Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 2: Tỉ lệ thức. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có đáp án

Giải

Tìm cách giải. Để tìm x,y trong dãy tỉ số bằng nhau và biết thêm điều kiện rằng buộc. Ta có thể:

• Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
• Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
• Cách 3. Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)

ü  Trình bày lời giải

+ Cách 1 : (Đặt ẩn phụ)

Đặt \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k\] suy ra : \[x = 3k,y = 4k\]

Theo giả thiết : \[2x + 3y = 36 \Rightarrow 6k + 12k = 36 \Rightarrow 18k = 36 \Rightarrow k = 2\]

Do đó : \[x = 3.2 = 6;y = 4.2 = 8\]

Kết luận \[x = 6,y = 8\]

+ Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{{2x + 3y}}{{2.3 + 3.4}} = \frac{{36}}{{18}} = 2\]

Do đó : \[\frac{x}{3} = 2 \Rightarrow x = 6\]

            \[\frac{y}{4} = 2 \Rightarrow y = 8\]

Kết luận : \[x = 6,y = 8\]

+ Cách 3: (phương pháp thế)

Từ giả thiết \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow x = \frac{{3y}}{4}\]

Mà \[2x + 3y = 36 \Rightarrow \frac{{3y}}{2} + 3y = 36 \Rightarrow 9y = 72 \Rightarrow y = 8\]

Do đó : \[x = \frac{{3.8}}{4} = 6\]

Kết luận \[x = 6,y = 8\]

Giải

Đặt \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = k\] suy ra : \[x = 2k,y = 3k\]

Theo giả thiết : \[xy = 24 \Rightarrow 2k.3k = 24 \Rightarrow {k^2} = 4 \Rightarrow k = \pm 2\]

+ Với \[k = 2\]thì \[x = 4;y = 6\]

+ Với \[k = - 2\] thì \[x = - 4;y = - 6\]

Kết luận.  Vậy \[\left( {x;y} \right)\] là \[\left( { - 4; - 6} \right),\left( {4;6} \right)\].

Nhận xét. Trong ví dụ này có thể chúng ta mắc sai lầm sau :

+ Thứ nhất trong lời giải trên thiếu trường hợp \[k = - 2\]

+ Thứ hai chúng ta vận dụng tính chất : \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{xy}}{{2.3}} = \frac{{24}}{6} = 4!\] Chúng ta lưu ý rằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với nhau. Do vậy gặp điều kiện về phép nhân hoặc lũy thừa giữa các biến, chúng ta nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ

Giải

Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa về : \[ay = bx,bz = cy,az = cx\] hay cần chứng minh \[ay - bx = 0,bz - cy = 0,az - cx = 0\]. Vì vậy từ giả thiết ta cần chứng minh\[\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c} = 0\].  Với suy nghĩ đó , chúng ta cần nhân mỗi tỉ số với một số thích hợp vào tử và mẫu số sao cho khi vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì được kết quả bằng 0. Quan sát tỉ số \[\frac{{bz - cy}}{a}\] và \[\frac{{cx - az}}{b}\] ta thấy bz và \[ - az\]; để triệt tiêu được, chúng ta cần nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất với a; nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ hai với b. Tương tự như vậy với tỉ số thứ ba.

Trình bày lời giải

Từ đề bài ta có : \[\frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - abz}}{{{b^2}}} = \frac{{acy - bcx}}{{{c^2}}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - abz}}{{{b^2}}} = \frac{{acy - bcx}}{{{c^2}}} = \frac{{abz - acy + bcx - abz + acy - bcx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0\]

Suy ra \[ay - bx = 0,bz - cy = 0,bz - cx = 0\]

\[ \Rightarrow ay = bx,bz = cy,bz = cx \Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\]

Giải

ü  Trình bày lời giải

Đặt chiều rộng và chiều dài khu đất là x và y (mét; x,y > 0)

Theo đề bài , ta có : \[\frac{x}{5} = \frac{y}{8}\] và \[xy = 1960\]

