Bài tập nâng cao về gương phẳng

Từ hình vẽ

ta có vùng quan sát được ảnh M’ của M được giới hạn bởi Gương PQ và các tia PC; QD.

Vùng quan sát được ảnh N’ của N được giới hạn bởi Gương PQ và các tia PA; QB

Vị trí cuỉa mỗi người đều không nằm trong vùng quan sát ảnh của người kia nên họ không nhìn thấy nhau trong gương.

b) Nếu hai người cùng tiến đến gương theo phương vuông góc với vận tốc như nhau thì khoảng cách từ họ đến gương không thay đổi nên họ vẫn không nhìn thấy nhau trong gương.

c) Khi một trong hai người tiến đến gương theo phương vuông góc

Xét 2 trường hợp.

1) Người M di chuyển, người N đứng yên.

Từ hình vẽ ta thấy: Để  nhìn thấy ảnh N’ của người N trong gương thì người M phải tiến vào gần gương đến vị trí M₁ thì bắt đầu nhìn thấy N’ trong gương.

Từ đó ta có: $\Delta M_{1}IQ~\Delta N\text{'}KQ\Rightarrow \frac{I{M}_1}{KN\text{'}}=\frac{IQ}{KQ}$ thay số ta có: IM₁ = 0,5m

2) Người N di chuyển, người M đứng yên.

Từ hình vẽ ta thấy: Để  nhìn thấy ảnh M’ của người M trong gương thì người N phải tiến ra xa gương đến vị trí N₁ thì bắt đầu nhìn thấy M’ trong gương.

Từ đó ta có: $\Delta N_{1}KQ~\Delta M\text{'}IQ\Rightarrow \frac{IM\text{'}}{K{N}_1}=\frac{IQ}{KQ}$ thay số ta có: IN₁ = 2 m

a) Trường hợp trục quay qua I

Gọi góc tạo bởi tia IR và IR’ là

Theo định luật phản xạ AS ta có:

i₁ = i’₁; i₂ = i’₂

$\beta =\widehat{R\text{'}IS}-\widehat{RIS} hay \beta =2i_2-2i_1$ 

$i_2=i_1+\alpha$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $\beta =2(i_1+\alpha )-2i_1=2\alpha$ 

Vậy $\beta =2\alpha$

b, 

 Trường hợp trục quay bất kỳ

+) Xét $∆$I’IP ta có

 $\beta =\widehat{R\text{'}I\text{'}S}-\widehat{I\text{'}IP}=\widehat{R\text{'}I\text{'}S}-\widehat{RIS}=2i_2-2i_1$ (1)

+) Xét $∆$I’IK ta có: $i_2=i_1+\alpha$ (2)

Thay (2) vào (1) ta có:

$\beta =2(i_1+\alpha )-2i_1=2\alpha$

Vậy. $\beta =2\alpha$

Vậy khi gương quay đi một góc α thì tia phản xạ quay đi cùng chiều một góc 2α

a, 

Xét sự phản xạ ánh sáng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng

Ta có S’  là ảnh của Svà đối xứng với S qua gương, $∆$S’SC có AB là đường trung bình nên SC = 2Ab = 2a.

Tương tự với các cạnh còn lại vậy vệt sáng trên tường là hình vuông có cạnh =2a

b,  

Khi nguồn sáng S ở sát chân tườngvà di chuyển gương theo phương vuông góc với tường(đến gần hoặc ra xa tường)thì kích thước của vệt sáng không thay đổi. Luôn là hinhg vuông cạnh là 2a. Vì SC luôn bằng 2AB = 2a

Trong khoảng thời gian t gương di chuyển với vận tốc v và đi được quãng đường BB’ = vt.

Cũng trong thời gian đó ảnh S’ của S dịch chuyển với vận tốc v’ và đi được quãng đường S’S” = v’t

Theo tính chất ảnh và vật đối xứng nhau qua gương ta có:

SB’ = B’S” <=>SB + BB’ = B’S’+S’S”       (1)

SB = BS’ <=> SB = BB’ + B’S’                  (2)

Thay (2) và (1) ta có: BB’ + B’S’+ BB’ = B’S’+S’S” <=> 2BB’ = S’S”

Hay v’t = 2vt <=> v’ =2v 

a) Trường hợp S chuyển động song song với gương.

Vì S’ đối xứng với S qua gương nên vận tốc của S’ đối với gương cócùng độ lớn, song song và cùng chiều với v đối với gương. Còn vận tốc của S’ đối với S bằng 0.

b) Trường hợp S chuyển động vuông góc với gương.

Vận tốc của S’ đối với gương có cùng độ lớn, cùng phương và ngược chiều với v. Vận tốc của S’ đối với S cùng phương và ngược chiều và có độ lớn bằng 2v.

c)  S chuyển động theo phương hợp với mặt phẳng gương một góc α

Lúc này có thể coi S vừa chuyển động song song với gương (với vận tốc v₁), vừa chuyển động vuông góc với gương (với vận tốc v₂)

Ta có v₁ = v.cosα và v₂ = v.sinα

Vậy vận tốc của S’ đối với gương là v₁ = v.cosα còn vận tốc của S’ đối với S là 2.v₂ = 2v.sinα theo phương vuông góc với gương

Vì vật và ảnh đối xứng nhau qua gương nên. Khi hai gương quay ta có S₁ chạy trên đường tròn tâm I₁ bán kính I₁S và S₂ chạy trên đường tròn tâm I₂ bán kính I₂S.

