Bài tập Sử dụng phép toán tổng, hiệu hai vectơ và tích của một vectơ với một số để chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\];
\[\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\];
\[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\].
Đáp án đúng là: C
Có G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên:
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \] \[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\].
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {BD} \];
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {AC'} \];
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {CA} \].
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành).
\[\overrightarrow 0 \];
\[2\overrightarrow {AD} \];
\[2\overrightarrow {MN} \];
\[2\overrightarrow {NM} \].
Đáp án đúng là: C
Ta có :
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} \)
\( = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DM} } \right) + 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} } \right) = 2\overrightarrow {MN} \).
(vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC nên \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)).
\[\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow d \];
\[\overrightarrow a = \overrightarrow b + \overrightarrow c \];
\[\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 \].
Đáp án đúng là: D
Ta thấy \(\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \).
\[\overrightarrow {MG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right)\];
\[\overrightarrow {MG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} } \right)\];
\[\overrightarrow {MG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)\];
\[\overrightarrow {MG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} } \right)\].
Đáp án đúng là: B
Gọi \(N\) là trung điểm BC thì G chính là trung điểm của MN. Do đó ta có:
\(\overrightarrow {MG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\).
\[\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d + \overrightarrow b } \right)\];
\[\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow d + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)\];
\[\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow b - \overrightarrow d } \right)\];
\[\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d - \overrightarrow b } \right)\].
Đáp án đúng là: D
Vì M, P lần lượt là trung điểm AB, CD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AP} \end{array} \right.\).
Ta có \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AP} = - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = - \frac{1}{2}\overrightarrow b + \frac{1}{2}\overrightarrow c + \frac{1}{2}\overrightarrow d = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d - \overrightarrow b } \right)\).
\[\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\];
\[\frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\];
\[\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + 3\overrightarrow c } \right)\];
\[\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].
Đáp án đúng là: B
Gọi I là trung điểm B'C'. Vì G' là trọng tâm tam giác A'B'C' \( \Rightarrow \overrightarrow {A'G'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} \).
Mặt khác \(\overrightarrow {AG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} = \overrightarrow {AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\).
\[\overrightarrow {AO} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\];
\[\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\];
\[\overrightarrow {AO} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\];
\[\overrightarrow {AO} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
Mặt khác O là trung điểm AC' \( \Rightarrow \overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
N là trung điểm BD;
N là đỉnh hình bình hành BCDN;
N là đỉnh hình bình hành CDBN;
N ≡ A.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {DC} \).
Suy ra N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\[\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PN} - \overrightarrow {PM} } \right)\];
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {PN} - \overrightarrow {PM} \];
\[\overrightarrow {AB} = 2\left( {\overrightarrow {PM} - \overrightarrow {PN} } \right)\];
\[\overrightarrow {AB} = 2\left( {\overrightarrow {PN} - \overrightarrow {PM} } \right)\].
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \].
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {CB} \].
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} \].
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} \)\( = \overrightarrow {AD} + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right)\)\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).
\[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \].
\[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 8\overrightarrow {SO} \].
\[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \].
\[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {OS} \].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.
Khi đó \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} ;\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \).
Khi đó \[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \].
\(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = 2\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {CA'} + 2\overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {AA'} \).
\(\overrightarrow {CA'} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CC'} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AC} \)\( = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {AC} \)\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {B'C} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {B'C} = - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì BB'C'C là hình bình hành nên \(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AA'} \)\( = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} \)\( = - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \frac{1}{2}\overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow a - \frac{1}{2}\overrightarrow b + \overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \).
\[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow c \].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Có \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right)\]\[ = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \]\[ = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CC'} \]
\[ = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c \].
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN} \).
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
\(3\overrightarrow {AI} - 2\overrightarrow {AG} = \overrightarrow 0 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \)
\( = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} + 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} \)\( = 2\overrightarrow {MN} \).
c) Đúng. Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 2\overrightarrow {IM} \).
