Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 3: Tổng ba góc của một tam giác có đáp án

+ Hình 1. $∆ABC$ có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tính chất)

            $41°+2x°+28°=180°\iff x°=37°$.

+ Hình 2. $∆MNP$ có $\widehat{MPx}=\widehat{M}+\widehat{N}$ (góc ngoài tam giác)

            $126°=3x°+4x°\iff x°=18°$.

+ Hình 3. $∆DEF$ có $\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=180°$ (tính chất)

            $x°+70°+x°-42°=180°\iff x°=76°$.

* Tìm cách giải. Đề bài cho số đo $\widehat{A};\widehat{B}$ nên hiển nhiên tính được số đo góc C. Dựa theo kết luận của bài toán thì chúng ta chỉ cần tính số đo góc BCD. Khi tính toán số đo góc, chúng ta lưu ý giả thiết có yếu tố tia phân giác.

* Trình bày lời giải.

$∆ABC$ có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tính chất)

$80°+60°+\widehat{C}=180°;\widehat{C}=40°$.

$∆ABC$ có $\widehat{ABx}=\widehat{A}+\widehat{C}=120°$

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{1}{2}\widehat{ABx}=60°$

Ta có: $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\frac{1}{2}\widehat{C}=20°$.

$∆BCD$ có: $\widehat{BDC}+\widehat{C_1}+\widehat{CBD}=180°$

                  $\widehat{BDC}+20°+60°+60°=180°\Rightarrow \widehat{BDC}=40°$

  Do đó $\widehat{BDC}=\widehat{C}$.

* Tìm cách giải. Chúng ta nhận thấy $\widehat{BKC}$ là góc của tam giác BKG; CKH nên cần phải ghép vào hai tam giác ấy. Khai thác yêu cầu của bài toán (liên quan tới góc $\widehat{A};\widehat{C}$) đồng thời để vận dụng yếu tố tia phân giác của giả thiết, chúng ta cần xét các cặp tam giác $\Delta KGB,\Delta AGC$ và cặp tam giác $\Delta KHC,\Delta DHB$.

* Trình bày lời giải.

Gọi G là giao điểm CK và AE và H là giao điểm BK và DE.

Xét $∆KGB$ và $∆AGC$ có:

$\widehat{KGB}=\widehat{AGC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{K}+\widehat{B_1}=\widehat{A}+\widehat{C_1}\left(1\right)$

Xét $∆KHC$ và $∆DHB$ có:

$\widehat{KHC}=\widehat{BHD}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{K}+\widehat{C_2}=\widehat{D}+\widehat{B_2}\left(2\right)$

Từ (1) và (2), kết hợp với $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$; $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\Rightarrow 2\widehat{K}=\widehat{A}+\widehat{D}$

$\Rightarrow \widehat{K}=\frac{\widehat{A}+\widehat{D}}{2}$.

a) $∆ABC$ có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ nên $\widehat{B}+\widehat{C}=100°$.

$\widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\frac{1}{2}.\widehat{B}+\frac{1}{2}.\widehat{C}$

$\widehat{B_2}+\widehat{C_2}=50°$. $∆BIC$ có $\widehat{B_2}+\widehat{C_2}+\widehat{BIC}=180°$ nên $\widehat{BIC}=130°$.

b) $∆BCD$ có $\widehat{BDC}+\widehat{B_2}+\widehat{C}=180°$ mà $\widehat{BDC}=84°$ nên $\widehat{B_2}+\widehat{C}=96°$.

   $∆BEC$ có $\widehat{BEC}+\widehat{B}+\widehat{C_2}=180°$ mà $\widehat{BEC}=96°$ nên $\widehat{B}+\widehat{C_2}=84°$.

Suy ra $\widehat{B_2}+\widehat{B}+\widehat{C_2}+\widehat{C}=96°+84°$

Do đó $\frac{3}{2}.\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180°$

$\widehat{B}+\widehat{C}=120°$ nên $\widehat{A}=60°$.

Nhận xét:

- Nếu $\widehat{A}\ne 80°$ thì ta luôn chứng tỏ được $\widehat{BIC}=90°+\frac{\widehat{A}}{2}\left(*\right)$.