Hình a

Hình b

a)  S₁S₂ nhỏ nhất khi S₁ và  S₂ trùng nhau tại giao điểm thức 2  S’ của hai đường tròn. Khi đó, mặt phẳng phản xạ của 2 gương trùng nhau vậy $\phi ={180}^0$

b) S₁S₂ lớn nhất khi S_{1 ­} và  S₂  nằm ở hai đầu đường nối tâm của hai đường tròn. Khi đó I₁ và I₂ là điểm tới của các tia sáng trên mỗi gương.

Trong $\Delta O{I}_1{I}_2$ta có: $\widehat{I_{1}O{I}_2}+\widehat{O{I}_1{I}_2}+\widehat{O{I}_2{I}_1}={180}^0$

Hay $\phi +\frac{{180}^{{}^0}-\alpha }{2}+\frac{{180}^{{}^0}-\beta }{2}={180}^0\iff \phi =\frac{\alpha +\beta }{2}$

         * Xét gương quay quanh trục O từ vị trí M₁ đến vị trí M₂ (Góc M₁O M₁ = a) lúc đó pháp tuyến cũng quay 1 góc N₁KN₂ = a (Góc có cạnh tương ứng vuông góc).

         * Xét DIPJ có:

Góc IJR₂ = $\angle JIP+\angle IPJ$ hay:

2i^’ = 2i + b Þ b = 2(i^’-i)     (1)

         * Xét DIJK có

     $\angle IJ{N}_2=\angle JIK+\angle IKJ$ hay

     i^’ = i + a Þ  a = 2(i^’-i)     (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra b = 2a

     Tóm lại: Khi gương quay một góc a quanh một trục bất kì  thì tia phản xạ sẽ quay đi một góc 2a theo chiều quay của gương

a) Chọn S₁ đối xứng S qua gương M₁ ; Chọn O₁ đối xứng O qua gương M₂ , nối S₁O₁ cắt gương M₁ tại I , gương M₂ tại J. Nối SIJO ta được tia cần vẽ

     b) DS₁AI ~ D S₁BJ

Þ $\frac{AI}{BJ}=\frac{S_{1}A}{S_{1}B}=\frac{a}{a+d}$

Þ AI = $\frac{a}{a+d}$.BJ                       (1)

Xét  DS₁AI ~ D S₁HO₁

 Þ $\frac{AI}{H{O}_1}=\frac{S_{1}A}{S_{1}H}=\frac{a}{2d}$

Þ AI = $\frac{a}{2d}.h$ thay vào (1) ta được BJ = $\frac{(a+d).h}{2d}$

a) Để mắt thấy được ảnh của chân thì mép dưới của gương cách mặt đất nhiều nhất là đoạn IK

Xét DB^’BO có IK là đường trung bình nên :

IK= $$\begin{gathered} \frac{BO}{2}=\frac{BA-OA}{2} \\ =\frac{1,65-0,15}{2}=0,75m \end{gathered}$$

b) Để mắt thấy được ảnh của đỉnh đầu thì mép trên của gương cách mặt đất ít nhất là đoạn JK

     Xét DO^’OA có JH là đường trung bình nên :

$\frac{OA}{2}=\frac{0,15}{2}=7,5cm=0,075m$

Mặt khác : JK = JH + HK = JH + OB 

Þ JK = 0,075 + (1,65 – 0,15) = 1,575m

c) Chiều cao tối thiểu của gương để thấy được toàn bộ  ảnh là đoạn IJ.

          Ta có : IJ = JK – IK = 1,575 – 0,75 = 0,825m

d) Các kết quả trên không phụ thuộc vào khoảng cách từ người đến gương do trong các kết quả không phụ thuộc vào khoảng cách đó. Nói cách khác, trong việc giải bài toán dù người soi gương ở bất cứ vị trí nào thì các tam giác ta xét ở phần a, b thì IK, JK đều là đường trung bình nên chỉ phụ thuộc vào chiều cao của người đó.

Để khi quạt quay, không một điểm nào trên sàn bị sáng loang loáng thì bóng của đầu mút quạt chỉ in trên tường và tối đa là đến chân tường C và D.

     Vì nhà hình hộp vuông, ta chỉ xét trường hơph cho một bóng, các bóng còn lại là tương tự (Xem hình vẽ bên)

    Gọi L là đường chéo của trần nhà :

          L = 4$\sqrt{2}$ » 5,7m

     Khoảng cách từ bóng đèn đến chân tường đối diện là : 

          S₁D = $\sqrt{H^2+L^2}=\sqrt{{(3,2)}^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2}=6,5m$

     T là điểm treo quạt, O là tân quay của cánh quạt. A, B là các đầu mút khi cánh quạt quay. Xét DS₁IS₃ ta có : 

$$\begin{gathered} \frac{AB}{S_1{S}_2}=\frac{OI}{IT}\Rightarrow \\ OI=\frac{AB}{S_1{S}_2}.IT=\frac{2R.\frac{H}{2}}{L} \\ =\frac{2.0,8.\frac{3,2}{2}}{5,7}=0,45m \end{gathered}$$

Khoảng cách từ quạt đến điểm treo là : OT = IT – OI = 1,6 – 0,45 = 1,15 m.

Vậy quạt phải treo cách trần nhà tối đa là 1,15 m.