ và ${(\sqrt{16}+\sqrt{4})}^2={(4+2)}^2=36$

Cho nên ${\left(\sqrt{16+4}\right)}^2<({\sqrt{16+\sqrt{4})}}^2$

Do đó $\sqrt{16+4}<\sqrt{16}+\sqrt{4}$

Hai vế của bất đẳng thức luôn không âm nên bình phương hai vế, ta được

$\begin{array}{l}{\left(\sqrt{a+b}\right)}^2\le {\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2\\ \iff a+b\le a+2\sqrt{ab}+b\end{array}$

$\iff 2\sqrt{ab}\ge 0$(luôn đúng).

Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0

Do đó $\sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}$, với mọi a,b không âm.

Hai vế của bất đẳng thức luôn không âm nên bình phương hai vế, ta được

$\begin{array}{l}{\left(ac+bd\right)}^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)\\ \iff a^2{c}^2+2acbd+b^2{d}^2\le a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2+b^2{d}^2\\ \iff a^2{d}^2-2adbc+b^2{c}^2\ge 0\\ \iff {\left(ad-bc\right)}^2\ge 0\end{array}$

Dấu “ = “ xảy ra khi bc=ad hay a=kc; b=kd.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ta có

$\left|A\right|=\left|3x+2y\right|\le \sqrt{(3^2+2^2)(x^2+y^2)}$

Mà $\sqrt{\left(3^2+2^2\right)(x^2+y^2)}=\sqrt{13.52}=\sqrt{\mathrm{13.13.4}}=13.2=26$

Do đó $\left|A\right|\le 26$ suy ra $-26\le x\le 26$

Dấu “ =” xảy ra khi $x=3k$ và $y=2k$, do đó

1. Điều kiện xác định $x\ne a$ và $x\ne \frac{3}{2}a$

Ta có

$\begin{array}{l}A=\frac{2x^2-ax-3a^2}{2x^2-5ax+3a^2}\\ =\frac{2x^2+2ax-3ax-3a^2}{2x^2-2ax-3ax+3a^2}\\ =\frac{2x(x+a)-3a(x+a)}{2x(x-a)-3a(x-a)}\\ =\frac{(x+a)(2x-3a)}{(x-a)(2x-3a)}\\ =\frac{x+a}{x-a}\end{array}$

2. Thay $x=\sqrt{a^2+1}$ vào biểu thức rút gọn trên ta được:

$$\begin{gathered} A=\frac{\sqrt{a^2+1}+a}{\sqrt{a^2+1}-a}=\frac{\left(\sqrt{a^2+1}+a\right)\left(\sqrt{a^2+1}+a\right)}{\left(\sqrt{a^2+1}-a\right)\left(\sqrt{a^2+1}+a\right)} \\ =\frac{{\left(\sqrt{a^2+1}+a\right)}^2}{a^2+1-a^2}={\left(\sqrt{a^2+1}+a\right)}^2 \end{gathered}$$

1. Điều kiện xác định là: $\left\{\begin{array}{l}a\ge 0\\ b\ge 0\\ a\ne b\end{array}\right.$

Ta có $a\sqrt{a}+b\sqrt{b}={\left(\sqrt{a}\right)}^3+{\left(\sqrt{b}\right)}^3=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)$

Khi đó

$\begin{array}{l}A=\frac{a+b-\sqrt{ab}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-1}{a-b}\\ =\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-1}{a-b}\\ =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-1}{a-b}\\ =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}-1\right)}{a-b}\\ =\frac{1}{a-b}\end{array}$

2. Với a-b=1, suy ra A = 1

Giả sử hai tam giác đồng dạng với tỉ số k, suy ra 

$\begin{array}{l}\frac{a^{\text{'}}}{a}=\frac{b^{\text{'}}}{b}=\frac{c^{\text{'}}}{c}=k\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^{\text{'}}=ka\\ b^{\text{'}}=kb\\ c^{\text{'}}=kc\end{array}\right.\end{array}$

Khi đó, ta biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng

$\begin{array}{l}\sqrt{k{a}^2}+\sqrt{k{b}^2}+\sqrt{k{c}^2}=\sqrt{\left(a+b+c\right)(ak+bk+ck)}\\ \iff a\sqrt{k}+b\sqrt{k}+c\sqrt{k}=\sqrt{k{(a+b+c)}^2}\end{array}$

$\iff \sqrt{k}(a+b+c)=\sqrt{k}(a+b+c)$ (luôn đúng).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-9\ge 0\\ x-3\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2\ge 9\\ x\ge 3\end{array}\right.\iff x\ge 3$

Biến đổi phương trình đã cho về dạng

$\begin{array}{l}\sqrt{x-3}\sqrt{x+3}-\sqrt{x-3}=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\sqrt{x-3}=0\\ \sqrt{x+3}=1\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-2\end{array}\right.\end{array}$

Kết hợp điều kiện xác định ta được x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho.

Nhận xét: Như chúng ta đã biết, phương trình trên còn có thể giải bằng phương pháp biến đổi tương đương, cụ thể

$\begin{array}{l}\sqrt{x^2-9}-\sqrt{x-3}=0\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x-3\ge 0\\ \sqrt{x^2-9}=\sqrt{x-3}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ x^2-9=x-3\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ (x-3)(x+3)=x-3\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ (x-3)(x+2)=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-2\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \iff x=3\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.

