Bài tập: Đường trung bình Của tam giác, của hình thang

a) Mx đi qua trung điểm M của BC và song song với AC. Suy ra Mx đi qua trung điểm E của AB (theo Định lí 1).

Tương tự, ta được F cũng là trung điểm của AC. Khi đó EF trở thành đường trung bình của tam giác ABC;

b) Do ME và MF cũng là đường trung bình nên có ME = MF = AE = AF. Suy ra AM là đường trung trực của EF.

a) Ta có EM là đường trung bình của tam giác BCD Þ ĐPCM.

b) DC đi qua trung điểm D của AE và song song với EM Þ DC đi qua trung điểm I của AM.

c) Vì DI là đường trung bình của tam giác AEM nên DI = (1/2) EM.(1)

Tương tự, ta được: EM = (1/2)DC (2)

Từ (1) và (2) Þ DC = 4DI

a) Ta có È là đường trung bình của hình thang ABCD.

Þ EF//AB.

Suy ra EF ^ AD

Khi đó EF vừa trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác AFD Þ ĐPCM.

b) Tam giác AFD cân tại F nên $\widehat{EAF}=\widehat{EDF}$

Suy ra $\widehat{FAB}=\widehat{CDF}$

a)  Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD.

Ta có: $\widehat{ADE}=\frac{1}{2}\widehat{D}$ ngoài, $\widehat{DAE}=\frac{1}{2}\widehat{A}$ ngoài.

Mà $\widehat{A}$ ngoài + $\widehat{D}$ ngoài = 180⁰ (do AB//CD)

$\Rightarrow \widehat{ADE}+\widehat{DAE}={90}^0$, tức là tam giác ADE vuông tại E.

Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao) và E là trung điểm của AM.

Chứng minh tương tự, ta được F olaf trung điểm của BN.

Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM

b) Từ ý a), $\text{EF}=\frac{1}{2}(AB+BC+CD+DA)$

Lưu ý: Có thể sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh

a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABD

=> MN//AB

Tương tự, ta được MP//CD và  MQ//AB, CD.

Như vậy, MN, MP, MQ cùng song song AB Þ ĐPCM.

b) Ta có: 

$\frac{1}{2}|DC-AB| = \frac{1}{2}|2AM-2MN| = |MP - MN| = NP$

a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của AE, AF với CD.

Chứng minh tương tự 2B.

b) Ta có:

$MN=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}(a+c)$ 

Lại có:

c = CD = CQ + QD = BC + QD = b + QD (do tam giác BCQ cân) Þ QD = c - b.

Trong hình thang ABQD có M là trung điểm của AD và MF//DQ nên chứng minh được F là trung điểm của BQ, từ đó chứng minh MF là đường trung bình của hình thang ABQD.

Vì MF là đường trung bình của hình thang ABQD.

Þ $MF=\frac{1}{2}(AB+DQ)=\frac{1}{2}(a+c-b)$ 

Mặt khác, FN  là đường trung bình của tam giác BCQ, tức là $FN=\frac{1}{2}CQ=\frac{1}{2}b.$

a) Chứng minh được tam giác ADH và AEH cân tại A.

Khi đó: $\widehat{DAP}=\widehat{HAP,}\widehat{EAQ}=\widehat{HAQ}$ và AD = AH = AE.

Từ đó, suy ra được A, A, E thẳng hàng và A là trung điểm DE.

b) PQ là đường trung bình của tam giác DHE Þ ĐPCM.

c) Có AH = AD = AE = 0.5.DE, mà PQ = 0.5.DE Þ AH = PQ.

a) Theo định lý 1, trong tam giác BDC có: M là trung điểm của BC, ME//BD Þ E là trung điểm của DC Þ DE = EC = 0.5.DC.

Suy ra AD = DE = EC.

b) Từ ý a) D là trung điểm của AE. Suy ra ID là đường trung bình của tam giác AME hay IA = IM.

Vậy S_AIB= S_IBM.

c) Hạ hai đường cao AH và IK của tam giác ABC và IBC

Chứng minh được IK là đường trung bình của tam giác AHM Þ IK = 0.5. AH.

Xét hai tam giác ABC và IBC có chung đáy BC và hai đường cao AH = 2IK Þ ĐPCM.

a) HS tự chứng minh.

b) Xét tam giác

$∆EFK:EF\le EK+KF=1/2 CD+1/2 AB=1/2(AB+CD);$

c) Để E, F, K thẳng hàng, khi đó EF đồng thời song song với AB và CD. Tức là tứ giác ABCD là hình thang (AB//CD)

Theo định lý 4, 

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu của E, F trên đường thẳng m.

Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F

$\Rightarrow GG\text{'}=\frac{1}{2}\text{EE' +FF').}$ 

Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bình của hình thang AA'C'C và BB'D'D.

$\Rightarrow \text{EE}\text{'}=\frac{1}{2}\text{(AA' +CC') và FF}\text{'}=\frac{1}{2}\text{(BB' +DD')}$ 

Thay vào (1) ta được ĐPCM