Bài tập Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng có đáp án
15 câu hỏi
Cầu cảng Sydney là một trong những hình ảnh biểu tượng của thành phố Sydney và nước Australia.
Độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney có thể biểu thị theo độ dài x (m) tính từ chân cầu bên trái dọc theo đường nối với chân cầu bên phải như sau (Hình 10): y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118.
Hàm số y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 có gì đặc biệt?
Để tìm hiểu về hàm số y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 có gì đặc biệt, chúng ta cùng quan sát Hoạt động 1 trang 39 SGK Toán lớp 10 Tập 1.
Cho hàm số y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118.
a) Viết công thức xác định hàm số trên về dạng đa thức theo lũy thừa với số mũ giảm dần của x.
b) Bậc của đa thức trên bằng bao nhiêu?
c) Xác định hệ số của x2, hệ số của x và hệ số tự do.
a) Ta có: y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118
⇔ y = – 0,00188(x2 – 503x + 63252,25) + 118
⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 118,91423 + 118
⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423
Vậy công thức hàm số được viết về dạng đa thức theo lũy thừa giảm dần của x là y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423.
b) Đa thức – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423 có bậc là 2. (bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức)
c) Trong đa thức trên, ta có:
+ Hệ số của x2 là: –0,00188
+ Hệ số của x là: 0,94564
+ Hệ số do là: – 0,91423.
Cho hai ví dụ về hàm số bậc hai.
* Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng y = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hằng số và a khác 0.
* Ta có thể lấy nhiều ví dụ về hàm số bậc hai, chẳng hạn như hai ví dụ sau:
+ Hàm số y = 10x2 + 3x – 7 là hàm số bậc hai.
+ Hàm số y = – 15x2 + 5 là hàm số bậc hai.
Cho hàm số y = x2 + 2x – 3.
a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
x | – 3 | – 2 | – 1 | 0 | 1 |
y | ? | ? | ? | ? | ? |
b) Vẽ các điểm A(– 3; 0), B(– 2; – 3), C(– 1; – 4), D(0; – 3), E(1; 0) của đồ thị hàm số y = x2 + 2x – 3 trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
c) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm A, B, C, D, E. Đường cong đó là đường parabol và cũng chính là đồ thị hàm số y = x2 + 2x – 3 (Hình 11).
d) Cho biết tọa độ của điểm thấp nhất và phương trình trục đối xứng của parabol đó. Đồ thị hàm số đó quay bề lõm lên trên hay xuống dưới?
a) Ta có: y = x2 + 2x – 3.
Với x = – 3 thì y = (– 3)2 + 2 . (– 3) – 3 = 0.
Với x = – 2 thì y = (– 2)2 + 2 . (– 2) – 3 = – 3.
Với x = – 1 thì y = (– 1)2 + 2 . (– 1) – 3 = – 4.
Với x = 0 thì y = 02 + 2 . 0 – 3 = – 3.
Với x = 1 thì y = 12 + 2 . 1 – 3 = 0.
Vậy ta hoàn thành bảng như sau:
x | – 3 | – 2 | – 1 | 0 | 1 |
y | 0 | – 3 | – 4 | – 3 | 0 |
b) Ta vẽ các điểm lên mặt phẳng tọa độ như sau:
c) Đường cong cần vẽ có dạng:
d) Tọa độ điểm thấp nhất của parabol trên là (– 1; – 4).
Phương trình trục đối xứng của parabol là: x = – 1.
Đồ thị hàm số trên quay bề lõm hướng lên trên.
Cho hàm số y = – x2 + 2x + 3.
a) Tìm tọa độ 5 điểm thuộc đồ thị hàm số trên có hoành độ lần lượt là – 1, 0, 1, 2, 3 rồi vẽ chúng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm trên. Đường cong đó cũng là đường parabol và là đồ thị của hàm số y = – x2 + 2x + 3 (Hình 12).
c) Cho biết tọa độ của điểm cao nhất và phương trình trục đối xứng của parabol đó. Đồ thị hàm số đó quay bề lõm lên trên hay xuống dưới?
a) Ta có: y = – x2 + 2x + 3.