- Để tính $\widehat{A}$ chúng ta cần tìm góc $\widehat{B}+\widehat{C}$ hoặc $\widehat{B_2}+\widehat{C_2}$ mà không cần tính từng góc B và góc C. Ngoài ra dựa vào công thức (*) ta có thể tính $\widehat{BIC}$ bằng cách xét $∆BIE$ và $∆CID$ để tìm được:

$\widehat{B_1}+\widehat{EIB}+\widehat{DIC}+\widehat{C_1}=84°+96°$

Và lưu ý: $\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=\widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\widehat{EIB}=\widehat{DIC}$ ta tính $\widehat{EIB}$.

$\Delta ABH;\Delta ABC$vuông nên $\widehat{BAH}=\widehat{HCA}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$).

Mặt khác $\widehat{A_1}=\frac{1}{2}.\widehat{BAH}$; $\widehat{C_1}=\frac{1}{2}\widehat{HAC}$ do đó $\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$.

Ta có: $\widehat{A_1}+\widehat{KAC}=90°$

$\Rightarrow \widehat{C_1}+\widehat{KAC}=90°$

Suy ra $∆KAC$ vuông tại K.

Vậy $AK\perp KC$.

* Nhận xét:

Qua bài ta nhận thấy có thêm một dấu hiệu nhận biết tam giác vuông là chứng minh tam giác có tổng hai góc bằng $90°$.

Hình 1. $∆ABC$ có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ 

            $56°+x°+12°+x°=180°\iff x°=56°$.

              - Hình 2. $∆MNP$ vuông tại  $M\Rightarrow \widehat{N}+\widehat{P}=90°$ 

            $2x°+x°-15°=90°\iff x°=35°$.

- Hình 3. $∆DEF$ có $\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=180°$ =>$x°+3x°-25°+x°+10°=180°\iff x°=39°$.

Ta có: $\widehat{A_2}=\widehat{A_1}=45°$ (đối đỉnh).

Ta có $\widehat{B_2}+\widehat{B_1}=180°\Rightarrow \widehat{B_2}=50°$.                                       

$∆ABC$ có $\widehat{C_1}=\widehat{A_2}+\widehat{B_2}$ (góc ngoài của tam giác) suy ra: $\widehat{C_2}=95°$.

Đặt số đo góc ngoài đỉnh A; B; C lần lượt là x; y; z. Theo đầu bài, ta có: $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ và $x+y+z=360°$.

Giải ra, ta được: $x=80°$; $y=120°$; $z=160°$.

Từ đó suy ra các góc trong đỉnh A; B; C tương ứng là $100°\mathrm{,60}°\mathrm{,20}°$.

Do đó tỉ lệ ba góc trong là: $5:3:1$.

a) Ta có $\widehat{A}=2.\widehat{B}$; $\widehat{B}=3.\widehat{C}\Rightarrow \widehat{A}=6\widehat{C}$.

$∆ABC$ có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\Rightarrow 6.\widehat{C}+3\widehat{C}+\widehat{C}=180°$

b) Ta có $\widehat{ACx}+\widehat{C_1}=180°$ (hai góc kề bù)

$\widehat{ACx}+18°=180°\Rightarrow \widehat{ACx}=162°$

Ta có: $\widehat{C_2}=\widehat{C_3}=\frac{1}{2}\widehat{ACx}=81°$.

$∆BCE$ có $\widehat{E}+\widehat{B}+\widehat{BCE}=180°;\widehat{E}+54°+18°+81°=180°\Rightarrow \widehat{E}=27°$ hay $\widehat{AEC}=27°$.

a) $∆ABD$ có $\widehat{A_1}+\widehat{B}+\widehat{ADB}=180°$;

$∆ACD$ có $\widehat{A_2}+\widehat{C}+\widehat{ADC}=180°$;

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ nên $\widehat{C}+\widehat{ADC}=\widehat{B}+\widehat{ADB}\Rightarrow \widehat{ADC}-\widehat{ADB}=\widehat{B}-\widehat{C}$.

b) $∆ABC$có $\widehat{BAx}=\widehat{B}+\widehat{C}$ (góc ngoài tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A_3}=\widehat{A_4}=\frac{1}{2}\widehat{BAX}=\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}$

$∆ACE$ có: $\widehat{A_4}=\widehat{E}+\widehat{C}$ (góc ngoài)  $\Rightarrow \widehat{E}=\widehat{A_4}-\widehat{C}\Rightarrow \widehat{AEB}=\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}-\widehat{C}$ hay $\widehat{AEB}=\frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}$.

