Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến căn bậc hai và căn thức bậc hai lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Trong vật lí, quãng đường S (tính bằng mét) của một vật rơi tự do được cho bởi công thức S = 4,9t2, trong đó l là tời gian rơi (tính bằng giây). Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả rơi tự do từ độ cao 122,5 mét?
5s.
15s.
25s.
20s.
Đáp án đúng là: A
Từ công thức S = 4,9t2 suy ra t2 = \(\frac{S}{{4,9}}\), suy ra t = \(\sqrt {\frac{S}{{4,9}}} \) (vì t > 0).
Vật đang ở độ cao 122,5 m rơi chạm đất thì vật đã rơi được quãng đường là
S = 122,5 m.
Thay S = 122,5 m vào phương trình t = \(\sqrt {\frac{S}{{4,9}}} = \sqrt {\frac{{122,5}}{{4,9}}} = 5(s)\).
Vậy sau 5 s thì vật rơi chạm đất.
Để lái xe an toàn khi đi qua đoạn đường có dạng cung tròn, người lái cần biết tốc độ tối đa cho phép là bao nhiêu. Vì thế, ở những đoạn đường đó thường có bảng chỉ dẫn cho tốc độ tối đa cho phép của ô tô. Tốc độ tối đa cho phép v (m/s) được tính bởi công thức v = \(\sqrt {rgu} \), trong đó r(m) là bán kính của cung đường g = 9,8 m/s2, μ = 0,12 là hệ số ma sát trượt của đường. Tính vận tốc tối đa cho phép v (m/s) để lái xe an toàn khi đi qua đoạn đường có dạng cung tròn với bán kính r = 400 m (làm tròn đến hàng phần mười).
22 m/s.
20 m/s.
2,2 m/s.
0,22 m/s.
Đáp án đúng là: A
Ta có công thức: v = \(\sqrt {rgu} \).
Thay r = 400, g = 9,8 và μ = 0,12, ta có:
v = \(\sqrt {400.9,8.0,12} \) ≈ 22 m/s.
Vậy tốc độ tối đa cho phép là khoảng 22 m/s.
Một trạm phát sóng được đặt ở vị trí B cách đường tàu một khoảng
AB = 300 (m). Đầu tàu đang ở vị trí C, cách vị trí A một khoảng AC = x (m). Tính khoảng cách BC khi AC = 1 000 mét.
1 404 m.
1 044 m.
1 400 m.
1 440 m.
Đáp án đúng là: B
Ta có khoảng cách từ trạm sóng đên đầu tàu là
BC \( = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{300}^2} + {{1000}^2}} \approx 1044\) (m).
Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng 2 cm2. Em hãy ước lượng (với độ chính xác 0,005) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?
0,8 m.
1,6 m.
16 m.
8 m.
Đáp án đúng là: B
Ta có diện tích ô đất hình tròn là S = πr2, suy ra r = \(\sqrt {\frac{S}{\pi }} = \sqrt {\frac{2}{\pi }} \) (m).
Đường kính của các ô đất đó là: d = 2r ≈ 1,6 m.
Đại Kim tự táp Giza là Kim tự tháp Ai Cập lớn nhất và là lăng mộ của Vương triều thứ Tư của pharaoh Khufu. Nền kim tự tháp có dạng hình vuông với diện tích khoảng 53 052 m2. Hỏi độ dài cạnh nền của kim tự tháp đó là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
23,03 m.
23,3 m.
230,3 m.
203 m.
Đáp án đúng là: C
Gọi cạnh hình vuông (nền kim tự tháp) là x, điều kiện x > 0, đơn vị m.
Diện tích hình vuông là: x2 = 53 052.
Suy ra x = \(\sqrt {53052} \) ≈ 230,3 m.
Vậy độ dài cạnh nền của kim tự tháp khoảng 230,3 m.
Giông bão thổi mạnh, một cây bị gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và tạo với phương nằm ngang một góc 45° (minh họa ở hình bên). Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây đến gốc cây là 4,5 m. Giả sử cây mọc vuông góc với mặt đấy, hãy tính chiều cao của cây đó theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
4,5 m.
10,9 m.
19 m.
9 m.
Đáp án đúng là: B
Xem đoạn bị gãy là CB, đoạn còn lại (thẳng đứng) là AC.
Như vậy, độ dài của cây khi chưa bị gãy là AC + BC.
Do tam giác ABC vuông tại A và \(\widehat {ABC}\) = 45°, suy ra tam giác ABC vuông cân tại A.
Suy ra AC = AB = 4,5 m.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC, ta có:
AB2 + AC2 = BC2
4,52 + 4,52 = BC2
Suy ra BC = \(\sqrt {2.4,{5^2}} = \sqrt {40,5} \) m.
