Bài tập Tìm điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Điều kiện xác định của biểu thức \(A = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \) là
−2 < x < 1.
−2 ≤ x ≤ 1.
x ≥ 1.
x ∈ ℝ.
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của biểu thức A là
(1 – x)2 ≥ 0 (luôn đúng) và (x + 2)2 ≥ 0 (luôn đúng).
Vậy biểu thức A xác định với mọi x ∈ ℝ.
Điều kiện xác định của biểu thức \(A = \sqrt {{x^2} - 2x + 1} \) là
x ∈ ℝ.
x ≠ 1.
x > 1.
x ≥ 1.
Đáp án đúng là: A
Điều kiện xác định của biểu thức A là x2 – 2x + 1 ≥ 0 hay (x – 1)2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi x ∈ ℝ).
Vậy biểu thức A xác định với mọi x ∈ ℝ.
Điều kiện xác định của biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\) là
x ∈ ℝ.
x ≠ 0.
x > 0.
x ≥ 0.
Đáp án đúng là: D
• \(\sqrt x \) xác định khi x ≥ 0.
• \(\sqrt x + 3 \ne 0\) (luôn đúng với mọi x ≥ 0).
Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là x ≥ 0.
Điều kiện xác định của biểu thức \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}}\) là
x ∈ ℝ.
x ≠ 3.
x > 0, x ≠ 9.
x ≥ 0, x ≠ 9.
Đáp án đúng là: D
• \(\sqrt x \) xác định khi x ≥ 0.
• \(\sqrt x - 3 \ne 0\) hay \(\sqrt x \ne 3\) suy ra x ≠ 9.
• x – 9 ≠ 0 suy ra x ≠ 9.
Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≥ 0 và x ≠ 9.
Căn thức nào dưới đây có điều kiện xác định với mọi a ∈ ℝ?
\(P = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}}\).
\(P = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {{a^2}} + 1}}\).
\(P = \frac{{2a + \sqrt 8 }}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\).
\(P = \frac{{2\sqrt a - 4}}{{\sqrt {{a^2} + 1} - 2}}\).
Đáp án đúng là: C
Nhận thấy biểu thức \(P = \frac{{2a + \sqrt 8 }}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\) luôn xác định với mọi a ∈ ℝ vì \(\sqrt {{a^2} + 1} \) luôn xác định với mọi a ∈ ℝ.
Điều kiện xác định của biểu thức \(A = \frac{{3\sqrt x + x}}{{9 - x}}\) là
x ∈ ℝ.
x ≠ 3.
x > 0, x ≠ 9.
x ≥ 0, x ≠ 9.
Đáp án đúng là: D
Ta có:
• \(\sqrt x \) xác định khi x ≥ 0.
• 9 – x ≠ 0 khi x ≠ 9.
Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là x ≥ 0 và x ≠ 9.
Điều kiện xác định của biểu thức \(B = \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\) là
x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 1.
x > 0, x ≠ 1.
x > 0, x ≠ 9.
x ≥ 0, x ≠ 9.
Đáp án đúng là: A
Với mọi x ≥ 0, ta có:
• \(\sqrt x + 3\) ≠ 0 suy ra \(\sqrt x \ne - 3\) (luôn đúng với mọi x ≥ 0).
• \(1 - \sqrt x \ne 0\) hay \(\sqrt x \ne 1\) suy ra x ≠ 1.
• \(\sqrt x - 3 \ne 0\) hay \(\sqrt x \ne 3\) suy ra x ≠ 9.
Vậy điều kiện xác định của biểu thức B là x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 4.
Điều kiện xác định của biểu thức
\(C = \left( {\frac{{2\sqrt x + x}}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\) là
x > 0, x ≠ 1.
x ≥ 0, x ≠ 1.
x > 1.
x ≥ 1.
Đáp án đúng là: B
Với mọi x ≥ 0, ta có:
• \(\sqrt x - 1 \ne 0\) hay \(\sqrt x \ne 1\) suy ra x ≠ 1.