Đặt \[\frac{x}{5} = \frac{y}{8} = k\] (điều kiện k > 0 ) , suy ra : \[x = 5k,y = 8k\]

Theo giả thiết : \[xy = 1960 \Rightarrow 5k.8k = 1960 \Rightarrow {k^2} = 49 \Rightarrow k = 7\] (vì \[k > 0\])

Từ đó ta tìm được : \[x = 35;y = 56\]

Suy ra chu vi hình chữ nhật là : \[\left( {35 + 56} \right).2 = 182\left( m \right)\]

Giải

Từ giả thiết suy ra :

\[2021 + \frac{{a + b + c + d}}{a} = 2021 + \frac{{a + b + c + d}}{b} = 2021 + \frac{{a + b + c + d}}{c} = 2021 + \frac{{a + b + c + d}}{d}\]

\[ \Rightarrow \frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{d}\]

+ Trường hợp 1: Xét \[a + b + c + d = 0 \Rightarrow a + b = - \left( {c + d} \right);b + c = - \left( {d + a} \right)\]

Suy ra \[M = \frac{{ - \left( {c + d} \right)}}{{c + d}} + \frac{{ - \left( {d + a} \right)}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{ - \left( {c + d} \right)}} + \frac{{d + a}}{{ - \left( {d + a} \right)}}\]

\[M = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 4\]

+ Trường hợp 2 :Xét \[a + b + c + d \ne 0\]

Suy ra \[a = b = c = d \Rightarrow M = \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}} + \frac{{a + a}}{{a + a}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\]

Giải

Từ \[\frac{{21a + 10b}}{{21c + 10d}} = \frac{{a - 11b}}{{c - 11d}}\]. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

Từ \[\frac{{21a + 10b}}{{21c + 10d}} = \frac{{a - 11b}}{{c - 11d}} = \frac{{21a - 231b}}{{21c - 231d}} = \frac{{21a + 10b - \left( {21a - 231b} \right)}}{{21c + 10d - \left( {21c - 231d} \right)}} = \frac{{241b}}{{241d}} = \frac{b}{d}\left( 1 \right)\]

Từ \[\frac{{231a + 110b}}{{231c + 110d}} = \frac{{10a - 110b}}{{10c - 110d}} = \frac{{231a + 110b + 10a - 110b}}{{231c + 110d + 10c - 110d}} = \frac{{241a}}{{241c}} = \frac{a}{c}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\] hay \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]

Giải

Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c.  Độ dài ba đường cao tương ứng là \[{h_a};{h_b};{h_c}\]. Theo đề bài ta có : \[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} = \frac{{{h_c} + {h_a}}}{5}\] và \[a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}\left( 1 \right)\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} = \frac{{{h_c} + {h_a}}}{5} = \frac{{{h_a} + {h_b} - {h_b} - {h_c}}}{{7 - 6}} = {h_a} - {h_c}\]

\[ \Rightarrow {h_c} + {h_a} = 5{h_a} - 5{h_c} \Rightarrow 2{h_a} = 3{h_c} \Rightarrow \frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_c}}}{2}\left( 2 \right)\]

Mặt khác \[\frac{{{h_a} + {h_b}}}{7} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} \Rightarrow \frac{{2{h_a} + 2{h_b}}}{{14}} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6} \Rightarrow \frac{{3{h_c} + 2{h_b}}}{{14}} = \frac{{{h_b} + {h_c}}}{6}\]

\[ \Rightarrow 3\left( {3{h_c} + 2{h_b}} \right) = 7\left( {{h_b} + {h_c}} \right) \Rightarrow 9{h_c} + 6{h_b} = 7{h_b} + 7{h_c} \Rightarrow 2{h_c} = {h_b} \Rightarrow \frac{{{h_c}}}{2} = \frac{{{h_b}}}{4}\left( 3 \right)\]

Từ (2),(3) suy ra : \[\frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_b}}}{4} = \frac{{{h_c}}}{2}\]

Đặt \[\frac{{{h_a}}}{3} = \frac{{{h_b}}}{4} = \frac{{{h_c}}}{2} = k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow {h_a} = 3k;{h_b} = 4k;{h_c} = 2k\]

Kết hợp với (1), ta có : \[3a = 4b = 2c \Rightarrow \frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{6}\]

Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; 6.