Với x = – 1 thì y = – (– 1)2 + 2 . (– 1) + 3 = 0.
Với x = 0 thì y = – 02 + 2 . 0 + 3 = 3.
Với x = 1 thì y = – 12 + 2 . 1 + 3 = 4.
Với x = 2 thì y = – 22 + 2 . 2 + 3 = 3.
Với x = 3 thì y = – 32 + 2 . 3 + 3 = 0.
Vậy tọa độ các điểm cần tìm là: (– 1; 0), (0; 3), (1; 4), (2; 3), (3; 0) và được vẽ lên mặt phẳng tọa độ như sau:
b) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm trên:
c) Tọa độ điểm cao nhất là (1; 4).
Phương trình trục đối xứng của parabol là: x = 1.
Đồ thị hàm số đó quay bề lõm hướng xuống dưới.
Vẽ đồ thị mỗi hàm số bậc hai sau:
a) y = x2 – 4x – 3;
b) y = x2 + 2x + 1;
c) y = – x2 – 2.
a) y = x2 – 4x – 3
Ta có: a = 1, b = – 4, c = – 3, ∆ = (– 4)2 – 4 . 1 . (– 3) = 28.
- Tọa độ đỉnh I(2; – 7).
- Trục đối xứng x = 2.
- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; – 3).
- Giao điểm của parabol với trục hoành là B(2−7; 0) và C(2+7; 0).
- Điểm đối xứng với điểm A(0; – 3) qua trục đối xứng x = 2 là D(4; – 3).
- Do a > 0 nên bề lõm của đồ thị hướng lên trên.
Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = x2 – 4x – 3 như hình dưới.
b) y = x2 + 2x + 1
Ta có: a = 1, b = 2, c = 1, ∆ = 22 – 4 . 1 . 1 = 0.
- Tọa độ đỉnh I(– 1; 0).
- Trục đối xứng x = – 1.
- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; 1).
- Giao điểm của parabol với trục hoành là chính là đỉnh I.
- Điểm đối xứng với điểm A(0; 1) qua trục đối xứng x = – 1 là B(– 2; 0).
- Lấy điểm C(1; 4) thuộc đồ thị hàm số, điểm đối xứng của C qua trục đối xứng x = – 1 là D(– 3; 4).
- Do a > 0 nên bề lõm của đồ thị hướng lên trên.
Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = x2 + 2x + 1 như hình dưới.
c) y = – x2 – 2
Ta có: a = – 1, b = 0, c = – 2, ∆ = 02 – 4 . (– 1) . (– 2) = – 8.
- Tọa độ đỉnh I(0; – 2).
- Trục đối xứng x = 0 chính là trục tung.
- Giao điểm của parabol với trục tung là đỉnh của parabol.
- Parabol không có giao điểm với trục hoành.
- Khi x = 1 thì y = – 3 nên đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; – 3). Điểm đối xứng với A qua trục tung là B(– 1; – 3).
- Khi x = 2 thì y = – 6 nên đồ thị hàm số đi qua điểm F(2; – 6). Điểm đối xứng với điểm F qua trục tung là G(– 2; – 6).
- Do a < 0 nên bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới.
Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = – x2 – 2 như hình dưới.
a) Quan sát đồ thị hàm số bậc hai y = x2 + 2x – 3 trong Hình 11. Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số và lập bảng biến thiên của hàm số đó.
b) Quan sát đồ thị hàm số bậc hai y = – x2 + 2x + 3 trong Hình 12. Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số và lập bảng biến thiên của hàm số đó.
a) Quan sát Hình 11.
+ Đồ thị hàm số y = x2 + 2x – 3 đi xuống trong khoảng (– ∞; – 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; – 1).
+ Đồ thị hàm số trên đi lên trong khoảng (– 1; + ∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; + ∞).
