Bài tập ôn tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 8 có đáp án
55 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho tứ diện \(S.ABC\) có cạnh \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc và \(SA = SB = SC = 1\). Gọi \(\varphi \) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\). Tính \(\tan \varphi \).
\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
\(\sqrt 2 \).
\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
\(\frac{1}{{2\sqrt 3 }}\).
Có \(SA \bot SB,SA \bot SC\) nên \(SA \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (1).
Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\).
Vì \(\Delta SBC\) cân tại \(S\) nên \(SM \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AM\).
Suy ra \(\widehat {SMA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện\(\left[ {S,BC,A} \right]\).
Xét \(\Delta SBC\), có \(SM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + S{B^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(S\), có \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{SM}} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \). Chọn B.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật là mệnh đề đúng. Chọn C.
\(V = 1\).
\(V = \frac{1}{3}\).
\(V = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(V = 2\).
Ta có \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot \frac{{\left( {AD + BC} \right) \cdot AB}}{2} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{{\left( {2 + 1} \right) \cdot 1}}{2} = 1\). Chọn A.
\(27{a^3}\).
\(9{a^3}\).
\(6{a^3}\).
\(3{a^3}\).
Thể tích của khối lăng trụ là \(V = Sh = {\left( {3a} \right)^2} \cdot a = 9{a^3}\). Chọn B.
\(a\sqrt 3 \).
\(a\sqrt 5 \).
\(2a\).
\(a\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AB\) và \(AB \bot AD\) nên \(AB \bot \left( {SAD} \right)\).
Do đó \(d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right) = AB = a\). Chọn D.
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD \bot AC\) và \(SA \bot BD\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\).
Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\). Chọn B.
\(a\sqrt 5 \).
\(a\sqrt {30} \).
\(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
\(\frac{{a\sqrt {30} }}{5}\).
Có \(BO \bot AC,BO \bot AA' \Rightarrow BO \bot \left( {ACC'A'} \right)\).
Do đó \(d\left( {B,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{\sqrt {2{a^2} + 3{a^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\). Chọn C.
Song song với nhau.
Trùng nhau.
Không song với nhau.
Hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba. Chọn D.
Khẳng định nào sau đây đúng?
Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước.
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó là mệnh đề đúng. Chọn D.
\(216\).
\(18\).
\(36\).
\(72\).
Khối lập phương có độ dài đường chéo bằng \(6\sqrt 3 \). Suy ra cạnh của khối lập phương là 6.
Thể tích của khối lập phương là \({6^3} = 216\). Chọn A.
\(2{a^3}\sqrt 3 \).
\(\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Thể tích khối lăng trụ là \(V = {a^2}\sqrt 3 \cdot 2a = 2\sqrt 3 {a^3}\). Chọn A.
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Có\(SA \bot \left( {ABC} \right)\) mà \(SA \subset \left( {SAB} \right),SA \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\); \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
Có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\). Chọn D.
Hình lăng trụ.
Hình chóp.
Hình chóp đều.
Hình chóp cụt đều.
\(ABCD.MNPQ\) là hình chóp cụt đều. Chọn D.
\(\widehat {SBA}\).
\(\widehat {SCA}\).
\(\widehat {SCB}\).
\(\widehat {SIA}\).
Có \(BC \bot AB\) và \(SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SB\).
Do đó \(\widehat {SBA}\) là góc phằng nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\). Chọn A.
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\\a \subset \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \subset \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \bot b\end{array} \right. \Rightarrow b//\left( \alpha \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\). Chọn C.
\(\widehat {SDC}\).
\(\widehat {SCD}\).
\(\widehat {DSA}\).
\(\widehat {SDA}\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AD\) là hình chiếu của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó \(\left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SD,AD} \right) = \widehat {SDA}\). Chọn D.
\(\frac{a}{3}\).
\(a\).
\(\frac{a}{2}\).
\(a\sqrt 2 \).
\(d\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = AA' = a\). Chọn B.
\(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SBD} \right)\).
Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) và \(CD \bot AD\) nên \(CD \bot \left( {SAD} \right)\). Chọn A.
Khi đó một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {S,BD,C} \right]\) là
\(\widehat {SCA}\).
\(\widehat {SOA}\).
\(\widehat {SOC}\).
\(\widehat {SOD}\).
Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) mà \(AC \bot BD\) nên \(BD \bot \left( {SOA} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).
Lại có \(CO \bot BD\).
Do đó một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {S,BD,C} \right]\) là \(\widehat {SOC}\). Chọn C.
\(AC \bot \left( {SBD} \right)\).
\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right\} \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Chọn B.
Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Đường thẳng \(d\) được gọi là vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu \(d\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là mệnh đề sai. Chọn B.
\(V = \frac{1}{2}Sh\).
\(V = Sh\).
\(V = \frac{2}{3}Sh\).
\(V = \frac{1}{3}Sh\).
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng vuông góc với nhau.
Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Chọn B.
\(3\).
\(2\).
Vô số.
\(1\).
Qua \(O\) có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(d\). Chọn C.
\(\frac{{40}}{3}\).
\(10\).
40.
\(120\).
Thể tích của khối hộp là \(V = 2 \cdot 4 \cdot 5 = 40\). Chọn C.
Khoảng cách giữa \(SM\) và \(PQ\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
\(SP\).
\(MP\).
\(MN\).
\(MQ\).
Vì \(SM \bot \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow SM \bot MQ\) và \(PQ \bot MQ\).
Do đó \(d\left( {SM,PQ} \right) = MQ\). Chọn D.
\(SA\).
\(SM\).
\(SB\).
\(SH\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\) và \(AH \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\).
Khoảng cách từ \(S\) đến \(BC\) bằng độ dài đoạn thẳng \(SH\). Chọn D.
\(SA\).
\(SG\).
\(SB\).
\(SH\).
Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\). Do đó \(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SG\). Chọn B.
\(\widehat {AC'A'}\).
\(\widehat {AC'C}\).
\(\widehat {C'CA'}\).
\(\widehat {ACC'}\).
Vì \(AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(A'C'\) là hình chiếu của \(AC'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\).
Do đó \(\left( {AC',\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {AC',A'C'} \right) = \widehat {AC'A'}\). Chọn A.
\(C'D'\).
\(B'C'\).
\(C'O'\).
\(A'O'\).
Có \(CC' \bot C'O'\) và \(C'O' \bot B'D'\) nên \(d\left( {CC',B'D'} \right) = C'O'\). Chọn C.
Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a,AC = \sqrt 3 a,SA = 2a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(\alpha \)là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
Thể tích khối chóp đã cho bằng \(\frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
\(SB \bot AC\).
Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \).
\(\tan \alpha = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\).
b) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
c) Có \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\) mà \(AB \bot SA,AC \bot SA\) nên \(\left( {\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)} \right) = \widehat {BAC}\).
d) Ta có \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).
Có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), ta có \(\tan \alpha = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Góc giữa \(AC'\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\) là \(\widehat {B'AC'}\).
Thể tích lăng trụ đã cho bằng \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Hai mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) vuông góc nhau.
Khoảng cách giữa \(AA'\) và \(BC'\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
a) Ta có \(B'C' \bot A'B'\) và \(BB' \bot B'C'\) nên \(B'C' \bot \left( {ABB'A'} \right)\).
Do đó \(AB'\) là hình chiếu của \(AC'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\).
Suy ra \(\left( {AC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \left( {AC',AB'} \right) = \widehat {B'AC'}\).
b) \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA' \cdot {S_{ABC}} = 2a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt 3 = {a^3}\sqrt 3 \).
c) Do \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(\left( {BCC'B'} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
d) Có \(AA' \bot AB\) và \(AB \bot BC'\)(do \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\)).
Suy ra \(d\left( {AA',BC'} \right) = AB = a\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
\(BC \bot SA\).
\(BD \bot \left( {SAB} \right)\).
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}\).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BC\).
b) Có \(DA \bot AB\) và \(SA \bot AD\) nên \(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
Suy ra \(\left( {BD,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {BD,BA} \right) = \widehat {ABD} = 45^\circ \).
Do đó \(BD\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
c) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
d) \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
\(AC \bot AD\).
\(AB \bot \left( {ACD} \right)\).
\(AB \bot AC\).
\(AB \bot \left( {ABC} \right)\).
a) \(AC \bot AD\).
b) Ta có \(AB \bot AC,AB \bot AD\) nên \(AB \bot \left( {ACD} \right)\).
c) \(AB \bot AC\).
d) \(AB \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(AB\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) bằng \(45^\circ \).
\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
a) Hạ \(AH \bot SD\) (1).
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) mà \(CD \bot AD\) nên \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).
Ta có \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).
Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
b) Có \(AB \bot BC\) mà \(BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).
Suy ra \(\widehat {SBA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SBA} \approx 54,7^\circ \).
c) Theo câu b, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
d) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 2 \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Diện tích đáy của khối chóp là \(2{a^3}\).
Chiều cao của khối chóp \(S.ABCD\) là \(SO\).
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt {14} }}{6}\).