Hướng dẫn:

Vì \[\frac{{1 + 2y}}{{18}} = \frac{{1 + 4y}}{{24}} \Rightarrow 24\left( {1 + 2y} \right) = 18\left( {1 + 4y} \right) \Rightarrow 24 + 48y = 18 + 72y\]

   \[ \Rightarrow 24y = 6 \Rightarrow y = \frac{1}{4}\]. Thay vào đề bài ta có :

   \[\frac{{1 + 2.\frac{1}{4}}}{{18}} = \frac{{1 + 6.\frac{1}{4}}}{{6x}} \Rightarrow \frac{{\frac{3}{2}}}{{18}} = \frac{{\frac{5}{3}}}{{6x}} \Rightarrow \frac{3}{2}.6x = 18.\frac{5}{3} \Rightarrow 18x = 90 \Rightarrow x = 5\]

Hướng dẫn:

Ta có : \[\frac{{1 + 3y}}{{12}} = \frac{{1 + 5y}}{{5x}} = \frac{{1 + 7y}}{{4x}} = \frac{{4 + 20y}}{{20x}} = \frac{{5 + 35y}}{{20x}} = \]

   \[ = \frac{{1 + 3y + 4 + 20y - 5 - 35y}}{{12 + 20x - 20x}} = \frac{{ - 12y}}{{12}} = - y\]

   \[ \Rightarrow 1 + 3y = - 12y \Rightarrow y = - \frac{1}{{15}}\]

   Thay vào đề bài ,ta được : \[\frac{{1 + 5.\frac{{ - 1}}{{15}}}}{{5x}} = \frac{1}{{15}} \Rightarrow x = 2\]

   Vậy \[x = 2\] và \[y = - \frac{1}{{15}}\]

Hướng dẫn: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} = \frac{{2x + 1 + 3y - 2}}{{5 + 7}} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{12}}\]

Kết hợp với đề bài suy ra: \[\frac{{2x + 3y - 1}}{{12}} = \frac{{2x + 3y - 1}}{{6x}}\]

Trường hợp 1: Xét \[2x + 3y - 1 = 0\]

suy ra: \[\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0;3y - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{2};y = \frac{2}{3}\]

Trường hợp 2: Xét \[2x + 3y - 1 \ne 0\] suy ra \[6x = 12 \Rightarrow x = 2\]

Thay vào đề bài ta có : \[\frac{{2.2 + 1}}{5} = \frac{{3y - 2}}{7} \Rightarrow \frac{{3y - 2}}{7} = 1 \Leftrightarrow 3y - 2 = 7 \Leftrightarrow y = 3\]

Vậy \[x = 2;y = 3\]

Nhận xét. bài này dễ bỏ sót trường hợp 1

Hướng dẫn:

Đặt \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k \Rightarrow x = 3k;y = 4k;z = 5k\]

Mà \[5{z^2} - 3{x^2} - 2{y^2} = 594 \Rightarrow 5.25{k^2} - 3.9{k^2} - 2.16{k^2} = 594\]

\[ \Leftrightarrow 66{k^2} = 594 \Leftrightarrow {k^2} = 9 \Leftrightarrow k = \pm 3\]

+ Với \[k = 3\] suy ra \[x = 9;y = 12;z = 15\]

+ Với \[k = - 3\] suy ra \[x = - 9;y = - 12;z = - 15\]

Hướng dẫn:

\[3\left( {x - 1} \right) = 2\left( {y - 2} \right) \Rightarrow 6\left( {x - 1} \right) = 4\left( {y - 2} \right)\] suy ra \[6\left( {x - 1} \right) = 4\left( {y - 2} \right) = 3\left( {z - 3} \right)\]

\[ \Rightarrow \frac{{6\left( {x - 1} \right)}}{{12}} = \frac{{4\left( {y - 2} \right)}}{{12}} = \frac{{3\left( {z - 3} \right)}}{{12}} \Rightarrow \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{4}\]

