Bài tập Hypebol có đáp án
14 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc x2a2−y2b2=1.
a) Hãy giải thích vì sao nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc hypebol (H.3.12).
b) Tìm toạ độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?
c) Với điểm M(x0; y0) thuộc hypebol, hãy so sánh |x0| với a.
a) Nếu điểm M(x0; y0) thuộc hypebol thì ta có: x02a2−y02b2=1.
Ta có: x02a2−−y02b2=−x02a2−y02b2=−x02a2−−y02b2=x02a2−y02b2=1 nên các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc elip.
b)
+) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.
Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (xA; 0)
Mà A thuộc hypebol nên xA2a2−02b2=1⇒xA2=a2⇒xA=axA=−a.
Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A1(–a; 0) và A2(a; 0).
+) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.
Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; yB).
Mà B thuộc hypebol nên 02a2−yB2b2=1⇒−yB2b2=1 (vô lí).
Vậy hypebol không cắt trục tung.
c) M(x0; y0) thuộc hypebol nên ta có: x02a2−y02b2=1.
Vì y02b2≥0 nên x02a2≤1⇒x02≤a2⇒|x0| ≤a.
Cho hypebol x264−y236=1.
a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục.
b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.
a) Có a2 = 64, b2 = 36
⇒a=8,b=6c=a2+b2=64+36=10.
Do đó, tiêu cự của hypebol là 2c = 20, độ dài trục thực là 2a = 16, độ dài trục ảo là 2b = 12.
b) Các đỉnh của hypebol là A1(–8; 0), A2(8; 0).
Hai đường tiệm cận của hypebol là y=−bax=−68x=−34xvà y=bax=68x=34x.
Cho điểm M(x0; y0) thuộc hypebol có hai tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0), độ dài trục thực bằng 2a.
a) Tính MF12 – MF22.
b) Giả sử M(x0; y0) thuộc nhánh chứa đỉnh A2(a; 0), tức là, MF1 – MF2 = 2a. Tính MF1 + MF2, MF1, MF2.
c) Giả sử M(x0; y0) thuộc nhánh chứa đỉnh A1(–a; 0), tức là, MF2 – MF1 = 2a. Tính MF1 + MF2, MF1, MF2.
Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 63. Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.
Hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 63⇒ 2a = 6, 2b = 63
⇒ a = 3, b = 33⇒c=a2+b2=32+332=6.
Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:
MF1 =a+cax=3+63.9=21.
MF2 =a−cax=3−63.9=15.
Cho hypebol x21−y23=1 với hai tiêu điểm F1(–2; 0), F2(2; 0). Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính tiêu MF2 nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm.
Có a2 = 1, b2 = 3 ⇒a=1,b=3⇒c=a2+b2=2.
Gọi (x; y) là toạ độ của M.
Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF2 =a−cax=1−21.x=1−2x.
Nếu M thuộc nhánh bên trái thì x ≤ –a = –1. Khi đó 1 – 2x ≥ 1 – 2(–1) = 3.
Suy ra MF2 = |1 – 2x| ≥ 3.
Nếu M thuộc nhánh bên phải thì x ≥ a = 1. Khi đó1 – 2x ≤ 1 – 2.1 = –1.
Suy ra MF2 = |1 – 2x| ≥ 1.
Vậy MF2 nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1.
Khi đó MF1 =a+cax=1+21.1=3.
Cho hypebol có phương trình chính tắc x2a2−y2b2=1 với các tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0). Xét các đường thẳng Δ1:x=−a2c và Δ2:x=a2c (H.3.14). Với điểm M(x; y) thuộc hypebol, tính các tỉ số MF1dM,Δ1 và MF2dM,Δ2 theo a và c.
+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng: x+0y+a2c=0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: dM,Δ1=x+0y+a2c12+02=x+a2c.
suy ra MF1dM,Δ1=a+caxx+a2c=a2+cxaxc+a2c=ca=ca.
+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng: x+0y−a2c=0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: dM,Δ2=x+0y−a2c12+02=x−a2c.
suy ra MF2dM,Δ2=a−caxx−a2c=a2−cxaxc−a2c=ca=ca.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol (H) có phương trình chính tắc, có tâm sai e = 2 và một đường chuẩn là x = 8. Lập phương trình chính tắc của (H).
Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là 3.108 km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 (H.3.15).
Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 108 km trên thực tế.
Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 của hypebol.
Gọi phương trình chính tắc của hypebol là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).
Theo đề bài, ta có:
– Khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là 3.108 km ⇒ c – a = 3.
– Tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6
⇒ ca=3,6⇒a+33=3,6⇒ a = 7,8 ⇒ a2 = 60,84
⇒ c = 10,8 ⇒ b2 = c2 – a2 = 10,82 – 7,82 = 55,8.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x260,84−y255,8=1.
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc x29−y24=1. Xác định toạ độ các đỉnh, độ dài các trục, tâm sai và phương trình các đường chuẩn của hypebol.
Có a2 = 9, b2 = 4 ⇒ a = 3, b = 2, c = a2+b2=9+4=13.
Toạ độ các đỉnh của hypebol là A1(–3; 0), A2(3; 0).
Độ dài trục thực là 2a = 6, độ dài trục ảo là 2b = 4.
Tâm sai e = ca=133.
Phương trình các đường chuẩn của hypebol là: Δ1:x=−a2c⇔x=−913, Δ2:x=a2c⇔x=913.
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc x29−y27=1. Tính bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 12.
Có a2 = 9, b2 = 7 ⇒a=3, c=a2+b2=9+7=4.
Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:
MF1=a+cax= 3+43.12=19.
MF2=a−cax= 3−43.12=13.
Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:
a) (H) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10;
b) (H) có tiêu cự bằng 213, một đường tiệm cận là (10;6);
c) (H) có tâm sai e=5, và đi qua điểm (10;6).
Một hypebol mà độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo được gọi là hypebol vuông. Tìm tâm sai và phương trình hai đường tiệm cận của hypebol vuông.
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.
Xét hypebol có phương trình chính tắc là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).
Hai đường tiệm cận của hypebol là: d1 : y=−bax hay bx + ay = 0 và d2 : y=bax hay bx – ay = 0.
Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:
d(M, d1) = bx+ayb2+a2, d(M, d2) = bx−ayb2+a2.
⇒ d(M, d1).d(M, d2) = bx+ayb2+a2.bx−ayb2+a2=bx2−ay2a2+b2 (*).
Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên x2a2−y2b2=1⇒x2b2−a2y2a2b2=1
⇒bx2−ay2=a2b2
Thay vào (*) ta được: d(M, d1).d(M, d2) = a2b2a2+b2=a2b2a2+b2 (không đổi).
Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.
Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều với khoảng cách 200 km (H.3.16). Tại một thời điểm, bốn trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292000 km/s. Một tàu thuỷ nhận được tín hiệu từ trạm C trước 0,0005 s so với tín hiệu từ trạm B và nhận được tín hiệu từ trạm D sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm A.
a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C.
b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D.
c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ ứng với 100 km trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí M của tàu. Từ đó, tính toạ độ của M (các số được làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Tính các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km).
Gọi vận tốc phát tín hiệu là v (theo đề bài v = 292000 km/s);
tA, tB, tC, tD lần lượt là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ các trạm A, B, C, D;
M là vị trí của tàu thuỷ.
a) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C là:
MB – MC = v.tB – v.tC = v(tB – tC) = 292000 . 0,0005 = 146 (km).
b) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D là:
MA – MD = v.tD – v.tA = v(tD – tA) = 292000 . 0,001 = 292 (km).
c)
+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H1) nhận B, C làm tiêu điểm là x2a12−y2b12=1 (a1 > 0, b1 > 0).
Vì MB – MC = 146 nên 2a1 = 146 ⇒ a1 = 73 ⇒ a12 = 5329.
Ta thấy B(–100; 0) và C(100; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c1 = 100
⇒b12=c12−a12 = 1002 – 732 = 4671.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H1) là x25329−y24671=1.
+) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H2) nhận A, D làm tiêu điểm là x2a22−y2b22=1 (a2 > 0, b2 > 0).
Vì MA – MD = 29,2 nên 2a2 = 292 ⇒ a2 = 146 ⇒ a12 = 21316.
Ta thấy A(–300; 0) và D(300; 0) là hai tiêu điểm của hypebol nên c2 = 300
⇒b22=c22−a22 = 3002 – 1462 = 68684.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H2) là x221316−y268684=1.
Gọi toạ độ của M là (x; y). Vì M thuộc cả (H1) và (H2) nên ta có:
x25329−y24671=1x221316−y268684=1⇒x2=34112527712500y2=24061722312500⇒x≈165y≈139 (vì theo hình vẽ x, y > 0)
d) MB = 165−−1002+139−02≈ 299 (km);
MC = 165−1002+139−02≈ 153 (km).