Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 3: Tổng ba góc của một tam giác có đáp án
24 câu hỏi
Tìm x, trong hình vẽ bên:
+ Hình 1. ∆ABC có A^+B^+C^=180° (tính chất)
41°+2x°+28°=180°⇔x°=37°.
+ Hình 2. ∆MNP có MPx^=M^+N^ (góc ngoài tam giác)
126°=3x°+4x°⇔x°=18°.
+ Hình 3. ∆DEF có D^+E^+F^=180° (tính chất)
x°+70°+x°−42°=180°⇔x°=76°.
Cho tam giác ABC có A^=80°, B^=60°. Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D. Chứng minh rằng BDC^=C^.
* Tìm cách giải. Đề bài cho số đo A^; B^ nên hiển nhiên tính được số đo góc C. Dựa theo kết luận của bài toán thì chúng ta chỉ cần tính số đo góc BCD. Khi tính toán số đo góc, chúng ta lưu ý giả thiết có yếu tố tia phân giác.
* Trình bày lời giải.
∆ABC có A^+B^+C^=180° (tính chất)
80°+60°+C^=180°; C^=40°.
∆ABC có ABx^=A^+C^=120°
⇒B1^=B2^=12ABx^=60°
Ta có: C1^=C2^=12C^=20°.
∆BCD có: BDC^+C1^+CBD^=180°
BDC^+20°+60°+60°=180°⇒BDC^=40°
Do đó BDC^=C^.
Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Các tia phân giác ACE^; DBE^ cắt nhau ở K. Chứng minh: BKC^=BAC^+BDC^2.
* Tìm cách giải. Chúng ta nhận thấy BKC^ là góc của tam giác BKG; CKH nên cần phải ghép vào hai tam giác ấy. Khai thác yêu cầu của bài toán (liên quan tới góc A ^; C^) đồng thời để vận dụng yếu tố tia phân giác của giả thiết, chúng ta cần xét các cặp tam giác ΔKGB, ΔAGC và cặp tam giác ΔKHC, ΔDHB.
* Trình bày lời giải.
Gọi G là giao điểm CK và AE và H là giao điểm BK và DE.
Xét ∆KGB và ∆AGC có:
KGB^=AGC^ (đối đỉnh)
⇒K^+B1^=A ^+C1^ 1
Xét ∆KHC và ∆DHB có:
KHC^=BHD^ (đối đỉnh)
⇒K^+C2^=D^+B2^ 2
Từ (1) và (2), kết hợp với B1^=B2^; C1^=C2^⇒2K^=A ^+D^
⇒K^=A ^+D^2.
Cho hình vẽ bên, biết rằng BD và CE là các tia phân giác của góc B, góc C.
a) Nếu A ^=80°, tính BIC^.
a) ∆ABC có A ^+B^+C^=180° nên B^+C^=100°.
B2^+C2^=12.B^+12.C^
B2^+C2^=50°. ∆BIC có B2^+C2^+BIC^=180° nên BIC^=130°.
b) Nếu BDC^=84°; BEC^=96°, tính A^.
b) ∆BCD có BDC^+B2^+C^=180° mà BDC^=84° nên B2^+C^=96°.
∆BEC có BEC^+B^+C2^=180° mà BEC^=96° nên B^+C2^=84°.
Suy ra B2^+B^+C2^+C^=96°+84°
Do đó 32.B^+C^=180°
B^+C^=120° nên A^=60°.
Nhận xét:
- Nếu A^≠80° thì ta luôn chứng tỏ được BIC^=90°+A^2 *.
- Để tính A^ chúng ta cần tìm góc B^+C^ hoặc B2^+C2^ mà không cần tính từng góc B và góc C. Ngoài ra dựa vào công thức (*) ta có thể tính BIC^ bằng cách xét ∆BIE và ∆CID để tìm được:
B1^+EIB^+DIC^+C1^=84°+96°
Và lưu ý: B1^+C1^=B2^+C2^=EIB^=DIC^ ta tính EIB^.