Ta có bảng biến thiên
b) Quan sát Hình 12.
+ Đồ thị hàm số y = – x2 + 2x + 3 đi lên trong khoảng (– ∞; 1) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1).
+ Đồ thị hàm số trên đi xuống trong khoảng (1; + ∞) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (1; + ∞).
Ta có bảng biến thiên
Lập bảng biến thiên của mỗi hàm số sau:
a) y = x2 – 3x + 4;
b) y = – 2x2 + 5.
a) y = x2 – 3x + 4
Ta có: a = 1 > 0, b = – 3, c = 4, ∆ = (– 3)2 – 4 . 1 . 4 = – 7,−b2a=−−32=32, −Δ4a=−−74=74.
Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng −∞;32và đồng biến trên khoảng 32;+∞.
Ta có bảng biến thiên:
b) y = – 2x2 + 5
Ta có: a = – 2 < 0, b = 0, c = 5, ∆ = 02 – 4 . (– 2) . 5 = 40 , −b2a=0, −Δ4a=5.
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞ ; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; + ∞).
Ta có bảng biến thiên:
Trong bài toán ở phần mở đầu, độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Cách 1: Ta có: y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118
Vì (x – 251,5)2 ≥ 0 với mọi x
⇒ – 0,00188(x – 251,5)2 ≤ 0 với mọi x
⇒ – 0,00188(x – 251,5)2 + 118 ≤ 118 với mọi x
Hay y ≤ 118 với mọi x
Do đó giá trị lớn nhất của y là 118 khi x – 251,5 = 0 hay x = 251,5.
Vậy độ cao lớn nhất cần tìm là 118 m.
Cách 2: Ta có: y = – 0,00188(x – 251,5)2 + 118
Hay y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423, đây chính là hàm số bậc hai.
Ta có: a = – 0,00188 < 0 nên đồ thị hàm số trên có bề lõm hướng xuống dưới hay điểm đỉnh của đồ thị là điểm cao nhất, vậy giá trị lớn nhất cần tìm chính là tung độ của đỉnh.
Ta có: b = 0,94564, c = – 0,91423,
∆ = (0,94564)2 – 4 . (– 0,00188) . (– 0,91423) = 0,88736
Suy ra: −Δ4a=−0,887364.−0,00188=118
Vậy độ cao lớn nhất cần tìm là 118 m.
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c lần lượt là hệ số của x2, hệ số của x và hệ số tự do.
a) y = – 3x2;
b) y = 2x(x2 – 6x + 1);
c) y = 4x(2x – 5).
a) y = – 3x2 là hàm số bậc hai với a = – 3, b = 0 và c = 0.
b) y = 2x(x2 – 6x + 1)
⇔ y = 2x4 – 12x2 + 2x
Hàm số này không phải là hàm số bậc hai (do bậc của đa thức là 4).
c) y = 4x(2x – 5)
⇔ y = 8x2 – 20x
Hàm số này là hàm số bậc hai với hệ số a = 8, b = – 20 và c = 0.
Xác định parabol y = ax2 + bx + 4 trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua điểm M(1; 12) và N(– 3; 4);
b) Có đỉnh là I(– 3; – 5).
a) Parabol đã cho đi qua điểm M(1; 12), thay x = 1, y = 12 vào hàm số ta được:
12 = a + b + 4 ⇔ a = 8 – b (1)
Parabol đã cho đi qua điểm N(– 3; 4), thay x = – 3, y = 4 vào hàm số ta được:
4 = 9a – 3b + 4 ⇔ 3a – b = 0 (2)
Thay (1) vào (2) ta có: 3. (8 – b) – b = 0 ⇔ 24 – 4b = 0 ⇔ b = 6.
Suy ra a = 8 – b = 8 – 6 = 2.
Vậy y = 2x2 + 6x + 4.
b) Parabol có đỉnh là I(– 3; – 5)
⇔−b2a=−3 3a.−32+b.−3+4=−5 4
Từ (3) suy ra: b = 6a, thay vào (4) ta được: 9a – 3 . 6a + 4 = – 5 ⇔ a = 1
Suy ra: b = 6a = 6 . 1 = 6.