Vì N là trung điểm của CD nên \(\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IN} \).
Mà I là trung điểm của MN nên \(\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \).
Khi đó \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IN} = 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) = \overrightarrow 0 \).
d) Sai. Vì \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \) nên \(4\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \).
Mà G là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).
Do đó \(4\overrightarrow {AI} + 3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'C'} \).
\(\overrightarrow {BD'} = 2\overrightarrow {BG} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Theo quy tắc hình hộp thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
b) Sai. G là trọng tâm của tam giác AB'C nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \).
d) Sai. Ta có DBIG đồng dạng với DD'B'G nên
\(\frac{{BG}}{{D'G}} = \frac{{BI}}{{D'B'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BG}}{{BD'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {BD'} = 3\overrightarrow {BG} .\)
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)\).
\(\overrightarrow {CG} = \overrightarrow a - \frac{1}{3}\overrightarrow b + \frac{2}{3}\overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {BG} = \overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b + \frac{1}{3}\overrightarrow c \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Gọi M là trung điểm của B'C'.
Ta có \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G} \)\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {A'M} \)\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AA'} } \right)\)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\).
b) Sai. \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CC'} } \right)\)
\[ = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\]\[ = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].
c) Sai. Tương tự: \(\overrightarrow {CG} = \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G} \)\( = \overrightarrow {CC'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {C'B'} } \right)\)\( = \overrightarrow {CC'} + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\).
d) Sai. \[\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AB} \]\( = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) - \overrightarrow b = \overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b + \frac{1}{3}\overrightarrow c \).
\[\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \].
\(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} \).
\(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} \).
\(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BD} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. \[\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \]\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \].
b) Sai. \(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \).
c) Đúng. \(\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)\)\[ = \overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} \].
d) Sai. Theo câu a, \[AI = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \]\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \]
\[ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \].
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
\(\left| {\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {AB} } \right| = a\sqrt 2 \).
\(\overrightarrow {A'G} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} \).
\(\left| {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} } \right| = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng hướng nên chúng không bằng nhau.
b) Đúng. \(\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB'} \).
Khi đó \(\left| {\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right| = a\sqrt 2 \).
c) Sai. Do G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Khi đó \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} \)\( = \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GC} \)\( = 3\overrightarrow {A'G} \).
d) Sai. \(\left| {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {A'G} } \right|\).
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Xét tam giác AA'G, ta có \(A'G = \sqrt {A{{A'}^2} + A{G^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {A'G} } \right| = 2a\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Có \(\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {D'D} - \overrightarrow {B'D'} \)\( = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {D'B'} = \overrightarrow {BB'} \).
Suy ra k = 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Theo quy tắc hình hộp, ta có \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C} \).
Mặt khác, G là trọng tâm tam giác AB'D' nên \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = 3\overrightarrow {A'G} \).
Do đó \(\overrightarrow {A'C} = 3\overrightarrow {A'G} \). Suy ra k = 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Có \(\overrightarrow {BO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BH} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BF} } \right)\)\( = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BF} \).
Suy ra \(m = \frac{1}{2};n = 1;p = \frac{1}{2}\). Do đó m + n + p = 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} \) (1); \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CN} \) (2).
Nhân cả hai vế của (1) với 2 rồi cộng với (2), ta được
\(3\overrightarrow {MN} = \left( {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MS} } \right) + \left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SC} } \right) + \left( {2\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right)\).
Do \(\overrightarrow {MS} = - 2\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NC} \) nên \[\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MS} = \overrightarrow 0 \\2\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 \end{array} \right.\].
Suy ra \(3\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SC} \). Do đó \[\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {SC} \]. Vậy a = 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −108
Có \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} \). Suy ra \(\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} \).
Có \(\overrightarrow {A'D} = \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {BD} \)\( = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} + 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {AC} \) \( = - \overrightarrow a - \overrightarrow b + 2\overrightarrow c \).
Suy ra m = −1; n = −1; p = 2.
Vậy T = 100p + 10m + n = −108.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