Cho ∆ABC có A^=90°. Kẻ AH vuông góc với BCH∈BC. Các tia phân giác góc C và góc BAH cắt nhau tại K. Chứng minh rằng AK⊥CK.
ΔABH; ΔABCvuông nên BAH^=HCA^ (cùng phụ với ABC^).
Mặt khác A1^=12.BAH^; C1^=12HAC^ do đó A1^=C1^.
Ta có: A1^+KAC^=90°
⇒C1^+KAC^=90°
Suy ra ∆KAC vuông tại K.
Vậy AK⊥KC.
* Nhận xét:
Qua bài ta nhận thấy có thêm một dấu hiệu nhận biết tam giác vuông là chứng minh tam giác có tổng hai góc bằng 90°.
Tìm x, trong các hình vẽ sau:
Hình 1. ∆ABC có A^+B^+C^=180°
56°+x°+12°+x°=180°⇔x°=56°.
- Hình 2. ∆MNP vuông tại M⇒N^+P^=90°
2x°+x°−15°=90°⇔x°=35°.
- Hình 3. ∆DEF có D^+E^+F^=180° =>x°+3x°−25°+x°+10°=180°⇔x°=39°.
Cho hình vẽ bên. Biết rằng A1^=45°; B1^=130°. Tính C1^.
Ta có: A2^=A1^=45° (đối đỉnh).
Ta có B2^+B1^=180°⇒B2^=50°.
∆ABC có C1^=A2^+B2^ (góc ngoài của tam giác) suy ra: C2^=95°.
Các góc ngoài đỉnh A, B, C tỉ lệ với 2; 3; 4. Tính tỉ lệ ba góc trong của tam giác đó.
Đặt số đo góc ngoài đỉnh A; B; C lần lượt là x; y; z. Theo đầu bài, ta có: x2=y3=z4 và x+y+z=360°.
Giải ra, ta được: x=80°; y=120°; z=160°.
Từ đó suy ra các góc trong đỉnh A; B; C tương ứng là 100°,60°,20°.
Do đó tỉ lệ ba góc trong là: 5:3:1.
Cho tam giác ABC có A^=2.B^ và B^=3.C^.
a) Tính các góc A; B; C?
a) Ta có A^=2.B^; B^=3.C^⇒A^=6C^.
∆ABC có A^+B^+C^=180°⇒6.C^+3C^+C^=180°
⇒C^=18°; B^=54°; A^=108°.
b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C. Tính góc AEC?
b) Ta có ACx^+C1^=180° (hai góc kề bù)
ACx^+18°=180°⇒ACx^=162°
Ta có: C2^=C3^=12ACx^=81°.
∆BCE có E^+B^+BCE^=180°; E^+54°+18°+81°=180°⇒E^=27° hay AEC^=27°.
Tam giác ABC có B^>C^. Tia phân giác BAC^ cắt BC tại D.
a) Chứng minh ADC^−ADB^=B^−C^.
a) ∆ABD có A1^+B^+ADB^=180°;
∆ACD có A2^+C^+ADC^=180°;
Mà A1^=A2^ nên C^+ADC^=B^+ADB^⇒ADC^−ADB^=B^−C^.
b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh rằng AEB^=B^−C^2.
b) ∆ABCcó BAx^=B^+C^ (góc ngoài tam giác)
⇒A3^=A4^=12BAX^=B^+C^2
∆ACE có: A4^=E^+C^ (góc ngoài) ⇒E^=A4^−C^⇒AEB^=B^+C^2−C^ hay AEB^=B^−C^2.
Cho tam giác ABC có B^−C^=18°. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Tính số đó góc ADC? Góc ADB?