Vậy y = x2 + 6x + 4.
Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
a) y = 2x2 – 6x + 4;
b) y = – 3x2 – 6x – 3.
a) y = 2x2 – 6x + 4
Ta có: a = 2, b = – 6, c = 4, ∆ = (– 6)2 – 4 . 2 . 4 = 4.
- Tọa độ đỉnh I32;−12.
- Trục đối xứng x=32.
- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; 4).
- Giao điểm của parabol với trục hoành là B(1; 0) và C(2; 0).
- Điểm đối xứng với điểm A(0; 4) qua trục đối xứng là D(3; 4).
- Do a > 0 nên đồ thị có bề lõm hướng lên trên.
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = 2x2 – 6x + 4 như hình vẽ dưới.
b) y = – 3x2 – 6x – 3
Ta có: a = – 3, b = – 6, c = – 3, ∆ = (– 6)2 – 4 . (– 3) . (– 3) = 0.
- Tọa độ đỉnh I(– 1; 0).
- Trục đối xứng x = – 1.
- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; – 3).
- Giao điểm của parabol với trục hoành chính là đỉnh I.
- Điểm đối xứng của A(0; – 3) qua trục đối xứng x = – 1 là điểm B(– 2; – 3).
- Do a < 0 nên bề lõm của đồ thị hướng xuống.
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = – 3x2 – 6x – 3 như hình dưới.
Cho đồ thị hàm số bậc hai ở Hình 15.
a) Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số.
b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
c) Tìm công thức xác định hàm số.
a) Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 15, ta thấy trục đối xứng của hàm số là đường thẳng x = 2, tọa độ đỉnh I(2; – 1).
b) Ta thấy đồ thị hàm số đi xuống trên khoảng (– ∞ ; 2) nên hàm số nghịch biến trên (– ∞; 2). Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (2; + ∞) nên hàm số đồng biến trên (2; + ∞).
c) Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 3) nên c = 3.
Khi đó: y = ax2 + bx + 3.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm (1; 0) và (3; 0) nên a+b+3=09a+3b+3=0⇔a=1b=−4
Vậy y = x2 – 4x + 3.
Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:
a) y = 5x2 + 4x – 1;
b) y = – 2x2 + 8x + 6.
a) y = 5x2 + 4x – 1
Ta có: a = 5 > 0, b = 4, −b2a=−42.5=−25.
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng −∞;−25 và đồng biến trên khoảng −25;+∞.
b) y = – 2x2 + 8x + 6
Ta có: a = – 2 < 0, b = 8, −b2a=−82.−2=2.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞ ; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; + ∞).
Khi du lịch đến thành phố St.Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng có vị trí tọa độ (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Cổng Arch có dạng hình parabol, theo đề bài parabol này đi qua gốc tọa độ O(0; 0), điểm M(10; 43) và điểm có tọa độ (162; 0).
Giả sử hàm số có dạng: y = ax2 + bx + c (a < 0, do parabol có bề lõm hướng xuống).
Do parabol đi qua O(0; 0) nên 0 = a . 02 + b . 0 + c ⇔ c = 0
Khi đó: y = ax2 + bx
Parabol đi qua điểm M(10; 43) và (162; 0) nên ta có hệ: 102.a+10.b=431622.a+162b=0
⇔100a+10b=4326244a+162b=0⇔a=−431520 t/mb=3483760
Do đó: y=−431520x2+3483760x
Vì parabol có bề lõm hướng xuống dưới nên điểm cao nhất chính là điểm đỉnh của parabol và khi đó chiều cao của cổng chính là tung độ đỉnh của parabol.
Ta có: Δ=b2−4ac=34837602−0=34837602
Tung độ của đỉnh: −Δ4a=−34837602:4.−431520≈186.
Vậy chiều cao của cổng khoảng 186 m.