Vậy chiều cao cây trước khi gãy là: 4,5 + \(\sqrt {40,5} \) ≈ 10,9 m.
Sử dụng dữ kiện bài toán dưới đây để trả lời Bài 7, 8.
Có hai xã A, B cùng ở bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA' = 500 m, BB' = 600 m và người ta đo được A'B' = 2 200 m. Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch đó là điểm M trên đoạn
MA' = x (m), 0 < x < 2 200 (minh họa ở hình bên).
Tổng khoảng cách MA + MB theo x là:
\[\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} \] + \[\sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \].
\[\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} \] − \[\sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \].
\[\sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \] − \[\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} \].
−\[\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} \] − \[\sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \].
Đáp án đúng là: A
Xét ∆AA'M vuông tại A' có MA = \[\sqrt {A{{A'}^2} + A'{M^2}} = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} \] (m).
Xét ∆BB'M vuông tại B' có MB = \[\sqrt {B{{B'}^2} + B'{M^2}} = \sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \] (m).
Khi đó MA + MB = \[\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} \] + \[\sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - x} \right)}^2}} \] (m).
Tổng khoảng cách MA + MB khi x = 1200 là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)
2 466 m.
2 664 m.
2 400 m.
2 600 m.
Đáp án đúng là: A
Với x = 1 200, ta có:
MA + MB = \[\sqrt {{{500}^2} + {{1200}^2}} \] + \[\sqrt {{{600}^2} + {{\left( {2200 - 1200} \right)}^2}} \] ≈ 2 466 (m).
Trên cần trục ở Hình 5, hai trụ a và b đứng cách nhau 20 m, hai xà ngang c và d lần lượt có độ cao 20 m và 45 m so với mặt đất. Xà chéo x có độ dài bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
20 m.
32 m.
16 m.
15 m.
Đáp án đúng là: B
Theo định lý Pythagore, ta có: x = \[\sqrt {{c^2} + {b^2}} \].
Theo đề, ta có: b = 45 – 20 = 25 và c = 20.
Suy ra x = \[\sqrt {{{25}^2} + {{20}^2}} = \sqrt {1025} \] ≈ 32.
Vậy xà chéo x có độ dài khoảng 32 m.
Hệ quả của hiện tượng nóng lên toàn cầu là băng của một số sông băng đang tan chảy. Mười hai năm sau khi băng biến mất, những loài thực vật nhỏ bé, được gọi là địa y, bắt đầu mọc trên đá. Mỗi nhóm địa y phát triển ở dạng (gần như) một hình tròn. Đường kính d (mm) của hình tròn này và tuổi của địa y có thể được tính gần đúng bằng công thức \(d = 7\sqrt {t - 12} \) với t là số năm tính từ khi băng biến mất (t ≥ 12). Tính đường kính của hình tròn địa y tạo nên sau khi băn biến mất 16 năm.
7 mm.
14 mm.
8 mm.
16 mm.
Đáp án đúng là: B
Đường kính của hình tròn do địa y tạo nên sau khi băng biến mất 16 năm là:
7\[\sqrt {16 - 12} \] = 7.2 = 14 (mm).
Galilei là người phát hiện ra quãng đường chuyển động của vật rơi tự do tỉ lệ thuận với bình phương của thời gian. Quan hệ giữa quãng đường chuyển động y (mét) và thời gian chuyển động x (giây) được biểu diễn gần đúng bởi công thức y = 5x2. Người ta thả một vật nặng từ độ cao 55 m trên tháp nghiêng Pisa xuống đất (sức cản của không khí không đáng kể và các kết quả được lầm tròn đến hàng phần trăm).
Khi đó:
Sau 3 giây thì vật nặng còn cách mặt đất 10 m.
Vật chạm đất sau khoảng 3,32 giây
Vật còn cách đất 20 m thì khi vật rơi được 2 giây.
Sau khoảng 2,35 giây thì vật rơi ở độ cao bằng một nửa độ cao ban đầu thả vật.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Quãng đường vật chuyển động được sau 3 giây là: y = 5.32 = 45 (m)
Do đó, sau 3 giây thì vật nặng còn cách mặt đất: 55 – 45 = 10 (m)
b) Đúng.
Thời gian để vật đi hết quãng đường 55 m là: 55 = 5.x2 suy ra x2 = 11
hay x2 = \[{\left( {\sqrt {11} } \right)^2}\].
Do đó, x = \[\sqrt {11} \approx 3,32\] (giây).
c) Sai.
Khi vật rơi được 2 giây thì quãng đường chuyển động của vật là:
y = 5.22 = 20 (m).
Do đó, vật còn cách mặt đất 55 – 20 = 35 (m).
d) Đúng.