Đặt \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4} = k \Rightarrow x = 2k + 1;y = 3k + 2;z = 4k + 3\]

Mà \[2x + 3y - z = 50 \Rightarrow 2\left( {2k + 1} \right) + 3\left( {3k + 2} \right) - \left( {4k + 3} \right) = 50\]

\[ \Leftrightarrow 4k + 2 + 9k + 6 - 4k - 3 = 50 \Leftrightarrow 9k = 45 \Leftrightarrow k = 5\]

Vậy \[x = 2.5 + 1 = 11;y = 3.5 + 2 = 17;z = 4.5 + 3 = 23\]

Hướng dẫn:

Ta có : \[\frac{{2x}}{3}.\frac{1}{{12}} = \frac{{3y}}{4}.\frac{1}{{12}} = \frac{{4z}}{5}.\frac{1}{{12}} \Rightarrow \frac{x}{{18}} = \frac{y}{{16}} = \frac{z}{{15}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{x}{{18}} = \frac{y}{{16}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{x + y - z}}{{18 + 16 - 15}} = \frac{{38}}{{19}} = 2\]

suy ra : \[x = 36;y = 32;z = 30\]

Hướng dẫn:

Từ \[7x = 10y = 12z \Rightarrow \frac{x}{{60}} = \frac{y}{{42}} = \frac{z}{{35}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{x}{{60}} = \frac{y}{{42}} = \frac{z}{{35}} = \frac{{x + y + z}}{{60 + 42 + 35}} = \frac{{685}}{{137}} = 5\]

Từ đó suy ra : \[x = 120;y = 210;z = 175\]

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\[\frac{{5 - z}}{1} = \frac{{y + z}}{2} = \frac{{9 + y}}{5} = \frac{{5 - z + y + z - 9 - y}}{{1 + 2 - 5}} = 2\]

\[ \Rightarrow 5 - z = 2 \Rightarrow z = 3;9 + y = 10 \Rightarrow y = 1;X + y = 6 \Rightarrow x = 5\]

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\[\frac{{y + z + 1}}{x} = \frac{{z + x + 2}}{y} = \frac{{x + y - 3}}{x} = \frac{{x + z + 1 + z + x + 2 + x}}{{x + y + z}} = 2\]

Kết hợp với đề bài, suy ra : \[x + y + z = 2\]

Suy ra : \[y + z + 1 = 2x \Rightarrow x + y + z + 1 = 3x \Rightarrow 1 + 2 = 3x \Rightarrow x = 1\]

\[z + x + 2 = 2y \Rightarrow x + y + z + 2 = 3y \Rightarrow 4 = 3y \Rightarrow y = \frac{4}{3}\]

\[x + y - 3 = 2z \Rightarrow x + y = z - 3 = 3z \Rightarrow 2 - 3 = 3z \Rightarrow z = - \frac{1}{2}\]

Hướng dẫn:Giải tương tự câu c, ta được : \[x = \frac{5}{6};y = \frac{{11}}{6};z = \frac{{ - 13}}{6}\]

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{xy + 1}}{9} = \frac{{zx + 2}}{{15}} = \frac{{yz + 3}}{{27}} = \frac{{xy + 1 + zx + 2 + yz + 3}}{{9 + 15 + 27}} = \frac{{17}}{{51}}\]

Suy ra : \[xy + 1 = 3 \Rightarrow xy = 2\left( 1 \right)\]

            \[zx + 2 = 5 \Rightarrow zx = 3\left( 2 \right)\]

            \[yz + 3 = 9 \Rightarrow yz = 6\left( 3 \right)\]

Từ (1) ,(2) và (3) nhân vế với vế : \[{\left( {xyz} \right)^2} = 36 \Rightarrow xyz = \pm 6\]

