Bài tập: Đối xứng trục
8 câu hỏi
Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH. Lấy các đi K theo thứ tự trên AB, AC sao cho AI = AK. Chứng minh hai điếm I, K đối xứng với nhau qua AH
Sử dụng tính chất của tam giác cân chỉ ra được AH là phân giác của góc A. Tiếp tục chỉ ra được AH là đường trung trực của IK. Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Cho tam giác cân ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Chứng minh rằng cạnh AB đối xứng vói AC qua AM
Chứng minh được B đối xứng với C qua AM, A đối xứng với chính A qua AM. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cho tam giác vuông ABC ( = 90°). Lấy M bất kì trên cạnh Gọi E, F lần lượt là các điếm đối xứng với M qua AB và AC. Chứng minh: A là trung điểm của EF.
Sử dụng tính chất đối xứng trục => AE = AF (=AM) (1).
Sử dụng tính chất của tam giác cân . Từ đó chỉ ra được => E, A, F thằng hàng (2).
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B (như hình vẽ). Tìm vị điểm C trên d để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất
. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d Þ A' cố định.
Vì C Î d Þ CA = CA' (tính chất đối xứng trục). Ta có:
PDABC = AB + AC + BC
= AB + (CA' + CB) ≥ AB + BA' (không đổi. Dấu "=" xảy ra tức là chu vi tam giác nhỏ nhất khi C là giao điểm của d và BA'
Cho tam giác ABC có AB < AC, gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ K đối xứng với A qua d.
a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua đường thẳng d; tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AC qua đường thẳng d.
b) Tứ giác AKCB là hình gì?
a) Đoạn thẳng đối xứng với AB, AC qua đường thẳng d lần lượt là KC, KB.
b) ta có AK//BC (vì cùng vuông góc với d) và AC = KB (tính chất đối xứng trục) Þ tứ giác AKCB là hình thang cân
Cho tam giác ABC, có = 60°, trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.
a) Chứng minh ∆BHC = ∆BMC.
b) Tính
a) Chứng minh được DBHC = DBMC (c.c.c).
b) Gọi {C'} = CH Ç AB. Sử dụng định lý tổng 4 góc trong tứ giác AB'HC' ta tính được
Ta có (đối đỉnh) và
Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh C. Chứng minh AC + CB < AM + MB
Trên tia đối của tia CB lấy điểm A' sao cho CA' = CA. Sử dụng tính chất của tam giác cân ta có được CM là đường trung trực của AA' Þ MA = MA'. Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác A'MB ta có: CA + CB = CA' + CB = BA' <MA' + MB Þ CA + CB < MA + MB.
Cho tam giác nhọn ABC. Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng vói M qua AB và AC. Gọi I, K là giao điểm của EF với AB và AC.
a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của .
b) Khi M cố định, tìm vị trí điểm P Î AB và Q Î AC để chu vi tam giác MPQ đạt giá trị nhỏ nhất
a) Sử dụng tính chất đối xứng trục kết hợp với chứng minh tam giác bằng nhau ta có được (Tính chất tam giác cân)
Þ ĐPCM.
b) Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có PM = PE; QM = QF. Theo bất đẳng thức trong tam giacs MPQ, ta có:
PDMPQ = MP + PQ + QM= (PE + PQ) + QF ≥ EQ + QF ≥ EF.
Do M cố định, tam giác ABC cố định Þ E, F, I, K cố định. Vậy (PDMPQ)min = EF Û P º I, Q º K