Khi vật ở độ cao bằng một nửa độ cao ban đầu thì ta có:
\[\frac{{55}}{2} = 5.{x^2}\] suy ra x2 = \[\frac{{11}}{2} = 5,5\], do đó, x = \[\sqrt {5,5} \approx 2,35\] (giây).
Để ước tính tốc độ s (dặm/giờ) của một chiếc xe, cảnh sát đã sử dụng công thức \[s = \sqrt {30fd} \] , với d (tính bằng feed) là độ dài vết trượt của bánh xe và f là hệ số ma sát.
Trên đoạn đường (có gắn biển báo tốc độ bên trên) có hệ số ma sát là 0,73 và vết trượt của một xe 4 bánh sau khi thắng lại là 49,7 feet (biết 1 dặm = 1,61 km, các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Khi đó:
Tốc độ của xe đi trên đoạn đường đó khoảng 33 dặm/giờ.
Xe đi trên đoạn đường đó với tốc độ lớn hơn 50 km/h.
Xe đã vượt quá tốc độ của biển báo trên đoạn đường.
Nếu xe chạy với tốc độ 48 km/giờ trên đoạn đường có hệ số ma sát là 0,45 thì khi thắng lại vết trượt trên đường dài khoảng 65 feet.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Tốc độ của xe đi trên đoạn đường đó là:
\[s = \sqrt {30fd} = \sqrt {30.49,7.0,73} \approx 33\] (dặm/giờ)
b) Đúng.
Đổi 33 dặm/giờ = 33.1,61 = 53,13 ≈ 53 km/h > 50 km/h.
c) Sai.
Vì biển báo cho phép xe đi với tốc độ 50 – 60 km/h, không cho phép xe đi với tốc độ 80 – 100 km/h do đó xe không vượt quá tốc độ của biển báo.
d) Sai.
Đổi 48 km/giờ = 48 : 1,61 ≈ 30 dặm/giờ.
Ta có: \[s = \sqrt {30fd} \] nên \[30 = \sqrt {30.0,45.d} \].
Suy ra 302 = 30.0,45.d hay d = \[\frac{{{{30}^2}}}{{30.0,45}} \approx 67\] (feet).
Độ dài cạnh của khu vườn là \[5\sqrt 2 \,\,m\].
Chu vi của mảnh vườn lớn hơn 28 m.
Độ dài lối đi AC là một số nguyên.
Nếu diện tích của khu vườn tăng gấp đôi thì độ dài cạnh của khu vườn cũng tăng gấp đôi.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Nhận thấy 25.2 = 50 hay \[{\left( {5 \cdot \sqrt 2 } \right)^2} = 50\].
Do đó, độ dài cạnh của khu vườn là \[5\sqrt 2 \,\,m\].
b) Đúng.
Ta có chu vi của mảnh vườn là: \[4.5\sqrt 2 = 20\sqrt 2 = 28,284...\,\,\left( m \right)\].
c) Đúng.
Độ dài lối đi AC là đường chéo trong hình vuông ABCD.
Áp dụng định lí Pythagore, ta có: \[AC = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {100} = 10\] (m).
d) Sai.
Diện tích mới của khu vườn khi tăng gấp đôi là 50.2 = 100 (m2).
Lúc này, cạnh mới của khu vườn là: \[\sqrt {100} = 10\] (m).
Độ dài cạnh mới so với độ dài cạnh ban đầu là: \[10:5\sqrt 2 = \frac{2}{{\sqrt 2 }} < 2\].
Một khung bảo vệ hình chữ nhật được thiết kế để đặt vừa khít một tấm biển quảng cáo. Biết rằng tấm biển quảng cáo có chiều dài gấp đôi chiều rộng và diện tích bề mặt là 18 m2.
Chiều rộng của tấm biển là 3 m.
Chiều dài của tấm biển là \[\sqrt {18} \,\,m\].
Độ dài đường chéo của tấm biển quảng cáo là \[\sqrt {45} \,\,m\].
Chu vi của tấm biển lớn hơn 15 m.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Coi chiều rộng của tấm biển là a (m), chiều dài tấm biển là 2a (m).
Do đó, ta có: 2a2 = 18 nên a2 = 9 và a = 3 (m).
Vậy chiều rộng của tấm biển là 3 m.
b) Sai.
Chiều dài của tấm biển là 2.3 = 6 (m).
c) Đúng.
Độ dài đường chéo của tấm biển quảng cáo là: \[\sqrt {{3^2} + {6^2}} = \sqrt {45} \,\,\left( m \right)\]
d) Đúng.
