Bài tập Một số bài toán ứng dụng vectơ trong thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\overrightarrow F = m\overrightarrow a \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = m\left| {\overrightarrow a } \right| = 0,5.20 = 10N\).

Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5 kg một gia tốc 20 m/s² thì cần một lực đá có độ lớn là 10 N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

+) Với gia tốc rơi tự do \(\overrightarrow g \) có độ lớn là g = 9,8 (m/s2) thì độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P  = m\overrightarrow g \) tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 25.9,8 = 245\left( N \right)\).

+) Em nhỏ trượt từ điểm A tới điểm B nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển \(\overrightarrow d \) so với trọng lực \(\overrightarrow P \) là \(\left( {\overrightarrow d ,\overrightarrow P } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow P } \right) = 60^\circ \).

+) Ta có độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P  = m\overrightarrow g \) tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 25.9,8 = 245N\) nên công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là \(A = \left| {\overrightarrow P } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 245.3,5.\cos 60^\circ  = 428,75\left( J \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi A₁,B₁, C₁ lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {O{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {O{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} \).

Lấy các điểm D₁, A'₁,B'₁,D'₁ sao cho OA₁D₁B₁.C₁A'₁D'₁B'₁ là hình hộp (như hình vẽ).

Khi đó, áp dụng quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {O{{D'}_1}} \).

Mặt khác, do các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) đôi một vuông góc và \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15\left( N \right)\] nên hình hộp OA₁D₁B₁.C₁A'₁D'₁B'₁ có ba cạnh OA₁;OB₁; OC₁ đôi một vuông góc và bằng nhau.

Vì thế hình hộp là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15. Suy ra độ dài đường chéo OD'₁ của hình lập phương đó là \(15\sqrt 3 \).

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P \), ở đó \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Suy ra trọng lượng của chiếc đèn là \(\left| {\overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow {O{{D'}_1}} } \right| = 15\sqrt 3 \;\left( N \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) nên \(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 5.10 = 50\) (N).

Vậy độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P \) tác động lên chiếc đèn chùm là 50 N.

Gọi O là trọng tâm của chiếc đèn chùm cũng là chân đường cao hình chóp đều S.ABCD.

Vẽ \(\overrightarrow {OP} \) biểu diễn trọng lực tác động lên đèn chùm với \(OP \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó lực căng mỗi sợi xích sẽ là \(\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {DS} \).

Chiếc đèn chùm đứng yên nên \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {BS} + \overrightarrow {CS} + \overrightarrow {DS} + \overrightarrow {OP} = \overrightarrow 0 \).

Suy ra \(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \)\( \Rightarrow SO = \frac{1}{4}OP = \frac{{50}}{4} = \frac{{25}}{2}\).

Tam giác SAC cân tại S có \(\cos OSA = \frac{{SO}}{{SA}}\).

Suy ra lực căng của mỗi sợi dây xích là \(SA = \frac{{SO}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{\frac{{25}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}N\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đổi 105 g = 0,105 kg.

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên quả táo là:

\(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 0,105.9,8 = 1,029N\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) nên \(P = \left| {\overrightarrow P } \right| = m.\left| {\overrightarrow g } \right| = 10\sqrt 3 \left( N \right)\).

Bóng đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow P + \overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow P = - \overrightarrow {T'} \) với \(\overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} = \overrightarrow {T'} \).

Suy ra \(T' = P = 10\sqrt 3 \left( N \right)\).

Khi đó \({\left| {\overrightarrow {T'} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{T_1}} ,\overrightarrow {{T_2}} } \right)\) mà \(\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|\) và \(\left( {\overrightarrow {{T_1}} ,\overrightarrow {{T_2}} } \right) = 60^\circ \)

\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {T'} } \right|^2} = 2{\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2} + 2{\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2}.\cos 60^\circ = 3{\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2}\).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right| = \sqrt {\frac{1}{3}{{\left| {\overrightarrow {T'} } \right|}^2}} = \sqrt {\frac{1}{3}.{{\left( {10\sqrt 3 } \right)}^2}} = 10\left( N \right) = \left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mô hình hóa lại bài toán đã cho ta được:

Ta có \(A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2AB.BD.\cos 130^\circ = {50^2} + {40^2} - 2.50.40.\cos 130^\circ \)\(\)

ÞAD ≈ 81,7.

Vậy tổng lực của Sơn và Minh tác động làm di chuyển khúc gỗ là \(\left| {\overrightarrow F } \right| \approx 81,7\)N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 25 N, 12 N, 4 N.

Vẽ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {{F_3}} \).

Dựng hình bình hành OADB và hình bình hành ODEC.

