Bài tập Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng có đáp án

Để tìm hiểu về hàm số y =  – 0,00188(x – 251,5)² + 118 có gì đặc biệt, chúng ta cùng quan sát Hoạt động 1 trang 39 SGK Toán lớp 10 Tập 1.

a) Ta có: y =  – 0,00188(x – 251,5)2 + 118

⇔ y = – 0,00188(x2 – 503x + 63252,25) + 118

⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 118,91423 + 118

⇔ y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423

Vậy công thức hàm số được viết về dạng đa thức theo lũy thừa giảm dần của x là  y = – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423.

b) Đa thức – 0,00188x2 + 0,94564x – 0,91423 có bậc là 2. (bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức)

c) Trong đa thức trên, ta có:

+ Hệ số của x2 là: –0,00188

+ Hệ số của x là: 0,94564

+ Hệ số do là: – 0,91423.

* Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng y = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hằng số và a khác 0.

* Ta có thể lấy nhiều ví dụ về hàm số bậc hai, chẳng hạn như hai ví dụ sau:

+ Hàm số y = 10x2 + 3x – 7 là hàm số bậc hai.

+ Hàm số y = – 15x2 + 5 là hàm số bậc hai.

a) Ta có: y = x² + 2x – 3.

Với x = – 3 thì y = (– 3)² + 2 . (– 3) – 3 = 0.

Với x = – 2 thì y = (– 2)² + 2 . (– 2) – 3 = – 3.

Với x = – 1 thì y = (– 1)² + 2 . (– 1) – 3 = – 4.

Với x = 0 thì y = 0² + 2 . 0 – 3 = – 3.

Với x = 1 thì y = 1² + 2 . 1 – 3 = 0.

Vậy ta hoàn thành bảng như sau:

b) Ta vẽ các điểm lên mặt phẳng tọa độ như sau:

c) Đường cong cần vẽ có dạng:

d) Tọa độ điểm thấp nhất của parabol trên là (– 1; – 4).

Phương trình trục đối xứng của parabol là: x = – 1.

Đồ thị hàm số trên quay bề lõm hướng lên trên.

a) Ta có: y = – x² + 2x + 3.

Với x = – 1 thì y = – (– 1)² + 2 . (– 1) + 3 = 0.

Với x = 0 thì y = – 0² + 2 . 0 + 3 = 3.

Với x = 1 thì y = – 1² + 2 . 1 + 3 = 4.

Với x = 2 thì y = – 2² + 2 . 2 + 3 = 3.

Với x = 3 thì y = – 3² + 2 . 3 + 3 = 0.

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là: (– 1; 0), (0; 3), (1; 4), (2; 3), (3; 0) và được vẽ lên mặt phẳng tọa độ như sau:

b) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm trên:

c) Tọa độ điểm cao nhất là (1; 4).

Phương trình trục đối xứng của parabol là: x = 1.

Đồ thị hàm số đó quay bề lõm hướng xuống dưới.

a) y = x² – 4x – 3

Ta có: a = 1, b = – 4, c = – 3, ∆ = (– 4)² – 4 . 1 . (– 3) = 28.

- Tọa độ đỉnh I(2; – 7).

- Trục đối xứng x = 2.

- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; – 3).

- Giao điểm của parabol với trục hoành là B($2-\sqrt{7}$; 0) và C($2+\sqrt{7}$; 0).

- Điểm đối xứng với điểm A(0; – 3) qua trục đối xứng x = 2 là D(4; – 3).

- Do a > 0 nên bề lõm của đồ thị hướng lên trên.

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = x² – 4x – 3 như hình dưới.

b) y = x² + 2x + 1

Ta có: a = 1, b = 2, c = 1, ∆ = 2² – 4 . 1 . 1 = 0.

- Tọa độ đỉnh I(– 1; 0).

- Trục đối xứng x = – 1.

- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; 1).

- Giao điểm của parabol với trục hoành là chính là đỉnh I. 

- Điểm đối xứng với điểm A(0; 1) qua trục đối xứng x = – 1 là B(– 2; 0).

- Lấy điểm C(1; 4) thuộc đồ thị hàm số, điểm đối xứng của C qua trục đối xứng x = – 1 là D(– 3; 4).

- Do a > 0 nên bề lõm của đồ thị hướng lên trên.

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = x² + 2x + 1 như hình dưới.

 

c) y = – x² – 2

Ta có:  a = – 1, b = 0, c = – 2, ∆ = 0² – 4 . (– 1) . (– 2) = – 8.

- Tọa độ đỉnh I(0; – 2).

- Trục đối xứng x = 0 chính là trục tung.

- Giao điểm của parabol với trục tung là đỉnh của parabol.

- Parabol không có giao điểm với trục hoành.

- Khi x = 1 thì y = – 3 nên đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; – 3). Điểm đối xứng với A qua trục tung là B(– 1; – 3).

- Khi x = 2 thì y = – 6 nên đồ thị hàm số đi qua điểm F(2; – 6). Điểm đối xứng với điểm F qua trục tung là G(– 2; – 6).

- Do a < 0 nên bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới.

 Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = – x² – 2 như hình dưới.

a) Quan sát Hình 11.

a) y = x² – 3x + 4

Ta có: a = 1 > 0, b = – 3, c = 4, ∆ = (– 3)² – 4 . 1 . 4 = – 7,$-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$, $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4}$.

Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$và đồng biến trên khoảng  $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Ta có bảng biến thiên:

Cách 1: Ta có: y =  – 0,00188(x – 251,5)² + 118

Vì (x – 251,5)² ≥ 0 với mọi x

⇒ – 0,00188(x – 251,5)² ≤ 0 với mọi x

⇒ – 0,00188(x – 251,5)² + 118 ≤ 118 với mọi x

Hay y ≤ 118 với mọi x

Do đó giá trị lớn nhất của y là 118 khi x – 251,5 = 0 hay x = 251,5.

Vậy độ cao lớn nhất cần tìm là 118 m.

Cách 2: Ta có: y =  – 0,00188(x – 251,5)² + 118

Hay y = – 0,00188x² + 0,94564x – 0,91423, đây chính là hàm số bậc hai.

Ta có: a = – 0,00188 < 0 nên đồ thị hàm số trên có bề lõm hướng xuống dưới hay điểm đỉnh của đồ thị là điểm cao nhất, vậy giá trị lớn nhất cần tìm chính là tung độ của đỉnh.

Ta có: b = 0,94564, c = – 0,91423,

∆ = (0,94564)² – 4 . (– 0,00188) . (– 0,91423) = 0,88736

Suy ra: $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{\mathrm{0,88736}}{4.\left(-\mathrm{0,00188}\right)}=118$

Vậy độ cao lớn nhất cần tìm là 118 m.