Bài tập Nhị thức newton có đáp án
18 câu hỏi
Khai triển (a + b)n, n ∈ {1; 2; 3; 4; 5}.
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Với n ∈ {1; 2: 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)n:
a) Có bao nhiêu số hạng?
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?
Tam giác Pascal
Viết các hệ số của khai triển (a + b)n với một số giá trị đầu tiên của n, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal
a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)7.
b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (2x – 1)4.
Tính chất của các số Cnk
a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
(a + b)1 = a + b =C10a+C10b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 =C20a2+C21ab+C20b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 =C30a3+C31a2b+C32ab2+C30b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = ...
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = ...
Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, C41 và C43, C52 và C53. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa Cnk và Cnn−k (0 ≤ k ≤ n).
b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)5
Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh C10+C11 và C21, C20+C21 và C31,... Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa Cn−1k−1+Cn−1k và Cnk.
Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)n với n ∈ {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát.
Khai triển (x – 2y)6.
Tìm hệ số của x7 trong khai triền thành đa thức của (2 – 3x)10.
(Số các tập con của tập hợp có n phần tử)
a) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)n.
b) Cho x = 1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng Cnk (0 < k < n) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.
c) Tương tự, cho x = –1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.
Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:
a) (x – 1)5;
b) (2x – 3y)4.
Viết khai triển theo nhị thức Newton:
a) (x + y)6;
b) (1 – 2x)5.
Tìm hệ số của x8 trong khai triển của (2x + 3)10.
Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 – 3x)n là 90 . Tìm n.
Từ khai triển biểu thức (3x – 5)4 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10.
Tính tổng sau đây:
C20210−2C20211+22C20212−23C20213+…−22021C20212021.
Tìm số tự nhiên n thoả mãn C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n=22021.
Tìm số nguyên dương n sao cho Cn0+2Cn1+4Cn2+…+2nCnn=243.
Biết rằng (2 + x)100 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a100x100. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì ak Iớn nhất?