Hợp lực tác động vào vật là \(\overrightarrow F = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE} \).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OBD ta có:

\(O{D^2} = B{D^2} + O{B^2} - 2BD.OB.\cos OBD = O{A^2} + O{B^2} + 2OA.OB.\cos 100^\circ \).

Vì OC ^ (OADB) nên OC ^ OD suy ra ODEC là hình chữ nhật.

Do đó tam giác ODE vuông tại D.

Ta có \(O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos 100^\circ \).

Suy ra \(OE = \sqrt {O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos 100^\circ } \)

\(OE = \sqrt {{4^2} + {{25}^2} + {{12}^2} + 2.25.12.\cos 100^\circ } \approx 26,092\).

Vậy độ lớn của hợp lực là \(F = OE = 26\;N\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Khối lượng của vật là \(m = \frac{P}{g} = \frac{{4,9}}{{9,8}} = 0,5\left( {kg} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có m > 0 nên \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.

Ta có \(\overrightarrow F = m.\overrightarrow a \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = m.\left| {\overrightarrow a } \right|\). Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right|\) và \(\left| {\overrightarrow a } \right|\) tỷ lệ thuận với nhau.

Ta có m = 1kg; \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 20\left( {m/{s^2}} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = m.\left| {\overrightarrow a } \right| = 1.20 = 20\left( N \right)\).

Ta có \(\left| {\overrightarrow F } \right| = m.\left| {\overrightarrow a } \right| \Rightarrow m = \frac{{\left| {\overrightarrow F } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{50}}{{10}} = 5\) kg.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \).

Khi đó \({\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2}\)\( = {6^2} + {8^2} = 100\) (do \(\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} = 0\)).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right| = 10\)N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đặt \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {OC} \).

Theo đề có \(\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OA} = 0;\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OC} = 0;\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = 0\).

Theo quy tắc hình hộp có \(\overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \).

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {OE} } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {OC} } \right|}^2}} = \sqrt {{{30}^2} + {{40}^2} + {{20}^2}} = 10\sqrt {29} \)N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \).

Khi đó \({\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} + 2\overrightarrow {{F_2}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} \).

Vì \(\overrightarrow {{F_3}} \) vuông góc với mặt phẳng bàn nên \(\overrightarrow {{F_3}} \) vuông góc với \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} \).

Do đó \(\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} = 0\) và \(\overrightarrow {{F_2}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} = 0\).

Khi đó \({\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)\)

\( = {9^2} + {5^2} + {8^2} + 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ \) = 125.

Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {125} \approx 11,2\) N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Công thực hiện bởi lực kéo trên là

A = F×s×cosα = 3500×6000×cos30° ≈ 18186533 J.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \).

Khi đó \({\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} + 2\overrightarrow {{F_2}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} \).

Vì \(\overrightarrow {{F_3}} \) vuông góc với \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} \).

Do đó \(\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} = 0\) và \(\overrightarrow {{F_2}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} = 0\).

Khi đó \({\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)\)

\({25^2} = {15^2} + {15^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos 120^\circ \)

\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} = 400 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 20\) N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng.\(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \).

b) Sai. Công thức này chỉ đúng khi ba vectơ này đôi một vuông góc.

c) Đúng. \({\left( {\overrightarrow F } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} + 2\overrightarrow {{F_2}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} \).

d) Sai. \({\left( {\overrightarrow F } \right)^2} = 100 + 64 + 36 + 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ + 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ + 0\) = 220.

Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right| \approx 15N\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Vật trượt từ vị trí cao xuống vị trí thấp nên chuyển động từ H xuống M.

b) Đúng. Trong tam giác vuông HKM có \(HM = \frac{{HK}}{{\sin 45^\circ }} = 2\sqrt 2 \).

c) Đúng. \(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 8 \cdot 10 = 80N\).

d) Sai. A = P×HM = \(80 \cdot 2\sqrt 2 = 160\sqrt 2 \) J.

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. \[\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 10 \cdot 10 = 100\] N.

b) Sai. Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông.

Do đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

c) Sai. Ta có \(\overrightarrow F = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \).

Do SA = SC và \(\widehat {ASC} = 60^\circ \) nên

Mà vật ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow P \).

Lực tổng hợp của các lực căng dây cho mỗi sợi xích có độ lớn là 100 N.

d) Sai. Có \(4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SO} } \right| = 25\).

Mà tam giác SAC đều nên \(SA = SC = SB = SD = \frac{{50}}{{\sqrt 3 }} \approx 28,9\) N.

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Vật treo cân bằng dưới tác dụng của trọng lực \(\overrightarrow P \) và ba lực căng dây \(\overrightarrow {{T_A}} ,\overrightarrow {{T_B}} ,\overrightarrow {{T_C}} \) có độ lớn bằng nhau.