• x + \(\sqrt x + 1 \ne 0\) hay \({\left( {\sqrt x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ne 0\) (luôn đúng với mọi x ≥ 0).
• \(x\sqrt x - 1 \ne 0\) hay \(\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right) \ne 0\) suy ra x ≠ 1.
Vậy điều kiện xác định của biểu thức C là x ≥ 0 và x ≠ 1.
Điều kiện xác định của căn thức \(Q = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{\sqrt a + 2}} - \frac{{3\sqrt a }}{{a + \sqrt a - 2}}\) là
a > 0, a ≠ 1.
a ≥ 0, a ≠ 1.
a > 1.
a ≥ 1.
Đáp án đúng là: B
Với mọi a ≥ 0, ta có:
• \(\sqrt a - 1 \ne 0\) hay \(\sqrt a \ne 1\) suy ra \(a \ne 1\).
• \(\sqrt a + 2 \ne 0\) hay \(\sqrt a \ne - 2\) (luôn đúng với mọi a ≠ 0).
• \(a + \sqrt a - 2 \ne 0\) hay \(\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right) \ne 0\) suy ra a ≠ 1.
Vậy điều kiện xác định của Q là a ≥ 0 và a ≠ 1.
Điều kiện xác định của căn thức \(P = \frac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} + \frac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }} - \frac{4}{{\sqrt x }}\) là
x > 0, x ≠ 1.
x ≥ 0, x ≠ 1.
x > 1.
x ≥ 1.
Đáp án đúng là: A
Với mọi x ≥ 0, ta có:
• \(x - \sqrt x \ne 0\) hay \(\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) \ne 0\) suy ra x ≠ 0 và x ≠ 1.
• \(x + \sqrt x \ne 0\) hay \(\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) \ne 0\) suy ra x ≠ 0 (do \(\sqrt x + 1\) ≠ 0 luôn đúng với mọi x ≥ 0).
• \(\sqrt x \ne 0\) khi x ≠ 0.
Vậy điều kiện xác định của biểu thức P là x > 0 và x ≠ 1.
Căn thức A xác định khi −x2 + 2x – 1 ≥ 0.
Căn thức A có cùng điều kiện với căn thức \(B = \sqrt { - \left( {x - 1} \right)} \).
Căn thức A chỉ xác định tại một giá trị x = 1.
Giá trị của căn thức A tại x = 1 là một số dương.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Điều kiện xác định của căn thức A là −x2 + 2x – 1 ≥ 0.
b) Sai.
Ta có: −x2 + 2x – 1 = −(x – 1)2 ≤ 0 với mọi x.
Mà điều kiện xác định là −x2 + 2x – 1 ≥ 0.
Suy ra –(x – 1)2 = 0, do đó x – 1 = 0 hay x = 1.
Điều kiện xác định của \(B = \sqrt { - \left( {x - 1} \right)} \) là –(x – 1) ≥ 0 hay x ≤ 1.
Do đó căn thức A và B không cùng điều kiện xác định.
c) Đúng.
Vì điều kiện xác định của căn thức A là x = 1, do đó căn thức A chỉ xác định tại x = 1.
d) Sai.
Thay x = 1 (thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được:
A = \( = \sqrt { - {1^2} + 2.1 - 1} = \sqrt { - 1 + 2 - 1} = 0\).
Căn thức B xác định khi \(\frac{{2025}}{{2x + 3}} \ge 0\).
Căn thức B có điều kiện xác định là x ≥ \( - \frac{3}{2}\).
Giá trị của B = 0 tại x = \( - \frac{3}{2}\).
Tồn tại một số nguyên âm để căn thức B xác định.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Điều kiện xác định của B là \(\frac{{2025}}{{2x + 3}} \ge 0\).
b) Sai.
