Bài tập Elip có đáp án

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 10, suy ra 2a = 10, suy ra a = 5.

– Elip có một tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b2 = a2 – c2 = 52 – 32 = 16.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

a) Gọi toạ độ của N là (x_N; y_N­). Khi đó $\overrightarrow{HN}=\left(x_N-x_0;y_N-0\right)=\left(x_N-x_0;y_N\right).$

Vì HN = kHM nên $\overrightarrow{HN}=k\overrightarrow{HM}.$ Mà $\overrightarrow{HM}=\left(x_0-x_0;y_0-0\right)=\left(0;y_0\right)$ nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_N-x_0=k.0\\ y_N=k.y_0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_N=x_0\\ y_N=k{y}_0\end{array}\right..$

b) Khi M thay đổi trên đường tròn ta luôn có $x_0^2+y_0^2=a^2.$

Do đó $\frac{x_N^2}{a^2}+\frac{y_N^2}{{\left(ka\right)}^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{\left(k{y}_0\right)}^2}{{\left(ka\right)}^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{a^2}=\frac{x_0^2+y_0^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1.$

Vậy N luôn thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\left(ka\right)}^2}=1$.

Có a² = 36, suy ra a = 6.

Gọi toạ độ của M là (x; y).

Ta xét khoảng cách từ M đến F₁.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = 6 + $\frac{4}{6}$x = 6 + $\frac{2}{3}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –6 ≤ x ≤ 6

 $\Rightarrow -\frac{2}{3}.6\le \frac{2}{3}x\le \frac{2}{3}.6\Rightarrow -4\le \frac{2}{3}x\le 4\Rightarrow 2\le 6+\frac{2}{3}x\le 10.$

Vậy 2 ≤ MF₁ ≤ 10.

Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng 2 khi M có hoành độ bằng –6, lớn nhất bằng 10 khi M có hoành độ bằng 6.

Gọi phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Giả sử Trái Đất có toạ độ là điểm M(x; y) và tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁.

Khi đó, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời lần lượt là a + c và a – c.

Theo đề bài ta có: a + c = 152 và a – c = 147.

Suy ra a = 149,5 và c = 2,5.

Suy ra b² = a² – c² = 149,5² – 2,5² = 22344.

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng: $x+0y+\frac{a^2}{c}=0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{\left|x+0y+\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left|x+\frac{a^2}{c}\right|.$

Do MF1 = a + $\frac{c}{a}$x > 0 nên MF1 = |a + $\frac{c}{a}$x|,

suy ra $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=\frac{\left|a+\frac{c}{a}x\right|}{\left|x+\frac{a^2}{c}\right|}=\frac{\left|\frac{a^2+cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc+a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng: $x+0y-\frac{a^2}{c}=0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|x+0y-\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left|x-\frac{a^2}{c}\right|.$

Do MF2 = a – $\frac{c}{a}$x > 0 nên MF2 = |a – $\frac{c}{a}$x|,

suy ra $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}=\frac{\left|a-\frac{c}{a}x\right|}{\left|x-\frac{a^2}{c}\right|}=\frac{\left|\frac{a^2-cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc-a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

+) Có a2 = 36, b2 = 25, suy ra a = 6, b = 5.

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}.$

Tâm sai của elip là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{11}}{6},$ các đường chuẩn của elip là ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}\iff x=-\frac{36}{\sqrt{11}}$ và ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}\iff x=\frac{36}{\sqrt{11}}.$

+) Các bán kính qua tiêu của điểm $M$ thuộc elip và có hoành độ bằng –2 là:

MF1 = a + $\frac{c}{a}$x = 6 + $\frac{\sqrt{11}}{6}\left(-2\right)$ = 6 – $\frac{\sqrt{11}}{3}.$

MF2 = a – $\frac{c}{a}$x = 6 – $\frac{\sqrt{11}}{6}\left(-2\right)$ = 6 + $\frac{\sqrt{11}}{3}.$

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.

– Tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b2 = a2 – c2 = 42 – 32 = 7.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1.$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.

– Elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{2},$ suy ra $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{c}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow c=2\sqrt{3}$

$\Rightarrow b^2=a^2-c^2=4^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=4.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$

Có $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-5}=2.$

a) Giả sử A nằm phía trên còn B nằm phía dưới trục Ox.

Khi đó toạ độ của A có dạng (c; yA) hay (2; yA) với yA > 0;

toạ độ của B có dạng (c; yB) hay (2; yB) với yB > 0.

Vì A thuộc elip nên $\frac{2^2}{9}+\frac{{\left(y_A\right)}^2}{5}=1\Rightarrow \frac{{\left(y_A\right)}^2}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow y_A=\frac{5}{3}.$

Vì B thuộc elip nên $\frac{2^2}{9}+\frac{{\left(y_B\right)}^2}{5}=1\Rightarrow \frac{{\left(y_B\right)}^2}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow y_B=-\frac{5}{3}.$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(2-2\right)}^2+{\left(-\frac{5}{3}-\frac{5}{3}\right)}^2}=\frac{10}{3}.$

b) Gọi toạ độ của M là (x; y). Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF1 = a + $\frac{c}{a}$x, MF2 = a – $\frac{c}{a}$x. Do đó:

MF1 = 2MF2 $\iff a+\frac{c}{a}x=2\left(a-\frac{c}{a}x\right)\iff a=3\frac{c}{a}x\iff x=\frac{a^2}{3c}=\frac{9}{3.2}=\frac{3}{2}.$

$\Rightarrow \frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{y^2}{5}=1\Rightarrow \frac{y^2}{5}=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{15}}{2}.$

Vậy $M\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{15}}{2}\right)$ hoặc $M\left(\frac{3}{2};-\frac{\sqrt{15}}{2}\right).$

Vì đường tròn phụ có đường kính là trục nhỏ của elip nên có tâm là O(0; 0) và bán kính b.

Vậy phương trình đường tròn phụ là: $x^2+y^2=b^2.$

Có M(x0; y0) thuộc elip nên $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Xét điểm $N\left(\frac{b}{a}{x}_0;y_0\right)$, ta có: ${\left(\frac{b}{a}{x}_0\right)}^2+y_0^2=\frac{b^2}{a^2}.x_0^2+y_0^2=b^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)=b^2.1=b^2.$

Vậy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình đường tròn phụ, do đó điểm N thuộc đường tròn phụ.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip, đơn vị trên các trục là kilômét.

Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài, ta có:

– Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.10⁶ km, suy ra a = 590635.10⁶.

– Elip có yâm sai khoảng 0,244 $\Rightarrow \frac{c}{a}=\mathrm{0,244}$ $\Rightarrow$ c = 0,244.a = 144114,94.10⁶.

Giả sử sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y).

Khoảng cách giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời là MF₁.

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x, vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF₁ ≤ a + c

$\Rightarrow$ 590635.10⁶ – 144114,94.10⁶ ≤ MF₁ ≤ 590635.10⁶ + 144114,94.10⁶

$\Rightarrow$ 46520,06.10⁶ ≤ MF₁ ≤ 734749,94.10⁶

Vậy khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời lần lượt là 46520,06.10⁶ km và 734749,94.10⁶ km.