Lực tổng hợp các lực căng hướng thẳng đứng lên trên và cân bằng với trọng lực.

b) Đúng. Giả sử các lực \(\overrightarrow {{T_A}} ,\overrightarrow {{T_B}} ,\overrightarrow {{T_C}} \) có độ lớn bằng nhau đều bằng T (N).

Theo phương thẳng đứng

\(3T\sin \alpha = P\)\( \Leftrightarrow T = \frac{P}{{3\sin \alpha }} = \frac{{200}}{{3\sin 30^\circ }}\).

c) Sai. Khi góc giữa dây và trần tăng lên, lực căng của mỗi dây giảm.

d) Đúng. Nếu một trong ba dây bị đứt, các lực không còn cân bằng vật sẽ lệch khỏi vị trí cân bằng và không thể đứng yên.

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

Gọi A₁, B₁, C₁, D₁ lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {E{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {E{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {E{C_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {E{D_1}} = \overrightarrow {{F_4}} \).

a) Đúng. Vật treo cân bằng dưới tác dụng của trọng lực \(\overrightarrow P \) và bốn lực căng dây \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) có độ lớn bằng nhau.

Lực tổng hợp các lực căng hướng thẳng đứng lên trên và cân bằng với trọng lực.

b) Đúng. Gọi O là tâm hình chữ nhật A₁B₁C₁D₁.

Khi đó có \(\overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{B_1}} + \overrightarrow {E{C_1}} + \overrightarrow {E{D_1}} = 4\overrightarrow {EO} \).

Do EA; EB; EC; ED tạo với mặt phẳng (ABCD) góc α nên \(\widehat {E{A_1}O} = \widehat {E{B_1}O} = \widehat {E{C_1}O} = \widehat {E{D_1}O} = \alpha \).

Do tam giác EA₁C₁ là tam giác cân nên EO = 4800sinα.

c) Đúng. Do khung sắt ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow P \)

Do đó khi α tăng lên, sinα tăng nên để tổng lực thẳng đứng không đổi thì lực căng ở mỗi dây phải giảm.

d) Sai. \(\left| {\overrightarrow P } \right| = 4\left| {\overrightarrow {OE} } \right| \Leftrightarrow 7200\sqrt 6 = 4 \cdot 4800\sin \alpha \)\( \Leftrightarrow \sin \alpha \approx 0,92\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 21,2

Ta có \(\overrightarrow P = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \).

Ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau.

Theo phương thẳng đứng ta có 3F₁sin45° = 45 \( \Rightarrow {F_1} = \frac{{45}}{{3\sin 45^\circ }} \approx 21,2\) N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 500

Ta có A = F×s = 100×5 = 500 J.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 15

Ta có \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \).

Khi đó \({\left| {\overrightarrow F } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} + 2\overrightarrow {{F_2}} \cdot \overrightarrow {{F_3}} \)

\( = 9 + 36 + 81 + 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ + 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos 60^\circ + 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos 60^\circ \)

= 9 + 36 + 81 + 18 + 54 + 27 = 225 \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 15\) (N).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 27,8

Ta có \(\overrightarrow F = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \).

Khi đó \({\left( {\overrightarrow F } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c + 2\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c \).

Có \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \) nên \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\).

Có \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {DAC'}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'}\)

Có \(\Delta ADC'\) vuông tại D, \(\cos \widehat {DAC'} = \frac{{AD}}{{AC'}} = \frac{{AD}}{{AD\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Tương tự \(\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Do đó \({\left( {\overrightarrow F } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) + 2\left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right)\)

 \( = 100 + 100 + 225 + 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 425 + \frac{{600}}{{\sqrt 3 }}\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right| \approx 27,8\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 331

Vận tốc mới của máy bay là \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} + \overrightarrow {{v_3}} \).

Ta có \[{\overrightarrow v ^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_3}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_1}} \cdot \overrightarrow {{v_2}} + 2\overrightarrow {{v_1}} \cdot \overrightarrow {{v_3}} + 2\overrightarrow {{v_2}} \cdot \overrightarrow {{v_3}} \].

Vì \(\overrightarrow {{v_1}} \bot \overrightarrow {{v_3}} \Rightarrow \overrightarrow {{v_1}} \cdot \overrightarrow {{v_3}} = 0;\overrightarrow {{v_2}} \bot \overrightarrow {{v_3}} \Rightarrow \overrightarrow {{v_2}} \cdot \overrightarrow {{v_3}} = 0\).

Do đó \[{\overrightarrow v ^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_3}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right)\]

\[ = {300^2} + {40^2} + {30^2} + 2 \cdot 300 \cdot 40 \cdot \cos 45^\circ \]\[ = 92500 + 12000\sqrt 2 \].

Suy ra \(\left| {\overrightarrow v } \right| \approx 331\).