Chu vi của tấm biển là: (3 + 6).2 = 18 (m)
Một trạm quan sát khí tượng cao h = 20 m được đặt tại điểm B trên mặt đất. Từ đỉnh trạm B’ người ta căng một dây cáp an toàn đến điểm C trên mặt đất sao cho khoảng cách từ chân trạm B đến C là 15 m (như hình vẽ).
Khi đó:
Độ dài sợ dây cáp là 25 m.
Nếu kéo dài khoảng cách từ chân trạm đến điểm C thêm 5 m thì độ dài dây cáp mới sẽ là \[20\sqrt 2 \,\,m\].
Nếu độ dài dây cáp là 30 m thì khoảng cách từ chân trạm B đến C là \[10\sqrt {13} \,\,m\].
Để độ dài dây cáp gấp hai lần độ cao trạm khí tượng thì đặt C cách B một đoạn 30 m.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Độ dài sợi dây cáp là: \[\sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25\,\,\left( m \right)\].
b) Đúng.
Nếu kéo dài khoảng cách từ chân trạm đến điểm C thêm 5 m thì BC = 20 m.
Do đó, độ dài dây cáp mới là \[\sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,\left( m \right)\].
c) Sai.
Nếu chiều dài dây cáp là 30 m thì khoảng cách từ chân trạm B đến C là:
\[\sqrt {{{30}^2} - {{20}^2}} = 10\sqrt 5 \,\,\left( m \right)\]
d) Sai.
Độ dài dây cáp lúc này là 20.2 = 40 (m).
Khi đó, khoảng cách giữa B và C là: \[\sqrt {{{40}^2} - {{20}^2}} = 20\sqrt 3 \,\,\left( m \right)\]
Để tính toán thời gian một chu kỳ đong đưa (một chu kỳ đong đưa dây đu được tính từ lúc dây đu bắt đầu được đưa lên cao đến khi dừng hẳn) của một dây đu, người ta sử dụng công thức \[T = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}} \]. Trong đó, T là thời gian một chu kỳ đong đưa lên, L là chiều dài của dây đu, g = 9,81 m/s2. Dây đu có chiều dài \[L = 6\] (m) thì chu kì đong đưa dây bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 4,9
Chu kì đong đưa của dây là: \[T = 2\pi \sqrt {\frac{6}{{9,81}}} \approx 4,9\] (m)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 105
Có P = 100W, R =110Ω.
Điện áp để thắp sáng cho bóng đèn A là: \[U = \sqrt {P.R} = \sqrt {100.110} \approx 105\] (V).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1,42
Ta có: l = 0,5 m; g = 9,8 m/s2.
Do đó, chu kì của con lắc đó là: \[T = 2\pi \sqrt {\frac{{0,5}}{{9,8}}} \approx 1,42\] (s)
Vậy chu kì của con lắc đó là 1,42 (s).
Quãng đường đi của một vật rơi tự do không vận tốc đầu cho bởi công thức \[S = \frac{1}{2}g{t^2}\] (trong đó g là gia tốc trọng trường g ≈ 9,8 m/s2, t là thời gian rơi tự do, S là quãng đường rơi tự do). Một vận động viên nhảy dù, nhảy khỏi máy bay ở độ cao 3500 mét (vị trí A) với vận tốc ban đầu không đáng kể.
Hỏi sau thời gian bao nhiêu giây (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) vận động viên phải mở dù để khoảng cách từ (vị trí B) đến mặt đất (vị trí C) trong hình là khoảng 1500 mét. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 20,2
Quãng đường vận động viên nhảy từ vị trí A đến vị trí B là: 3 500 – 1 500 = 2 000 (m).
Thay S = 2 000; g = 9,8 m/s2 vào công thức \[S = \frac{1}{2}g{t^2}\], ta được:
\[\frac{1}{2}.9,8{t^2} = 2\,\,000\], do đó \[{t^2} = \frac{{4\,000}}{{9,8}}\] suy ra \[t = \sqrt {\frac{{4\,000}}{{9,8}}} \approx 20,2\] (giây)
Vậy vận động viên phải mở dù sau thời gian 20,2 giây.
Nhà bạn An (vị trí A) cách nhà bạn Châu (vị trí C) 600 m và cách nhà bạn Bình (vị trí B) 450 m. Biết rằng 3 vị trí: nhà An, nhà Bình, nhà Châu là ba đỉnh của một tam giác vuông (xem hình vẽ).
Hỏi khoảng cách từ nhà Bình đến nhà Châu là bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 750
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, có:
AB2 + AC2 = BC2 hay 4502 + 6002 = BC2
Do đó, BC = \[\sqrt {{{450}^2} + {{600}^2}} = 750\] (m)
Vậy khoảng cách từ nhà Bình đến nhà Châu là 750 m.