$∆ACD$có $\widehat{D_2}=\widehat{B}+\widehat{A_1}$(góc ngoài tam giác)

$∆ABD$ có $\widehat{D_1}=\widehat{C}+\widehat{A_2}$ (góc ngoài tam giác) mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ 

nên $\widehat{D_2}-\widehat{D_1}=\widehat{B}-\widehat{C}$ 

$\Rightarrow \widehat{D_2}-\widehat{D_1}=18°$ mà $\widehat{D_2}+\widehat{D_1}=180°$ 

nên $\widehat{D_2}=\frac{180°+18°}{2}=99°$; $\widehat{D_1}=\frac{180°-18°}{2}=81°$.

a) Ta có $\widehat{ADB}=85°\Rightarrow \widehat{ADC}=95°$.

$∆ABD$ có $\widehat{A_1}+\widehat{B}+\widehat{ADB}=180°$;

$∆ACD$ có $\widehat{A_2}+\widehat{C}+\widehat{ADC}=180°$;

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ nên $\widehat{C}+\widehat{ADC}=\widehat{B}+\widehat{ADB}$

$\Rightarrow \widehat{ADC}-\widehat{ADB}=\widehat{B}-\widehat{C}$.

Vậy $\widehat{B}-\widehat{C}=95°-85°=10°$.

b) $4.\widehat{B}=5.\widehat{C}\Rightarrow \frac{\widehat{B}}{5}=\frac{\widehat{C}}{4}$.

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có: $\frac{\widehat{B}}{5}=\frac{\widehat{C}}{4}=\frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{5-4}=\frac{10°}{1}=10°$.

Suy ra: $\widehat{B}=50°;\widehat{C}=40°$.

a) $∆ABO$ có $\widehat{O_1}=\widehat{A_1}+\widehat{ABO}$ (góc ngoài tam giác).

$∆ACO$ có $\widehat{O_2}=\widehat{A_2}+\widehat{ACO}$ (góc ngoài tam giác).

$\Rightarrow \widehat{O_1}+\widehat{O_2}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{ABO}+\widehat{ACO}$ Hay$\widehat{BOC}=\widehat{A}+\widehat{ABO}+\widehat{ACO}$.

b) Từ $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90°-\frac{\widehat{A}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}\Rightarrow \widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2}$ mà BO là tia phân giác của $\widehat{B}$ nên $\widehat{B_1}=\frac{\widehat{B}}{2}$ suy ra $\widehat{C_2}=\frac{\widehat{C}}{2}$; hay CO là tia phân giác của góc $\widehat{C}$.

b) $DE\text{ // }BC\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{C}$ (góc đồng vị) và $\widehat{EDB}=\widehat{DBC}$ (góc so le trong).

Tia DE là tia phân giác của $\widehat{ADB}\iff \widehat{ADE}=\widehat{EDB}\iff \widehat{C}=\widehat{DBC}$ mà $\widehat{C}=\frac{1}{2}\widehat{B}$ nên $\widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{B}$ Û BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$.

Vậy khi D là giao điểm của tia phân giác $\widehat{B}$ và AC thì DE là tia phân giác của $\widehat{ADB}$.

 Giả sử cả ba góc ngoài ở ba đỉnh đều lớn hơn $120°$ suy ra mỗi góc trong đều nhỏ hơn $60°$

Vậy tổng ba góc trong của tam giác nhỏ hơn $180°$, vô lí. Do đó tồn tại một góc ngoài có số đo không lớn hơn $120°$.

a) Góc BDC là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ACD nên $\widehat{BDC}>\widehat{A}=90°$; $90°<\widehat{BDC}<180°\Rightarrow \widehat{BDC}$ là góc tù.

b) $\widehat{BDC}=\widehat{A}+\widehat{ACD}$ (góc ngoài tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACD}=15°$ $\Rightarrow \widehat{ACB}=30°\Rightarrow \widehat{B}=60°$.

Xét $∆ABI$ có $\widehat{A}+\widehat{B}=180°-\widehat{AIB}$.

Xét $∆CDH$ có $\widehat{C}+\widehat{D}=180°-\widehat{CHD}$.

Xét $∆EFK$ có $\widehat{E}+\widehat{F}=180°-\widehat{EKF}$.

Suy ra:$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=540°-\left(\widehat{AIB}+\widehat{CHD}+\widehat{EKF}\right)$

$=540°-\left(\widehat{KIH}+\widehat{IHK}+\widehat{IKH}\right)=540°-180°=360°$.