$\sqrt{49.100}=\sqrt{49}.\sqrt{100}=7.10=70$

$\sqrt{2^4.{(-9)}^2}=\sqrt{2^4}.\sqrt{{(-9)}^2}=2^2.\left|-9\right|=36$

$\sqrt{72.32}=\sqrt{\mathrm{36.2.36}}=\sqrt{64}.\sqrt{36}=8.6=48$

$\sqrt{12,1.490}=\sqrt{12,\mathrm{1.49.10}}=\sqrt{121.49}=\sqrt{121}.\sqrt{49}=11.7=77$

$\sqrt{27.48{(a-3)}^2}=\sqrt{\mathrm{27.3.16.}{(a-3)}^2}$$=\sqrt{81}.\sqrt{16}.\sqrt{{(a-3)}^2}=\mathrm{9.4.}\left|a-3\right|=36.\left|a-3\right|$

$\sqrt{18.75a^2}=\sqrt{\mathrm{16.3.25.3.}{a}^2}$$=\sqrt{16}.\sqrt{9}.\sqrt{25}.\sqrt{a^2}=\mathrm{4.3.5.}\left|a\right|=60\left|a\right|$

Với a>0, ta có

$\sqrt{a}.\sqrt{\frac{9}{a}}=\sqrt{a.\frac{9}{a}}=\sqrt{9}=3$

Với a<0, ta có

$\sqrt{8a^2}.\sqrt{18a^4}=\sqrt{8a^2.18a^4}=\sqrt{144a^6}$$=\sqrt{144}.\sqrt{a^6}=12\left|a\right|=-12a^3$

$A=\sqrt{72}.\sqrt{18}=\sqrt{\mathrm{36.2.9.2}}=\sqrt{36}.\sqrt{4}.\sqrt{9}=\mathrm{6.2.3}=36$

$B=\sqrt{\frac{25}{7}}.\sqrt{\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{25}{7}.\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$

$\begin{array}{l}C=\left(\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{2}\right)\sqrt{2}\\ =\sqrt{\frac{9}{2}}.\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}.\sqrt{2}-\sqrt{2}.\sqrt{2}\\ =\sqrt{\frac{9}{2}\cdot 2}+\sqrt{\frac{3}{2}\cdot 2}-\sqrt{2.2}\\ =\sqrt{9}+\sqrt{3}-\sqrt{4}\\ =3+\sqrt{3}-2\\ =1+\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}A=\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)\\ =\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)+\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right)\\ =5-1+\sqrt{2}.\sqrt{5}-\sqrt{2}.1\\ =4+\sqrt{10}-\sqrt{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}B=\left(\sqrt{2}+1+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+1-\sqrt{3}\right)\\ ={\left(\sqrt{2}+1\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2\\ =2+2\sqrt{2}+1-3\\ =2\sqrt{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}C={\left(\sqrt{4-\sqrt{3}}-\sqrt{4+\sqrt{3}}\right)}^2\\ =4-\sqrt{3}-2\sqrt{4-\sqrt{3}}.\sqrt{4+\sqrt{3}}+4+\sqrt{3}\\ =8-2\sqrt{\left(4+\sqrt{3}\right)\left(4-\sqrt{3}\right)}\\ =8-2\sqrt{16-3}\\ =8-2\sqrt{13}\end{array}$

$$\begin{gathered} VP=\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{5+2\sqrt{5}.\sqrt{3}+3} \\ =\sqrt{{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{5}+\sqrt{3}=VT \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} VP=\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{5+2\sqrt{5}.2+4} \\ =\sqrt{{\left(\sqrt{5}+2\right)}^2}=\sqrt{5}+2=VT \end{gathered}$$

Với a > 0, hai vế luôn dương nên bình phương hai vế của bất đẳng thức ta được:

$\begin{array}{l}{\left(\sqrt{a}+1\right)}^2>{\left(\sqrt{a+1}\right)}^2\\ \iff a+1+2\sqrt{a}>a+1\end{array}$

$\iff 2\sqrt{a}>0$ (luôn đúng)

Vậy $\sqrt{a}+1>\sqrt{a+1}$ với mọi a > 0

Với $a\ge 1$, tức là $a-1\ge 0$, hai vế luôn không âm nên bình phương hai vế của bất đẳng thức ta được

$\begin{array}{l}{\left(\sqrt{a-1}\right)}^2<{\left(\sqrt{a}\right)}^2\\ \iff a-1<a\end{array}$

$\iff -1<0$ (luôn đúng)

Vậy $\sqrt{a-1}<\sqrt{a}$ với mọi $a\ge 1$

$\begin{array}{l}{\left(\sqrt{6}-1\right)}^2=6-2\sqrt{6}=7-2\sqrt{6}\\ {\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2=3-2\sqrt{3}.\sqrt{2+2}=5-2\sqrt{6}\end{array}$

Dễ thấy $7-2\sqrt{6}>5-2\sqrt{6}$

Do đó $\sqrt{6}-1>\sqrt{3}-\sqrt{2}$

Ta có:

${\left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)}^2\le {\left(1.\sqrt{p-a}+1.\sqrt{p-b}+1.\sqrt{p-c}\right)}^2$

Suy ra

$\begin{array}{l}{\left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)}^2\le \left(1^2+1^2+1^2\right)\left(p-a+p-b+p-c\right)\\ \iff {\left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)}^2\le 3p\\ \iff \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le \sqrt{3p}\end{array}$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{\sqrt{p-a}}{1}=\frac{\sqrt{p-b}}{1}=\frac{\sqrt{p-c}}{1}$ hay a=b=c

Ta tiếp tục chứng minh $\sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}$

Ta có

$\begin{array}{l}\sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\\ \iff p<p-a+p-b+p-c+2\sqrt{(p-a)(p-b)}+2\sqrt{(p-b)(p-c)}+2\sqrt{\left(p-c\right)(p-a)}\end{array}$

$\iff 2\sqrt{(p-a)(p-b)}+2\sqrt{(p-b)(p-c)}+2\sqrt{\left(p-c\right)(p-a)}>0$ (luôn đúng)

Vậy $\sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le \sqrt{3p}$