+ Trường hợp \[xyz = 6\]

   Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có : \[x = 1;y = 2;z = 3\]

+ Trường hợp \[xyz = - 6\]

   Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có: \[x = - 1;y = - 2;z = - 3\]

Hướng dẫn: Đặt \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk,c = dk\]

Xét \[\left( {a + 2c} \right)\left( {b + d} \right) = \left( {bk + 2dk} \right)\left( {b + d} \right) = k.\left( {b + 2d} \right).\left( {b + d} \right)\left( 1 \right)\]

Xét \[\left( {a + c} \right)\left( {b + 2d} \right) = \left( {bk + dk} \right)\left( {b + 2d} \right) = k\left( {b + d} \right)\left( {b + 2d} \right)\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2), suy ra : \[\left( {a + 2c} \right)\left( {b + d} \right) = \left( {a + c} \right)\left( {b + 2d} \right)\]

Hướng dẫn:

Xét \[\frac{{{a^{2020}} + {b^{2020}}}}{{{c^{2020}} + {d^{2020}}}} = \frac{{{b^{2020}}.{k^{2020}} + {b^{2020}}}}{{{d^{2020}}.{k^{2020}} + {d^{2020}}}} = \frac{{{b^{2020}}\left( {{k^{2020}} + 1} \right)}}{{{d^{2020}}\left( {{k^{2020}} + 1} \right)}} = \frac{{{b^{2020}}}}{{{d^{2020}}}}\left( 1 \right)\]

Xét \[\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {c + d} \right)}^{2020}}}} = \frac{{{{\left( {bk + b} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {dk + d} \right)}^{2020}}}} = \frac{{{b^{2020}}{{\left( {k + 1} \right)}^{2020}}}}{{{d^{2020}}{{\left( {k + 1} \right)}^{2020}}}} = \frac{{{b^{2020}}}}{{{d^{2020}}}}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh

Hướng dẫn: Đặt \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk;c = dk\]

Xét \[\frac{{xa + yb}}{{za + tb}} = \frac{{xbk + yb}}{{zbk + tb}} = \frac{{b\left( {xk + y} \right)}}{{b\left( {zk + t} \right)}} = \frac{{xk + y}}{{zk + t}}\left( 1 \right)\]

Xét \[\frac{{xc + yd}}{{zc + td}} = \frac{{xdk + yd}}{{zdk + td}} = \frac{{d\left( {xk + y} \right)}}{{d\left( {zk + t} \right)}} = \frac{{xk + y}}{{zk + t}}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{{xa + yb}}{{za + tb}} = \frac{{xc + yd}}{{zc + td}}\] , điều phải chứng minh

Hướng dẫn:

Từ \[\frac{{3x - y}}{{x + y}} = \frac{3}{4}\] suy ra : \[4\left( {3x - y} \right) = 3\left( {x + y} \right) \Rightarrow 12x - 4y = 3x + 3y\]

\[ \Rightarrow 12x - 3x = 3y + 4y \Rightarrow 9x = 7y \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{7}{9}\]

Hướng dẫn:

Từ \[2\left( {x + y} \right) = 5\left( {y + z} \right) = 3\left( {z + x} \right)\]suy ra :

\[\frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{30}} = \frac{{5\left( {y + z} \right)}}{{30}} = \frac{{3\left( {z + x} \right)}}{{30}} \Rightarrow \frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{x + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{y + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}} = \frac{{\left( {x + y} \right) - \left( {z + x} \right)}}{{15 - 10}} = \frac{{y - z}}{5}\left( 1 \right)\]

\[\frac{{x + y}}{{15}} = \frac{{y + z}}{6} = \frac{{z + x}}{{10}} = \frac{{\left( {z + x} \right) - \left( {y + z} \right)}}{{10 - 6}} = \frac{{x - y}}{4}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{{x - y}}{4} = \frac{{y - z}}{5}\], điều phải chứng minh.

Hướng dẫn:

Từ \[{b^2} = ac \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{c};{c^2} = bd \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\].