Gọi \(P\) là trung điểm của \(SA\), khi đó \({V_{P.OAB}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\).
a) \({S_{ABCD}} = {a^2}\).
b) Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
c) Ta có \(AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SOA\) vuông tại \(O\), \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt {14} }}{2} \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {14} }}{6}\).
d) Vì \(P\) là trung điểm của \(SA\) nên \(d\left( {P,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}SO\).
\({S_{AOB}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}\).
Do đó \({V_{P.AOB}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}SO \cdot \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
\(AM\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AA'\) và \(BC\).
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) là \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng \(a\sqrt 2 \).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) là \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
a) Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AM\).
Vì \(\Delta ABC\) đều, \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AM \bot BC\).
Suy ra \(AM\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AA'\) và \(BC\).
b) Hạ \(AH \bot A'M\) (1).
Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot BC\) mà \(AM \bot BC\) nên \(AM\)\(BC \bot \left( {AMA'} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\).
Khi đó \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta AMA'\) vuông tại \(A,\)có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
c) \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA' = a\sqrt 3 \).
d) \(d\left( {AA',BC} \right) = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Tất cả những cạnh của hình chóp đều bằng nhau.
Đáy của hình chóp đều là một đa giác đều.
Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân.
Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đáy là tâm của mặt đáy.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
\(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = a\sqrt 2 \).
\(\widehat {SCA} = 45^\circ \).
\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Khi đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = 45^\circ \).
Có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), \(SA = AC \cdot \tan \widehat {SCA} = a\sqrt 2 \cdot \tan 45^\circ = a\sqrt 2 \).
b) Theo câu a, \(\widehat {SCA} = 45^\circ \).
c) Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
d) \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) mà \(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
\(SA \bot AB\).
\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Đặt \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\). Giá trị của \(\tan \alpha = \frac{1}{2}\).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\).
b) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
c) Có \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\) mà \(AB \bot SA,AC \bot SA\) nên \(\left( {\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)} \right) = \widehat {BAC}\).
d) Ta có \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).
Có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), ta có \(\tan \alpha = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB'\) và \(A'C'\) bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\). Tính tổng \(a + b\).
Gọi \(O'\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\). Suy ra \(B'O' \bot A'C'\).
Lại có \(BB' \bot B'O'\).
Suy ra \(d\left( {BB',A'C'} \right) = B'O'\).
Có \(B'O' = \frac{{B'D'}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Suy ra \(a + b = 4\).
Trả lời: 4.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = \sqrt 5 \). Gọi \(M,N\) là trung điểm của \(SA\) và \(CD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(SC\) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SD,AB\).
Ta có \(NP\) đường trung bình của \(\Delta SCD\) nên \(NP//SC\)\( \Rightarrow SC//\left( {MPN} \right)\).
Khi đó \(d\left( {SC,MN} \right) = d\left( {SC,\left( {MPN} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {MPN} \right)} \right)\).
Lại có \(\left( {MPN} \right) \equiv \left( {MPNQ} \right)\). Do đó \(d\left( {S,\left( {MPN} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {MPNQ} \right)} \right)\).
Kẻ \(AH \bot MQ\) (1).
Ta có \(SA \bot QN,QN \bot AB \Rightarrow QN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow QN \bot AH\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(AH \bot \left( {MPNQ} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {MPNQ} \right)} \right) = AH\).
Ta có \(AM = \frac{{SA}}{2} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};AQ = \frac{{AB}}{2} = 1\).
Xét \(\Delta MAQ\) vuông tại \(A\), ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}} = \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Lại có \(\frac{{d\left( {S,\left( {MPNQ} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {MPNQ} \right)} \right)}} = \frac{{MS}}{{MA}} = 1 \Rightarrow d\left( {S,\left( {MPNQ} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {MPNQ} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \approx 0,75\).
Trả lời: 0,75.
Trong không gian, cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(AB = 2\) và \(SO = 3\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {2^2} = 4\).
Trả lời: 4.
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5, độ dài cạnh bên bằng \(20\). Biết mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(\widehat {B'BC} = 30^\circ \). Tính thể tích khối chóp \(A.CC'B\)(kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Hạ \(B'H \bot BC\) mà \(\left( {BCC'B'} \right) \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow B'H \bot \left( {ABC} \right)\).
Xét \(\Delta BB'H\), có \(B'H = BB'.\sin \widehat {B'BC} = 20 \cdot \sin 30^\circ = 10\).
Có \(\Delta ABC\) đều cạnh bằng 5 nên \({S_{ABC}} = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}\).
Ta có \({V_{A.CC'B}} = {V_{C'.ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {C',\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {B',\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot B'H \cdot {S_{ABC}}\)
\( = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{4} = \frac{{125\sqrt 3 }}{6} \approx 36,1\).
