Bài tập Sử dụng phép toán tổng, hiệu hai vectơ và tích của một vectơ với một số để chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} \)\( = \overrightarrow {AD} + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right)\)\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Khi đó \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} ;\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \).

Khi đó \[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AC} \)\( = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {AC} \)\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC} \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì BB'C'C là hình bình hành nên \(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AA'} \)\( = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} \)\( = - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right)\]\[ = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \]\[ = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CC'} \]

\[ = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c \].

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng.Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \)

\( = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} + 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} \)\( = 2\overrightarrow {MN} \).

c) Đúng. Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 2\overrightarrow {IM} \).

Vì N là trung điểm của CD nên \(\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IN} \).

Mà I là trung điểm của MN nên \(\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IN} = 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

d) Sai. Vì \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \) nên \(4\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \).

Mà G là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).

Do đó \(4\overrightarrow {AI} + 3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow 0 \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Theo quy tắc hình hộp thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).

b) Sai. G là trọng tâm của tam giác AB'C nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \).

d) Sai. Ta có DBIG đồng dạng với DD'B'G nên

\(\frac{{BG}}{{D'G}} = \frac{{BI}}{{D'B'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BG}}{{BD'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {BD'} = 3\overrightarrow {BG} .\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng.Gọi M là trung điểm của B'C'.

Ta có \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G} \)\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {A'M} \)\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AA'} } \right)\)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\).

b) Sai. \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CC'} } \right)\)

\[ = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\]\[ = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].

c) Sai. Tương tự: \(\overrightarrow {CG} = \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G} \)\( = \overrightarrow {CC'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {C'B'} } \right)\)\( = \overrightarrow {CC'} + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\).

d) Sai. \[\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AB} \]\( = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) - \overrightarrow b = \overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b + \frac{1}{3}\overrightarrow c \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. \[\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \]\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \].

b) Sai. \(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \).

c) Đúng. \(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)\)\[ = \overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} \].

d) Sai. Theo câu a, \[AI = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \]\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \]

\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \].

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng hướng nên chúng không bằng nhau.

b) Đúng. \(\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB'} \).

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right| = a\sqrt 2 \).

c) Sai. Do G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} \)\( = \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GC} \)\( = 3\overrightarrow {A'G} \).

d) Sai. \(\left| {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {A'G} } \right|\).

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác AA'G, ta có \(A'G = \sqrt {A{{A'}^2} + A{G^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {A'G} } \right| = 2a\sqrt 3 \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Có \(\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {D'D} - \overrightarrow {B'D'} \)\( = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {D'B'} = \overrightarrow {BB'} \).

Suy ra k = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Theo quy tắc hình hộp, ta có \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C} \).

Mặt khác, G là trọng tâm tam giác AB'D' nên \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = 3\overrightarrow {A'G} \).

Do đó \(\overrightarrow {A'C} = 3\overrightarrow {A'G} \). Suy ra k = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Có \(\overrightarrow {BO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BH} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BF} } \right)\)\( = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BF} \).

Suy ra \(m = \frac{1}{2};n = 1;p = \frac{1}{2}\). Do đó m + n + p = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} \) (1); \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CN} \) (2).

Nhân cả hai vế của (1) với 2 rồi cộng với (2), ta được

\(3\overrightarrow {MN} = \left( {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MS} } \right) + \left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SC} } \right) + \left( {2\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right)\).

Do \(\overrightarrow {MS} = - 2\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NC} \) nên \[\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MS} = \overrightarrow 0 \\2\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 \end{array} \right.\].

Suy ra \(3\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SC} \). Do đó \[\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {SC} \]. Vậy a = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −108

Có \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} \). Suy ra \(\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} \).

Có \(\overrightarrow {A'D} = \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {BD} \)\( = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} + 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {AC} \)\( = - \overrightarrow a - \overrightarrow b + 2\overrightarrow c \).

Suy ra m = −1; n = −1; p = 2.

Vậy T = 100p + 10m + n = −108.