Đặt \[\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk;b = ck;c = dk\]

Xét \[\frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = \frac{{{b^3}{k^3} + {c^3}{k^3} - {d^3}{k^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = \frac{{{k^3}\left( {{b^3} + {c^3} - {d^3}} \right)}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = {k^3}\left( 1 \right)\]

Xét \[{\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3} = {\left( {\frac{{bk + ck - dk}}{{b + c - d}}} \right)^3} = {\left( {\frac{{k\left( {b + c - d} \right)}}{{b + c - d}}} \right)^3} = {k^3}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2), suy ra : \[\frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = {\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3}\] điều phải chứng minh.

Hướng dẫn:

Xét \[\frac{{{a^3} + 8{b^3} + 27{c^3}}}{{{b^3} + 8{c^3} + 27{d^3}}} = \frac{{{b^3}{k^3} + 8{c^3}{k^3} + 27{d^3}{k^3}}}{{{b^3} + 8{c^3} + 27{d^3}}} = \frac{{{k^3}\left( {{b^3} + 8{c^3} + 27{d^3}} \right)}}{{{b^3} + 8{c^3} + 27{d^3}}} = {k^3}\left( 3 \right)\]

Xét \[\frac{a}{d} = \frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d} = k.k.k = {k^3}\left( 4 \right)\]

Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh

Hướng dẫn:

Từ \[a\left( {y + z} \right) = b\left( {z + x} \right) = c\left( {x + y} \right)\] suy ra

\[\frac{{a\left( {y + z} \right)}}{{abc}} = \frac{{b\left( {z + x} \right)}}{{abc}} = \frac{{c\left( {x + y} \right)}}{{abc}} \Rightarrow \frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{x + y}}{{ab}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{\left( {z + x} \right) - \left( {y + z} \right)}}{{ac - bc}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}\left( 1 \right)\]

\[\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{x + y}}{{ab}} = \frac{{\left( {y + z} \right) - \left( {x + y} \right)}}{{bc - ab}} = \frac{{z - x}}{{b\left( {c - a} \right)}}\left( 2 \right)\]

\[\frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{x + y}}{{ab}} = \frac{{\left( {x + y} \right) - \left( {z + x} \right)}}{{ab - ac}} = \frac{{y - z}}{{a\left( {b - c} \right)}}\left( 3 \right)\]

Từ (1), (2), (3) , suy ra \[\frac{{y - z}}{{a\left( {b - c} \right)}} = \frac{{z - x}}{{b\left( {c - a} \right)}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}\], điều phải chứng minh

Hướng dẫn:

Áp dụng tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{a}{{2016}} = \frac{b}{{2018}} = \frac{c}{{2020}} = \frac{{a - b}}{{ - 2}} = \frac{{b - c}}{{ - 2}} = \frac{{a - c}}{{ - 4}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{{16}} = \left( {\frac{{a - b}}{{ - 2}}} \right)\left( {\frac{{b - c}}{{ - 2}}} \right) = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{4}\]

Do đó \[\frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{4} = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\]

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = x + y + z\](Vì \[a + b + c = 1\])

Suy ra : \[{\left( {x + y + z} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\] ( vì \[a + b + c = 1\])

Vậy \[{\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\]

Hướng dẫn:

Từ \[\frac{x}{{y + z + t}} = \frac{y}{{z + t + x}} = \frac{z}{{t + x + y}} = \frac{t}{{x + y + z}}\]

\[ \Rightarrow \frac{x}{{y + z + t}} + 1 = \frac{y}{{z + t + x}} + 1 = \frac{z}{{t + x + y}} + 1 = \frac{t}{{x + y + z}} + 1\]

\[\frac{{x + y + z + t}}{{y + z + t}} = \frac{{x + y + z + t}}{{z + t + x}} = \frac{{x + y + z + t}}{{t + x + y}} = \frac{{x + y + z + t}}{{x + y + z}}\]

