Bài tập Elip có đáp án
14 câu hỏi
Cho elip có phương trình chính tắc x2a2+y2b2=1 (H.3.1).
a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ.
b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x0; y0) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc elip.
c) Với điểm M(x0; y0) thuộc elip, hãy so sánh OM2 với a2, b2.
Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.
Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Độ dài trục lớn bằng 10, suy ra 2a = 10, suy ra a = 5.
– Elip có một tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b2 = a2 – c2 = 52 – 32 = 16.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là x225+y216=1.
(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x2 + y2 = a2 và số k (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x0; y0) thuộc đường tròn, gọi H(x0; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5).
a) Tính toạ độ của N theo x0; y0; k.
b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc x2a2+y2(ka)2=1.
a) Gọi toạ độ của N là (xN; yN). Khi đó HN→=xN−x0;yN−0=xN−x0;yN.
Vì HN = kHM nên HN→=kHM→. Mà HM→=x0−x0;y0−0=0;y0 nên xN−x0=k.0yN=k.y0⇒xN=x0yN=ky0.
b) Khi M thay đổi trên đường tròn ta luôn có x02+y02=a2.
Do đó xN2a2+yN2(ka)2=x02a2+ky02(ka)2=x02a2+y02a2=x02+y02a2=a2a2=1.
Vậy N luôn thay đổi trên elip có phương trình chính tắc x2a2+y2(ka)2=1.
Cho elip có hai tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm M(x; y).
a) Tính MF12 – MF22.
b) Khi điểm M thuộc elip (MF1 + MF2 = 2a), tính MF1 – MF2, MF1, MF2.
Cho elip x236+y220=1, điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Có a2 = 36, suy ra a = 6.
c=a2−b2=36−20=16=4.
Gọi toạ độ của M là (x; y).
Ta xét khoảng cách từ M đến F1.
Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF1 = 6 + 46x = 6 + 23x.
Mặt khác, vì M thuộc elip nên –6 ≤ x ≤ 6
⇒−23.6≤23x≤23.6⇒−4≤23x≤4⇒2≤6+23x≤10.
Vậy 2 ≤ MF1 ≤ 10.
Vậy độ dài MF1 nhỏ nhất bằng 2 khi M có hoành độ bằng –6, lớn nhất bằng 10 khi M có hoành độ bằng 6.
Với thông tin được đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 106 km trên thực tế.
Gọi phương trình chính tắc của elip là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).
Giả sử Trái Đất có toạ độ là điểm M(x; y) và tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1.
Khi đó, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời lần lượt là a + c và a – c.
Theo đề bài ta có: a + c = 152 và a – c = 147.
Suy ra a = 149,5 và c = 2,5.
Suy ra b2 = a2 – c2 = 149,52 – 2,52 = 22344.
Vậy phương trình chính tắc của elip là x222350,25+y222344=1.
Cho elip có phương trình chính tắc x2a2+y2b2=1, với các tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0), ở đây c=a2−b2 (H.3.6). Xét các đường thẳng Δ1:x=−a2c và Δ2:x=a2c. Với điểm M(x; y) thuộc elip, tính các tỉ số MF1dM,Δ1 và MF2dM,Δ2 theo a và c.
+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng: x+0y+a2c=0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: dM,Δ1=x+0y+a2c12+02=x+a2c.
Do MF1 = a + cax > 0 nên MF1 = |a + cax|,
suy ra MF1dM,Δ1=a+caxx+a2c=a2+cxaxc+a2c=ca=ca.
+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ2 ở dạng: x+0y−a2c=0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: dM,Δ2=x+0y−a2c12+02=x−a2c.
Do MF2 = a – cax > 0 nên MF2 = |a – cax|,
suy ra MF2dM,Δ2=a−caxx−a2c=a2−cxaxc−a2c=ca=ca.
Cho elip có phương trình chính tắc x236+y225=1. Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip. Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip và có hoành độ bằng –2.