Ta có: \(\frac{{2025}}{{2x + 3}} \ge 0\) khi 2x + 3 > 0 hay x > \( - \frac{3}{2}\).
c) Sai.
Vì điều kiện xác định của B là x > \( - \frac{3}{2}\) nên tại x = \( - \frac{3}{2}\) thì ta không tính được giá trị của B.
d) Đúng.
Vì điều kiện xác định là x > \( - \frac{3}{2}\) nên có giá trị x = −1 là số nguyên âm thỏa mãn điều kiện xác định của B.
Biểu thức P xác định khi x ≥ 0 và \(3 - \sqrt x \ne 0\).
Tại x = 3 thì P không xác định.
Giá trị của biểu thức P tại x = 4 là \( - \frac{1}{2}.\)
Có hai số nguyên dương mà tại đó P không xác định.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai
Biểu thức P xác định khi x > 0 và \(3 - \sqrt x \ne 0\).
b) Sai.
Điều kiện xác định của P là x > 0 và x ≠ 9.
Do đó, với x = 3 thì biểu thức P xác định.
c) Đúng.
Thay x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào P được:
\(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt 4 }} - \frac{1}{{3 - \sqrt 4 }}} \right):\frac{1}{{3 - \sqrt 4 }} = \left( {\frac{1}{2} - 1} \right):\frac{1}{1} = - \frac{1}{2}\).
d) Sai.
Nhận thấy, điều kiện xác định của P là x > 0 và x ≠ 9.
Do đó, có 1 số nguyên dương mà tại đó P không xác định là 9.
Điều kiện xác định của biểu thức A là x > −1.
Biểu thức A có cùng điều kiện xác định với \(B = \sqrt {\frac{2}{{5{x^2} + 10x + 5}}} \).
Chỉ có một giá trị nguyên của x để biểu thức A không xác định.
Giá trị của biểu thức A tại x = 4 là \(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Để biểu thức A xác định thì \(\frac{5}{{2{x^2} + 4x + 2}} \ge 0\).
Xét \(\frac{5}{{2{x^2} + 4x + 2}} \ge 0\) suy ra 2x2 + 4x + 2 > 0 hay 2(x + 1)2 > 0 (luôn đúng với x ≠ −1).
Do đó, điều kiện xác định của A là x ≠ −1.
b) Đúng.
Điều kiện xác định của B là \(\frac{2}{{5{x^2} + 10x + 5}} \ge 0\) hay \(\frac{2}{{5{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0\) (luôn đúng với x ≠−1)
Do đó, điều kiện xác định của B là x ≠−1.
Do đó, biểu thức A và B có cùng điều kiện xác định.
c) Đúng.
Vì điều kiện xác định của A là x ≠ −1 nên chỉ có một giá trị nguyên của x để biểu thức A không xác định là x = −1.
d) Đúng.
Thay x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào A được \(A = \sqrt {\frac{5}{{2 \cdot {4^2} + 4 \cdot 4 + 2}}} = \sqrt {\frac{5}{{50}}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
Biểu thức B xác định khi a – 9 ≠ 0.
Điều kiện xác định của B là a > 0 và a ≠ 9.
Giá trị của biểu thức B tại a = 16 là \(\frac{{11}}{7}\).
Biểu thức B và biểu thức \(A = \frac{{\sqrt a + 2}}{{a - \sqrt a - 6}}\) có cùng điều kiện xác định.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Biểu thức B xác định khi a ≥ 0; a – 9 ≠ 0 và \(\sqrt a - 3 \ne 0\).
b) Đúng.
Giải điều kiện xác định của B, được:
• a ≥ 0
• \(\sqrt a - 3 \ne 0\) nên a ≠ 9.
• a – 9 ≠ 0 nên a ≠ 9.
Do đó, điều kiện xác định của A là a ≥ 0 và a ≠ 9.
c) Đúng.
