Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 1: Tiên đề Ơ-clit. Tính chất của hai đường thằng song song có đáp án
21 câu hỏi
Cho tam giác ABC, A⏞=75°; B⏞=60°. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ các tia Cx và Cy sao cho ACx=75°; BCy=120°. Chứng tỏ rằng các tia Cx và Cy trùng nhau.
Hình 4.5
Ta có ACx = A⏞ =75° => Cx // AB(vì có cặp góc so le trong bằng nhau). (1)
Ta có BCy + B⏞ =120°+60°= 180°
=> Cy // AB (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau). (2)
Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-clít, ta có hai đường thẳng Cx và Cy trùng nhau. Mặt khác, hai tia Cx và Cy cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A nên hai tia này trùng nhau.
Hình 4.5 có a // b và A1⏞=B1⏞=30°. Tính số đo các góc A2 và B2.
Ta có a // b nên A1⏞+B1⏞=180° (cặp góc trong cùng phía).
Mặt khác, A1⏞-B1⏞=30° (đề bài) nên A1⏞=(180°+30°):2=105° và B1⏞=180°-105°=75°.
Suy ra A2⏞=B1⏞=75° (cặp góc so le trong); B2⏞=A1⏞=105° (cặp góc so le trong).
Tính các số đo x, y trong hình 4.6, biết A1⏞=A2⏞; B1⏞=B2⏞ và x=37y.
Ta có A1⏞+A2⏞=180° (kề bù) mà A1⏞=A2⏞ (đề bài) nên A1⏞=180°:2=90°.
Suy ra AB ⊥ a.
Tương tự AB ⊥ b.
Do đó a // b (cùng vuông góc với AB).
Ta có x + y = 180° (cặp góc trong cùng phía) mà x=37y nên x= 180×310=54°; y=126°.
Hình 4.7 có A⏞=30°;B⏞=70°;AOB⏞=100°. Chứng tỏ rằng Ax // By.
Ở trong góc AOB, vẽ tia Ot //Ax. Khi đó AOt⏞=A⏞=30° (cặp góc so le trong).
Suy ra BOt⏞=100°-30°=70°.
Vậy B⏞=BOt⏞=70°.
Do đó By // Ot (vì có cặp so le trong bằng nhau).
Từ đó suy ra Ax // By (vì cùng song song với Ot).
Cho tam giác ABC. Vẽ điểm M sao cho góc BAM bằng và so le trong với góc B. Vẽ điểm N sao góc CAN bằng và so le trong với góc C. Chứng tỏ rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Ta có BAM⏞=B⏞ suy ra AM // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
CAN⏞=C⏞ suy ra AN // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
Theo tiên đề Ơ-clít qua điểm A chỉ có một đường thẳng song song với BC, do đó ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Qua điểm A ở ngoài đường thẳng a vẽ 101 đường thẳng. Chứng tỏ rằng ít nhất cũng có 100 đường thẳng cắt a.
Giả sử trong số 101 đường thẳng vẽ qua A có chưa đến 100 đường thẳng cắt a. Suy ra ít nhất cũng còn hai đường thẳng không cắt a. Hai đường thẳng này cùng đi qua A và cùng song song với a. Điều này vô lí vì nó trái với tiên đề Ơ-clít. Vậy điều giả sử là sai, do đó qua A có ít nhất 100 đường thẳng cắt a.
Cho điểm O ở ngoài đường thẳng xy. Qua O vẽ n đường thẳng. Xác định giá trị nhỏ nhất của n để trong số các đường thẳng đã vẽ, ít nhất cũng có 10 đường thẳng cắt xy.
Trong số n đường thẳng đã vẽ, nhiều nhất là có một và chỉ một đường thẳng song song với xy. Do đó muốn có ít nhất 10 đường thẳng cắt xy thì số đường thẳng phải vẽ ít nhất là 11. Vậy .
Tính chất hai đường thẳng song song
Cho tam giác ABC. Từ điểm D trên cạnh BC vẽ DE // AB; DF // AC.
a) Kể tên những góc ở trong hình vẽ bằng góc A;
Ta có DE//AB nên DEC⏞=A⏞ (cặp góc đồng vị); nên (cặp góc đồng vị).