+) Có a2 = 36, b2 = 25, suy ra a = 6, b = 5.
c=a2−b2=36−25=11.
Tâm sai của elip là e = ca=116, các đường chuẩn của elip là Δ1:x=−a2c⇔x=−3611 và Δ2:x=a2c⇔x=3611.
+) Các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip và có hoành độ bằng –2 là:
MF1 = a + cax = 6 + 116−2 = 6 – 113.
MF2 = a – cax = 6 – 116−2 = 6 + 113.
Cho elip x212+y24=1.
a) Xác định đỉnh và độ dài các trục của elip.
b) Xác định tâm sai và các đường chuẩn của elip.
c) Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip, biết điểm M có hoành độ bằng –3.
Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6;
b) Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai bằng 32.
a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.
– Tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b2 = a2 – c2 = 42 – 32 = 7.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là x216+y27=1.
b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Độ dài trục lớn bằng 8, suy ra 2a = 8, suy ra a = 4.
– Elip có tâm sai bằng 32, suy ra ca=32⇒c4=32⇒c=23
⇒b2=a2−c2=42−232=4.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là x216+y24=1.
Cho elip x29+y25=1.
a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
b)Tìm điểm M trên elip sao cho MF1 = 2MF2 với F1 và F2 là hai tiêu điểm của elip (hoành độ của F1 âm).
Có c=a2−b2=9−5=2.
a) Giả sử A nằm phía trên còn B nằm phía dưới trục Ox.
Khi đó toạ độ của A có dạng (c; yA) hay (2; yA) với yA > 0;
toạ độ của B có dạng (c; yB) hay (2; yB) với yB > 0.
Vì A thuộc elip nên 229+yA25=1⇒yA25=59⇒yA=53.
Vì B thuộc elip nên 229+yB25=1⇒yB25=59⇒yB=−53.
⇒AB=2−22+−53−532=103.
b) Gọi toạ độ của M là (x; y). Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:
MF1 = a + cax, MF2 = a – cax. Do đó:
MF1 = 2MF2 ⇔a+cax=2a−cax⇔a=3cax⇔x=a23c=93.2=32.
⇒3229+y25=1⇒14+y25=1⇒y25=34⇒y=±152.
Vậy M32;152 hoặc M32;−152.
Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8).
Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip x2a2+y2b2=1 và chứng minh rằng, nếu điểm M(x0; y0) thuộc elip thì điểm Nbax0;y0 thuộc đường tròn phụ.
Vì đường tròn phụ có đường kính là trục nhỏ của elip nên có tâm là O(0; 0) và bán kính b.
Vậy phương trình đường tròn phụ là: x2+y2=b2.
Có M(x0; y0) thuộc elip nên x02a2+y02b2=1.
Xét điểm Nbax0;y0, ta có: bax02+y02=b2a2.x02+y02=b2x02a2+y02b2=b2.1=b2.
Vậy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình đường tròn phụ, do đó điểm N thuộc đường tròn phụ.
Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương "dẹt" hơn so với quỹ đạo của tám hành tinh trong hệ Mặt Trời (xem Em có biết? ở cuối bài). Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.106 km. Tìm khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời (tiêu điểm của quỹ đạo) (Theo: nssdc.gsfc.nasa.gov).
Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 của elip, đơn vị trên các trục là kilômét.
Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).
Theo đề bài, ta có:
– Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.106 km, suy ra a = 590635.106.
– Elip có yâm sai khoảng 0,244 ⇒ca=0,244 ⇒ c = 0,244.a = 144114,94.106.
Giả sử sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y).
Khoảng cách giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời là MF1.
MF1 = a + cax, vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF1 ≤ a + c
⇒ 590635.106 – 144114,94.106 ≤ MF1 ≤ 590635.106 + 144114,94.106
⇒ 46520,06.106 ≤ MF1 ≤ 734749,94.106
Vậy khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời lần lượt là 46520,06.106 km và 734749,94.106 km.
Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9).
Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2 m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.