Trường hợp 1: Xét \[x + y + z + t = 0\]

\[ \Rightarrow x + y = - \left( {z + t} \right);y + z = - \left( {t + x} \right)\]

Suy ra \[A = \frac{{ - (z + t)}}{{z + t}} + \frac{{ - (t + x)}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{ - (z + t)}} + \frac{{t + x}}{{ - (t + x)}}\]

\[A = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 4\]

Trường hợp 2: Xét \[x + y + z + t \ne 0\]

Suy ra \[y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z \Rightarrow x = y = z = t\]

Suy ra \[A = \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\]

Vậy biểu thức A luôn có giá trị là số nguyên

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = ... = \frac{{{a_{2019}}}}{{{a_{2020}}}} = \frac{{{a_{2020}}}}{{{a_1}}} = \frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_{2019}} + {a_{2020}}}}{{{a_2} + {a_3} + ... + {a_{2020}} + {a_1}}}\]

Suy ra : \[{a_1} = {a_2} = ... = {a_{2019}} = {a_{2020}}\]

Do đó \[B = \frac{{{{\left( {{a_1} + {a_1} + ... + {a_1}} \right)}^2}}}{{{a_1}^2 + {a_1}^2 + ... + {a_1}^2}} = \frac{{{{2020}^2}{a_1}^2}}{{2020.{a_1}^2}} = 2020\]

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = \frac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1 \Rightarrow a = b = c\].Do đó \[P = \frac{{{a^{49}}.{a^{51}}}}{{{a^{100}}}} = 1\]

Hướng dẫn: Từ đề bài suy ra

\[\frac{{a + b - c}}{c} + 2 = \frac{{b + c - a}}{a} + 2 = \frac{{c + a - b}}{b} + 2 \Rightarrow \frac{{a + b + c}}{c} = \frac{{a + b + c}}{a} = \frac{{a + b + c}}{b}\]

Mà \[a,b,c > 0\] nên \[a + b + c > 0\], suy ra \[a = b = c\]

Từ đó , ta có : \[B = \left( {1 + \frac{a}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{a}} \right) = 8\]

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{{a + b + c}}{{a + b - c}} = \frac{{a - b + c}}{{a - b - c}} = \frac{{\left( {a + b + c} \right) - \left( {a - b + c} \right)}}{{\left( {a + b - c} \right) - \left( {a - b - c} \right)}} = \frac{{2b}}{{2b}} = 1\]

\[ \Rightarrow a + b + c = a + b - c \Rightarrow 2c = 0 \Rightarrow c = 0\]

Hướng dẫn:

Từ \[\frac{{x - y}}{{x + y}} = \frac{{z - x}}{{z + x}}\] suy ra \[\frac{{x - y}}{{z - x}} = \frac{{x + y}}{{z + x}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\[\frac{{x - y}}{{z - x}} = \frac{{x + y}}{{z + x}} = \frac{{x - y + x + y}}{{z - x + z + x}} = \frac{{2x}}{{2z}} = \frac{x}{z}\left( 1 \right)\]

\[\frac{{x - y}}{{z - x}} = \frac{{x + y}}{{z + x}} = \frac{{x - y - x - y}}{{z - x - z - x}} = \frac{{ - 2y}}{{ - 2x}} = \frac{y}{x}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) , suy ra : \[\frac{x}{z} = \frac{y}{x} \Rightarrow {x^2} = yz\]

Hướng dẫn:

Từ \[\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow \frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}};\frac{y}{5} = \frac{z}{6} \Rightarrow \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}}\] suy ra \[\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}}\]

Đặt \[\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}} = k \Rightarrow x = 15k;y = 20k;z = 24k\]

Do đó \[A = \frac{{30k + 60k + 96k}}{{45k + 80k + 120k}} = \frac{{186k}}{{250k}} = \frac{{93}}{{125}}\]

Hướng dẫn:

Với \[a,b,c \ne 0\] ta có : \[\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{c + a}}{{ca}} \Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \Rightarrow a = b = c \Rightarrow P = 1\]