Trả lời: 36,1.
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có \(AB' = 12\), diện tích của tam giác \(A'BC\) bằng 3 và đường thẳng \(AB'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) một góc \(30^\circ \). Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AB'\) và \(A'B\). Suy ra \(AO = \frac{{AB'}}{2} = 6\).
Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{A'.ABC}} = 3{V_{A.A'BC}}\).
Ta có \({V_{A.A'BC}} = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) \cdot {S_{A'BC}}\).
Mà \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AO \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \sin 30^\circ = 3\).
Khi đó \({V_{A.A'BC}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 = 3\). Do đó \({V_{ABC.A'B'C'}} = 3 \cdot 3 = 9\).
Trả lời: 9.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh bằng 2, \(SO = \sqrt {11} ,SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
\(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(2\) nên \(AO = \frac{{AC}}{2} = \sqrt 2 \).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AO\).
Xét tam giác vuông \(SAO\), có \(SA = \sqrt {S{O^2} - A{O^2}} = \sqrt {11 - 2} = 3\).
Thể tích \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {2^2} = 4\).
Trả lời: 4.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh bằng 3, tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\). Tính khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\). Suy ra \(MH \bot CD\) (1).
Hạ \(MK \bot SH\) (3).
Vì \(\Delta SAB\) đều, \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(SM \bot AB\).
Vì \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SM \bot AB\\SM \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot CD\)(2).
Từ (1) và (2), suy ra \(CD \bot \left( {SMH} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot MK\) (4).
Từ (3) và (4), suy ra \(MK \bot \left( {SCD} \right)\).
Khi đó \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = MK\).
Ta có \(SM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2},MH = 3\).
Xét \(\Delta SMK\) vuông tại \(M\), ta có \(\frac{1}{{M{K^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{4}{{27}} + \frac{1}{9} = \frac{7}{{27}} \Rightarrow MK = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}\).
Có \(\frac{{d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{GS}}{{MS}} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{3\sqrt {21} }}{7} \approx 1,31\).
Trả lời: 1,31.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), cạnh bằng \(4a\), góc \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 7 \). Tính tan của góc nhị diện \(\left[ {S,BD,A} \right]\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AO \bot BD\) (1).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra\(BD \bot \left( {SAO} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).
Do đó \(\left[ {S,BD,A} \right] = \widehat {SOA}\).
Xét \(\Delta ABC\) có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\)\( = 16{a^2} + 16{a^2} - 2 \cdot 4a \cdot 4a \cdot \cos 60^\circ = 16{a^2}\).
Suy ra \(AC = 4a \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = 2a\).
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{2a}} \approx 1,32\).
Trả lời: 1,32.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB = 2,AC = 2\sqrt 2 \). Đường thẳng \(C'B\) tạo với mặt phẳng đáy bằng một góc \(45^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Ta có \(BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(B'C'\) là hình chiếu của \(BC'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\).
Khi đó \(\left( {C'B,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {C'B,B'C'} \right) = \widehat {BC'B'} = 45^\circ \).
Tam giác \(A'B'C'\) vuông tại \(A'\) nên \(B'C' = \sqrt {4 + 8} = 2\sqrt 3 \).
Xét \(\Delta BB'C'\) vuông tại \(B'\), ta có \(BB' = B'C' \cdot \tan 45^\circ = 2\sqrt 3 \).
Khi đó \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB' \cdot {S_{ABC}} = 2\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt 2 \approx 9,8\).
Trả lời: 9,8.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a,BC = 2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa \(SB\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Giả sử thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt k {a^3}}}{k}\). Tìm giá trị \(k\).
Có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Khi đó \(\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), có \(SA = AB \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).
Khi đó \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\). Suy ra \(k = 3\).
Trả lời: 3.
B. Tự luận
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) cách điểm \(A\) một khoảng bằng \(2a\) và tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc \(30^\circ \). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Do \(\Delta ABC\) đều nên \(AI \bot BC\) mà \(BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\).
Do đó \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SIA} = 30^\circ \).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SI\). Suy ra \(AH \bot SI\).
mà \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AH\). Do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = 2a\).
Xét \(\Delta AHI\) vuông tại \(H\) suy ra \(AI = \frac{{AH}}{{\sin 30^\circ }} = 4a\).
Xét \(\Delta SAI\) vuông tại \(A\) suy ra \(SA = AI \cdot \tan 30^\circ = \frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\).
Giả sử tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(x\) mà \(AI\) là đường cao suy ra \(4a = x\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{8a}}{{\sqrt 3 }}\).
Diện tích tam giác đều \(ABC\) là \({S_{ABC}} = {\left( {\frac{{8a}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{16{a^2}\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{{16{a^2}\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{4a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{64{a^3}}}{9}\).
Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng chiều cao 5 cm và độ dài các cạnh đáy lần lượt là 7 cm, 7 cm, 4 cm. Tính thể tích của miếng pho mát trên.
Nửa chu vi tam giác đáy của khối lăng trụ là \(P = 9\).
Diện tích đáy \(S = \sqrt {9 \cdot \left( {9 - 7} \right) \cdot \left( {9 - 7} \right) \cdot \left( {9 - 4} \right)} = 6\sqrt 5 \) (cm2).
Thể tích khối pho mát là \(V = 6\sqrt 5 \cdot 5 = 30\sqrt 5 \) cm3.
Người ta mài một phiến đá để được một khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn bằng 30 cm, cạnh đáy nhỏ bằng 10 cm và cạnh bên bằng 25 cm. Tính thể tích của khối chóp cụt tạo thành.
Giả sử hình chóp cụt tạo thành có dạng \(ABC.A'B'C'\) như hình vẽ.
Gọi \(G,G'\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta ABC,\Delta A'B'C'\).
Khi đó \(GG'\) là đường cao của hình chóp cụt đều.
Gọi \(H\) là hình chiếu của của \(A'\) trên \(AG\).
Ta có \(A'G' = \frac{2}{3} \cdot \frac{{10\sqrt 3 }}{2} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\); \(AG = \frac{2}{3} \cdot \frac{{30\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 \).
Có \(AH = AG - HG = 10\sqrt 3 - \frac{{10\sqrt 3 }}{3} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
Xét tam giác vuông \(AHA'\), có \(A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{25}^2} - {{\left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt {177} }}{3}\).
Khi đó \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{A'H}}{3}\left( {{S_1} + {S_2} + \sqrt {{S_1}{S_2}} } \right) = \frac{{5\sqrt {177} }}{9}\left( {\frac{{{{30}^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{{10}^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{300\sqrt 3 }}{4}} \right) = \frac{{1625\sqrt {59} }}{3}\) cm3.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(H,M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,SA,CD\).
a) Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
b) Gọi \(\alpha \) là số đo góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\). Tính \(\cos \alpha \).
c) Tính theo \(a\) khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SN\).
a) Vì \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB\) mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\); \({S_{ABCD}} = AB \cdot BC \cdot \sin \widehat {ABC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}\).
b) Dễ thấy \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AC = BC = a\). Suy ra các tam giác \(SAC\) và \(SBC\) lần lượt cân tại \(A\) và \(B\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Suy ra \(AI \bot SC\) và \(BI \bot SC\).
Do đó \(\widehat {AIB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\).
Ta có \(S{C^2} = S{H^2} + C{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow S{I^2} = I{C^2} = \frac{{3{a^2}}}{8}\).
\(I{A^2} = S{A^2} - S{I^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\).
Tương tự \(I{B^2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\).
Khi đó \(\cos \alpha = \cos \widehat {AIB} = \frac{{I{A^2} + I{B^2} - A{B^2}}}{{2IA \cdot IB}} = \frac{1}{5}\).
c) Ta có \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AN \bot CD \Rightarrow AN \bot AB \Rightarrow AN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SAN} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow BM \bot SA \Rightarrow BM \bot \left( {SAN} \right)\).
Dựng \(MK \bot SN\) tại \(K\)\( \Rightarrow MK\) là đoạn vuông góc chung của \(BM\) và \(SN\).
Khi đó \(d\left( {BM,SN} \right) = MK\).
Ta có \(MK = MS \cdot \sin \widehat {MSK} = MS \cdot \frac{{AN}}{{SN}} = MS \cdot \frac{{AN}}{{\sqrt {S{A^2} + A{N^2}} }} = \frac{a}{2} \cdot \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
Vậy \(d\left( {BM,SN} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), cạnh bên bằng \(3a\).
a) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\).
a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(ABCD\) là hình vuông và \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(D\), có \(AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} = 2a\sqrt 2 \Rightarrow OC = OD = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SOC\) vuông tại \(O\), ta có \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 7 \).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 7 \cdot 4{a^2} = \frac{{4{a^3}\sqrt 7 }}{3}\).
b) Ta có \(\frac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = 2h\).
Do tứ diện \(S.OCD\) có \(OS,OC,OD\) đôi một vuông góc nên
\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 7 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{8}{{7{a^2}}}\)\( \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}\).
Vậy \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\).