Với a = 16 (thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào B được:
\(B = \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} - 3}} - \frac{3}{{\sqrt {16} + 3}} - \frac{{16 - 2}}{{16 - 9}} = \frac{{11}}{7}\).
d) Đúng.
Ta có điều kiện xác định của biểu thức \(A = \frac{{\sqrt a + 2}}{{a - \sqrt a - 6}}\) là a ≥ 0 và \(a - \sqrt a - 6 \ne 0\).
Do đó, a ≥ 0 và \(\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right) \ne 0\).
Suy ra a ≥ 0 và a ≠ 9.
Vậy biểu thức A và B có cùng điều kiện xác định.
Cho căn thức \(C = \sqrt {\frac{{2 - 7x}}{{2026}}} \). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x > −2 thỏa mãn điều kiện xác định của C?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
Điều kiện xác định của C là \(\frac{{2 - 7x}}{{2026}} \ge 0\) suy ra 2 – 7x ≥ 0 nên x ≤ \(\frac{2}{7}\).
Do đó, các giá trị nguyên thỏa mãn −2 < x ≤ \(\frac{2}{7}\) là {−1; 0}.
Vậy có hai giá trị nguyên thỏa mãn.
Cho căn thức \(D = \sqrt { - \left| {x - 2026} \right|} \). Tìm giá trị của x căn thức D xác định.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2026
Điều kiện xác định của D là \( - \left| {x - 2026} \right| \ge 0\).
Nhận thấy \(\left| {x - 2026} \right| \ge 0\) nên \( - \left| {x - 2026} \right| \le 0\).
Mà điều kiện xác định là \( - \left| {x - 2026} \right| \ge 0\), suy ra \(x - 2016 = 0\) nên x = 2016.
Cho biểu thức \(E = \frac{{2x - \sqrt {\left| {1 - 2x} \right|} }}{{27 + {x^3}}}\). Biết rằng E xác định khi x ≠ a. Hỏi giá trị của a bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đáp án: −3
Điều kiện xác định của biểu thức E là |1 – 2x| ≥ 0 (luôn đúng với mọi x) và x3 + 27 ≠ 0.
Suy ra x3 ≠ −27 hay x ≠ −3.
Do đó, a = −3.
Cho biểu thức \(P = \sqrt {\frac{5}{{4{x^2} - 12x + 9}}} \). Biết rằng P xác định khi x ≠ \(\frac{a}{b}\) (với a, b ∈ ℕ và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính giá trị của a + b.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 5
Điều kiện xác định: \(\frac{5}{{4{x^2} - 12x + 9}} \ge 0\).
Suy ra 4x2 – 12x + 9 > 0, do đó (2x – 3)2 > 0 (luôn đúng với x ≠ \(\frac{3}{2}\))
Do đó, a + b = 3 + 2 = 5.
Cho biểu thức \(\sqrt {\frac{{ - \left| {196 - {x^2}} \right|}}{5}} \). Hỏi có bao nhiêu giá trị của x thì biểu thức có nghĩa?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
Để biểu thức \(\sqrt {\frac{{ - \left| {196 - {x^2}} \right|}}{5}} \) có nghĩa thì \(\frac{{ - \left| {196 - {x^2}} \right|}}{5} \ge 0\).
Nhận thấy \(\frac{{\left| {196 - {x^2}} \right|}}{5} \ge 0\) với mọi x nên \(\frac{{ - \left| {196 - {x^2}} \right|}}{5} \le 0\) với mọi x.
Do đó, để \(\sqrt {\frac{{ - \left| {196 - {x^2}} \right|}}{5}} \) có nghĩa thì \(\frac{{ - \left| {196 - {x^2}} \right|}}{5} = 0\).
Suy ra |196 – x2| = 0 hay 196 – x2 = 0, suy ra x2 = 196.
Từ đó \(x = \sqrt {196} = 14\) hoặc \(x = - \sqrt {196} = - 14\).
Vậy có hai giá trị của x để biểu thức có nghĩa.
