Bài tập So sánh hai căn bậc hai lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Với a < 0 suy ra −a > 0 nên \(\sqrt { - a} < \sqrt { - 2a} \).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(5\sqrt 7 = \sqrt {25} .\sqrt 7 = \sqrt {25.7} = \sqrt {175} < \sqrt {196} = 14\).

Vậy chọn B.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\frac{{\sqrt {111} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\frac{{111}}{3}} = \sqrt {37} > \sqrt {36} = 6\).

Vậy chọn A.

Đáp án đúng là: B

Có 6 = \(\sqrt {36} \) < \(\sqrt {41} \) nên 6 < \(\sqrt {41} \).

Vậy chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

\(\sqrt {{\rm{0,09}}{\rm{.64}}} = \sqrt {5,76} = 2,4\)

\(\sqrt {0,04.81} = \sqrt {3,24} = 1,8\).

Vì 2,4 > 1,8 nên \(\sqrt {{\rm{0,09}}{\rm{.64}}} \) > \(\sqrt {0,04.81} \).

Vậy chọn A.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\sqrt {6,4.5.0,5} = \sqrt {6,4.2,5} > \sqrt {2,5.0,4} \).

Vậy chọn B.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 - 1\);

                  \(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 - 2.2\sqrt 5 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 - 2\).

Vì \(\sqrt 5 - 2\) < \(\sqrt 5 - 1\) nên \(\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } < \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } \).

Vậy chọn B.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\sqrt {5 - 6\sqrt 5 + 9} = \sqrt {5 - 2.3\sqrt 5 + 9} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 5 \);

                  \(\sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 - 1\).

Nhận thấy 3 – \(\sqrt 5 \)< 3 − \(\sqrt 4 \) hay 3 – \(\sqrt 5 \) < 1.

                      \(\sqrt 5 - 1 > \sqrt 4 - 1\) hay \(\sqrt 5 - 1 > 1\).

Suy ra \(\sqrt 5 - 1 > 3 - \sqrt 5 \).

Do đó, chọn B.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\sqrt {2 + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 } } = \sqrt {2 + \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} } = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1\)

                 \(\sqrt {5 - \sqrt {13 + \sqrt {48} } } = \sqrt {5 - \sqrt {13 + 4\sqrt 3 } } = \sqrt {5 - \sqrt {12 + 2.2\sqrt 3 + 1} } = \sqrt {5 - \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} } \)

                                        \( = \sqrt {5 - 2\sqrt 3 - 1} = \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 - 1\)

Nhận thấy \(\sqrt 2 + 1 > \sqrt 3 - 1\).

Do đó, \(\sqrt {2 + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 } } {\rm{ > }}\sqrt {5 - \sqrt {13 + \sqrt {48} } } \).

Chọn A.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

\(\sqrt {5 - 2\sqrt 3 - 2\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } } = \sqrt {5 - 2\sqrt 3 - 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} } \)

                                                          \( = \sqrt {5 - 2\sqrt 3 - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} = \sqrt {5 - 4\sqrt 3 + 2} \)

                                                          \( = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = 2 - \sqrt 3 \).

\(\sqrt {\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + \sqrt {18 - 8\sqrt 2 } } = \sqrt {\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 2 } \right)}^2}} } \)                                                                          \( = \sqrt {\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 4 - \sqrt 2 } = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt 3 + 1\).

Nhận thấy \(2 - \sqrt 3 < 1 + \sqrt 3 \).

Do đó, chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.              b) Sai.                    c) Đúng.            d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \(a = \frac{5}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}.\)

b) Sai.

Vì \(\frac{1}{2} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{1}{4}} \).

Do \(\frac{1}{4} < \frac{4}{5}\) nên \(\sqrt {\frac{1}{4}} < \sqrt {\frac{4}{5}} \).

Vậy \(\frac{1}{2} < \sqrt {\frac{4}{5}} \).

c) Đúng.

Vì \(\frac{1}{2} < \sqrt {\frac{4}{5}} \) nên \(2 + \frac{1}{2} < 2 + \sqrt {\frac{4}{5}} \) hay \(\frac{5}{2} < \sqrt {\frac{4}{5}} + 2\).

Vậy a < b.

d) Đúng.

Ta có: \(a + b = \frac{5}{2} + 2 + \sqrt {\frac{4}{5}} = \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{4}{5}} \).

Nhận thấy \(5 = \frac{{10}}{2} = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} < \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{4}{5}} \) \(\left( {do\,\,\,\frac{1}{2} < \sqrt {\frac{4}{5}} } \right)\).

Suy ra \(5 < \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{4}{5}} \) hay 5 < a + b (1)

Ta có: \(6 = \frac{{12}}{2} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} + \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{9}{4}} > \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{4}{5}} \,\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt {\frac{9}{4}} > \sqrt {\frac{4}{5}} } \right)\).

Suy ra \(6 > \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{4}{5}} \) hay 6 > a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 < a + b < 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.              b) Đúng.                c) Đúng.            d) Sai.

a) Đúng.

Ta có 23 > 16 nên \(\sqrt {23} > \sqrt {16} \) hay \(\sqrt {23} > 4\). Do đó \(\sqrt {23} > a\).

b) Đúng.

Vì \(\sqrt {23} > 4\) nên \(\sqrt {23} - 1 > 4 - 1\) hay \(\sqrt {23} - 1 > 3.\)

c) Đúng.

Ta có \(\sqrt {23} < \sqrt {25} \) nên \(\sqrt {23} - 1 < \sqrt {25} - 1\).

d) Sai.

Ta có \(\sqrt {23} - 1 < \sqrt {25} - 1\) hay \(\sqrt {23} - 1 < 5 - 1\), do đó \(\sqrt {23} - 1 < 4.\)

Vậy a > b.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.     b) Sai.            c) Sai.        d) Đúng.

a) Đúng.

\(n = 3 + \frac{5}{3}\).

b) Sai.

Ta có: \(\frac{5}{3} = \sqrt {\frac{{25}}{9}} \).

Nhận thấy \(3 = \frac{{27}}{9} > \frac{{25}}{9}\) nên \(\sqrt 3 > \sqrt {\frac{{25}}{9}} \) hay \(\sqrt 3 > \frac{5}{3}\).

c) Sai.

Có \(\sqrt 3 > \frac{5}{3}\) nên \(3 + \sqrt 3 > 3 + \frac{5}{3}\) hay \(3 + \sqrt 3 > \frac{{14}}{3}\).

Do đó, m > n.

d) Đúng.

Ta có: m + n = \(3 + \frac{{14}}{3} + \sqrt 3 = \frac{{23}}{3} + \sqrt 3 \).

Nhận thấy \(\sqrt 3 > \frac{5}{3}\) nên \(\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 > \frac{{23}}{3} + \frac{5}{3}\) hay \(\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 > \frac{{28}}{3}\).

Suy ra \(\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 > 9\).

Lại có \(\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 < \frac{{23}}{3} + \sqrt 4 \) hay \(\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 < \frac{{23}}{3} + 2\).

Suy ra \(\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 < \frac{{29}}{3} < \frac{{30}}{3} = 10\)

Do đó 9 < m + n < 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.       b) Đúng.     c) Sai.         d) Đúng.

a) Đúng.

Có \(3 = \sqrt 9 \) suy ra \(\sqrt 9 < \sqrt {10} \), do đó \(\sqrt {10} > 3.\)

b) Đúng.

Có \(\sqrt {10} > 3\) nên \(\sqrt {10} - 1 > 3 - 1\) hay \(\sqrt {10} - 1 > 2\) hay b > 2.

Do đó, b > a.

c) Sai.

Có \(\sqrt {16} > \sqrt {10} \) nên \(\sqrt {16} - 1 > \sqrt {10} - 1\) hay \(\sqrt {16} - 1 > b\).

d) Đúng.

Ta có: a + b = \(\sqrt {10} + 1\).

Vì \(\sqrt {10} > 3\) nên \(\sqrt {10} + 1 > 4\).

Lại có \(\sqrt {10} > \sqrt {16} \) nên \(\sqrt {10} + 1 < \sqrt {16} + 1\) hay \(\sqrt {10} + 1 < 4 + 1\) nên \(\sqrt {10} + 1 < 5\).

Do đó, 4 < m + n < 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.       b) Sai.         c) Đúng.     d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \(\frac{9}{2} = 2 + \frac{5}{2}\).

b) Sai.

Ta có: \(2,5 = \sqrt {{{2,5}^2}} = \sqrt {6,25} \).

Vì 6,25 < 7 nên \(\sqrt {6,25} < \sqrt 7 \) hay 2,5 < \(\sqrt 7 \).

c) Đúng.