Mặt khác BFD = FDE (so le trong của DE // AB)
Suy ra A⏞=DEC⏞=BFD⏞=FDE⏞.
b) Giả sử B⏞+C⏞=180°, tính số đo góc A.
Ta có D2⏞=B⏞ (cặp góc đồng vị của DE // AB); D1⏞=C⏞ (cặp góc so le trong của DF // AC);
Do đó D1⏞+D2⏞=B⏞+C⏞=110°. Suy ra FDE⏞=180°-110°=70°.
Vậy A⏞=70° (vì A⏞=FDE⏞).
Cho tam giác ABC. Từ điểm M trên cạnh BC vẽ MD//AB, ME//AC. Xác định vị trí của điểm M để tia MA là tia phân giác của góc DME.
Ta có MD//AB suy ra A1⏞=M1⏞ (cặp góc so le trong); ME//AC suy ra A2⏞=M2⏞ (cặp góc so le trong).
Tia MA nằm giữa hai tia MD và ME. Do đó tia MA là tia phân giác của góc DME.
⇔M1⏞=M2⏞⇔A1⏞=A2⏞ ⇔ M là giao điểm của BC với tia phân giác của góc A.
Hình 4.9 có C⏞=m° ( m <90); ABC⏞=180°-2m° và Bx // AC. Chứng minh rằng tia Bx là tia phân giác của góc Aby.
Ta có ABC⏞=180°-2m° nên ABy⏞=180°-(180°-2m°)=2m°.
Mặt khác Bx // AC nên xBy⏞=C⏞=m° (cặp góc đồng vị); suy ra
ABx⏞=2m°-m°=m°. Vậy ABx⏞=xBy⏞=m°. (1)
Tia Bx nằm giữa hai tia BA và By. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tia Bx là tia phân giác của góc ABy.
Hình 4.10, ngoài những số đo đã ghi còn biết D1⏞=D2⏞. Chứng tỏ rằng b ⊥ m.
Ta có ACD⏞=180°-120°=60°. Vậy ACD⏞=BAa⏞=60°.
Suy ra m//n (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Ta có D1⏞+D2⏞=180° mà D1⏞=D2⏞ nên D1⏞=90°.
Suy ra b ⊥ n do đó b ⊥ m (vì m//n).
Hình 4.11 có AB⊥AC, CD ⊥AC và OE ⊥AC. Biết OAB⏞=m°; OCD⏞=50°. Tìm giá trị m để tia OE là tia phân giác của góc AOC.
Ta có AB ⊥ AC; CD ⊥ AC; OE ⊥AC (đề bài).
Suy ra AB//CD//OE (cùng vuông góc với AC).
Do đó AOE⏞=OAB⏞=m° (cặp góc so le trong); OCD⏞=EOC⏞=50° (cặp góc so le trong).
Tia OE nằm giữa hai tia OA và OC nên tia OE là tia phân giác của góc AOC ⇔AOE⏞=EOC⏞⇔m=50°.
Hình 4.12 có AEF⏞=45°, EFC⏞=3.AEF⏞. Các tia Em và Fn lần lượt là các tia phân giác của các góc AEF và EFD. Chứng tỏ rằng Em // Fn.
Ta có AEF⏞+EFC⏞=45°+45°.3=180°.
Suy ra AB//CD (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).
Do đó AEF⏞=EFD⏞ (cặp góc so le trong).
Mặt khác E1⏞=12AEF⏞; F1⏞=12EFD⏞ nên E1⏞=F1⏞, dẫn tới Em // Fn (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
Hình 4.13 có A⏞=B⏞ và Ax // Bm. Chứng tỏ rằng Ay // Bn.
Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng Ay và Bm.
Ta có Ax//Bm nên A⏞=ACm⏞ (cặp góc so le trong).
Mặt khác, A⏞=mBn⏞ nên ACm⏞=mBn ