Bài tập Ôn tập cuối năm

a) + Hàm số y = cos x có chu kì 2π.

Do đó: cos 2.(x + kπ) = cos (2x + k2π) = cos 2x.

⇒ Hàm số y = cos 2x cũng tuần hoàn với chu kì π.

Từ đó suy ra

b. y = f(x) = cos 2x

⇒ y’ = f’(x) = (cos 2x)’ = -(2x)’.sin 2x = -2.sin 2x.

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = π/3 là:

c. Ta có: 1 – cos 2x = 2.sin2x ≥ 0.

Và 1 + cos22x > 0; ∀ x

⇒  luôn xác định với mọi x ∈ R.

Vậy phương trình có tập nghiệm

 3cosx + 4sinx = 5

$\iff \frac{3}{5}\cos x+\frac{4}{5}\mathrm{s}\text{inx}=1$

Ta thấy: ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$ nên tồn tại $\alpha$ sao cho: $\sin \alpha =\frac{3}{5},c\text{os}\alpha =\frac{4}{5}$

Khi đó phương trình trở thành:

$\sin \alpha \cos x+\cos \alpha \mathrm{s}\text{inx}=1$

$\iff \sin \left(x+\alpha \right)=1$

$\iff x+\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{\pi }{2}-\alpha +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{2}-\alpha +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

sin x + cos x = 1 + sin x.cos x

⇔ sin x.cos x – sin x – cos x + 1 = 0

⇔ (sinx. cosx –sinx)- (cosx -1 ) =0

⇔ sinx. (cosx – 1) – (cosx -1) = 0

⇔ (sin x – 1)(cos x – 1) = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm 

Thử lại: Trong 3 nghiệm trên thì nghiệm  không thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm.

a) Có 40 cách chọn một bác sĩ mổ, ứng với mỗi cách chọn bác sĩ mổ có 39 cách chọn một bác sĩ phụ. Theo quy tắc nhân có tất cả là:

40.39 = 1560 ( cách) phân bố ca mổ.

b) – Chọn bác sĩ mổ: Có 40 cách chọn.

- Chọn 4 bác sĩ phụ: Chọn ngẫu nhiên tổ hợp 4 người trong số 39 bác sĩ còn lại

⇒ Có  cách chọn

⇒ Có tất cả: 40. = 3290040 cách chọn 1 bác sĩ mổ và 4 bác sĩ phụ.

Số hạng tổng quát của khai triển là:

Số hạng không chứa a ứng với 5k – 30 = 0 ⇔ k = 6.

Vậy số hạng thứ 7 không chứa a và .

+ Không gian mẫu là kết quả của việc chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 10 học sinh

a) Gọi A: “ Cả ba học sinh chọn được đều là nam”

b) Gọi B: “ Trong 3 học sinh chọn được có ít nhất 1 nam”

⇒ B−: “ Cả ba học sinh được chọn đều là nữ”

Không gian mẫu là kết quả của việc sắp xếp 10 người theo 1 thứ tự.

⇒ n(Ω) = P10 = 10! = 3 628 800.

a) Gọi M: “A và B đứng liền nhau”

* Coi A và B là một phần tử X.

Số cách xếp X và 8 người khác thành hàng dọc là: 9!

Số cách xếp hai người A và B là: 2!= 2 cách

Theo quy tắc nhân có: 9!.2= 725760 cách xếp thỏa mãn

Xác suất của biến cố M là: 

b) Gọi N: “Trong hai người đó có một người đứng ở vị trí số 1 và một người kia đứng ở vị trí cuối cùng”.

+ Sắp xếp vị trí cho A và B: Có 2 cách

+ Sắp xếp vị trí cho 8 người còn lại: có 8! cách

⇒ Theo quy tắc nhân: n(N) = 2.8!

Gọi công sai của cấp số cộng là d; số hạng đầu là u1 = x - d, u2 = x, u3 = x + d.

CSC tăng nên d > 0.

Theo giả thiết, ta có hệ:

Vậy cấp số cộng cần tìm là : 5, 9, 13 .

+ Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u1, công bội là x

Theo giả thiết ta có hệ phương trình

+ Tổng của năm số hạng đầu của CSN là:

Vậy với hai dãy un và vn cùng → +∞ thì f(un) và f(vn) tiến đến hai giá trị khác nhau nên không tồn tại giới hạn của hàm số y = cos x khi x → +∞.

Đặt f(x) = x4 - 3x3 + x – 1.

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có: f(0) = -1 < 0

            f(-1) = 1 – 3.(-1) – 1 – 1 = 2 > 0

⇒ f(0).f(-1) < 0

⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo ∈ (-1; 0) ⊂ (-1 ; 3).

Do đó phương trình đã cho có nghiệm xo ∈ (-1; 3).

Tổng quát: Đạo hàm cấp n của y:

Tổng quát: Đạo hàm cấp n của y:

a) f’(x) = 3x2 – x.

⇒ f’(-1) = 4; f(-1) = -3.

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 là:

y = 4.(x + 1) – 3 = 4x + 1.

b) f’(sin x) = 0

⇔ 3.sin2x – sin x = 0

⇔ sin x.(3sin x – 1) = 0