Vì 2,5 < \(\sqrt 7 \) nên 2,5 + 2 < \(\sqrt 7 \) + 2 hay \(\frac{9}{2} < \sqrt 7 + 2\).

Do đó, m > n.

d) Đúng.

Ta có: m + n = \(\frac{{13}}{2} + \sqrt 7 \).

Ta có: \(\sqrt 7 < \sqrt 9 \) nên \(\frac{{13}}{2} + \sqrt 7 < \sqrt 9 + \frac{{13}}{2}\) hay \(\frac{{13}}{2} + \sqrt 7 < \frac{{19}}{2} < \frac{{20}}{2}\).

Do đó, \(\frac{{13}}{2} + \sqrt 7 < 10.\)

Lại có: 2,5 < \(\sqrt 7 \) nên \(2,5 + \frac{{13}}{2} < \frac{{13}}{2} + \sqrt 7 \) hay \(\frac{{18}}{2} < \frac{{13}}{2} + \sqrt 7 \).

Do đó, \(9 < \frac{{13}}{2} + \sqrt 7 \).

Vậy 9 < m + n < 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 6

Nhận thấy \(\sqrt {17} > \sqrt {16} \) hay \(\sqrt {17} > 4\).

Do đó, \(\sqrt {17} - 2 > 4 - 2\) hay \(\sqrt {17} - 2 > 2\) (*)

Nhận thấy \(\sqrt {17} < \sqrt {25} \) hay \(\sqrt {17} < 5\).

Do đó, \(\sqrt {17} - 2 < 5 - 2\) hay \(\sqrt {17} - 2 < 3\) (**)

Từ (*) và (**) được \(2 < \sqrt {17} - 2 < 3\).

Nhận thấy 2 và 3 là hai số nguyên liên tiếp, vì vậy m = 2 và n = 3 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy A = m.n = 2.3 = 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2.

Xét (i) ta có: \(5 = \frac{{25}}{5} > \frac{{24}}{5}\) nên \(5 > \frac{{24}}{5}\) suy ra \(\sqrt 5 > \sqrt {\frac{{24}}{5}} \).

Vậy (i) là khẳng định sai.

Xét (ii) ta có: \(\sqrt {10} > \sqrt 9 \) hay \(\sqrt {10} > 3\).

Do đó, \(\sqrt {10} + 1 > 3 + 1\) hay \(\sqrt {10} + 1 > 4\).

Vậy khẳng định (ii) là đúng.

Xét (iii) ta có: \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1\).

Vì \(\sqrt 3 + 1 > 1 + 1\) nên \(\sqrt 3 + 1 > 2\).

Có \(\sqrt 3 < \sqrt 4 \) nên \(\sqrt 3 + 1 < \sqrt 4 + 1\) hay \(\sqrt 3 + 1 < 2 + 1\) và \(\sqrt 3 + 1 < 3\).

Do đó \(3 > \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } > 2\).

Vậy khẳng định (iii) là đúng.

Vậy có hai khẳng định đúng là (ii) và (iii).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Ta có: \(\sqrt {99} < \sqrt {100} \) hay \(\sqrt {99} < 10\) và \(\sqrt {144} < \sqrt {145} \) hay 12 < \(\sqrt {145} \).

Do đó, ta có: \(\sqrt {99} < 10 < 12 < \sqrt {145} \).

Vậy các số nguyên nằm giữa hai số \(\sqrt {99} \) và \(\sqrt {145} \) là: 10; 11; 12.

Vậy có ba số nguyên thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Ta có: \(144 < 161 < 169\) nên \(\sqrt {144} < \sqrt {161} < \sqrt {169} \) hay \(12 < \sqrt {161} < 13\)

            \(256 < 259 < 289\) nên \(\sqrt {256} < \sqrt {259} < \sqrt {289} \) hay \(16 < \sqrt {259} < 17\).

Do đó, 12 < \(\sqrt {161} < \sqrt {259} < 17\).

Suy ra, các số nằm giữa \(\sqrt {161} \) và \(\sqrt {259} \) là: 13; 14; 15; 16.

Vậy có bốn số nguyên thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 306

Ta có: 289 < 291 < 324.

Do đó, \(\sqrt {289} < \sqrt {291} < \sqrt {324} \) hay \(17 < \sqrt {291} < 18\).

Suy ra m = 17 và n = 18.

Do đó, A = m.n = 17.18 = 306.