∆ACDcó D2^=B^+A1^(góc ngoài tam giác)
∆ABD có D1^=C^+A2^ (góc ngoài tam giác) mà A1^=A2^
nên D2^−D1^=B^−C^
⇒D2^−D1^=18° mà D2^+D1^=180°
nên D2^=180°+18°2=99°; D1^=180°−18°2=81°.
Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Biết ADB^=85°.
a) Tính B^−C^.
a) Ta có ADB^=85°⇒ADC^=95°.
∆ABD có A1^+B^+ADB^=180°;
∆ACD có A2^+C^+ADC^=180°;
Mà A1^=A2^ nên C^+ADC^=B^+ADB^
⇒ADC^−ADB^=B^−C^.
Vậy B^−C^=95°−85°=10°.
b) Tính các góc của tam giác ABC nếu 4.B^=5.C^.
b) 4.B^=5.C^⇒B^5=C^4.
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có: B^5=C^4=B^−C^5−4=10°1=10°.
Suy ra: B^=50°; C^=40°.
Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.
a) Chứng minh rằng BOC^=A^+ABO^+ACO^.
a) ∆ABO có O1^=A1^+ABO^ (góc ngoài tam giác).
∆ACO có O2^=A2^+ACO^ (góc ngoài tam giác).
⇒O1^+O2^=A1^+A2^+ABO^+ACO^ HayBOC^=A^+ABO^+ACO^.
b) Biết ABO^+ACO^=90°−A^2 và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh rằng tia CO là tia phân giác của góc C.
b) Từ ABO^+ACO^=90°−A^2
⇒B2^+C2^=180°−A^2⇒B2^+C2^=B^+C^2
⇒B2^+C2^=B^2+C^2 mà BO là tia phân giác của B^ nên B1^=B^2 suy ra C2^=C^2; hay CO là tia phân giác của góc C^.
Cho tam giác ABC có A^=180°−3C^.
a) Chứng minh rằng B^=2.C^.
a) Từ: A^=180°−3.C^⇒A^=A^+B^+C^−3.C^suy ra B^=2.C^
b) Từ một điểm D trên cạnh AC vẽ DE//BCE∈AB. Hãy xác định vị trí của D cho tia DE là tia phân giác của góc ADB^.
b) DE // BC⇒ADE^=C^ (góc đồng vị) và EDB^=DBC^ (góc so le trong).
Tia DE là tia phân giác của ADB^⇔ADE^=EDB^⇔C^=DBC^ mà C^=12B^ nên DBC^=12B^ Û BD là tia phân giác của ABC^.
Vậy khi D là giao điểm của tia phân giác B^ và AC thì DE là tia phân giác của ADB^.
Chứng minh với mỗi tam giác bao giờ cũng tồn tại một góc ngoài không lớn hơn 120°.
Giả sử cả ba góc ngoài ở ba đỉnh đều lớn hơn 120° suy ra mỗi góc trong đều nhỏ hơn 60°
Vậy tổng ba góc trong của tam giác nhỏ hơn 180°, vô lí. Do đó tồn tại một góc ngoài có số đo không lớn hơn 120°.
Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Tia phân giác của C^ cắt AB tại D.
a) Chứng minh rằng góc BDC là góc tù.
a) Góc BDC là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ACD nên BDC^>A^=90°; 90°<BDC^<180°⇒BDC^ là góc tù.
b) Giả sự BDC^=105°. Tính số đo góc B.
b) BDC^=A^+ACD^ (góc ngoài tam giác)
⇒ACD^=15° ⇒ACB^=30°⇒B^=60°.
Cho hình vẽ bên.Tính tổng A^+B^+C^+D^+E^+F^
Xét ∆ABI có A^+B^=180°−AIB^.
Xét ∆CDH có C^+D^=180°−CHD^.
Xét ∆EFK có E^+F^=180°−EKF^.
Suy ra:A^+B^+C^+D^+E^+F^=540°−AIB^+CHD^+EKF^
=540°−KIH^+IHK^+IKH^=540°−180°=360°.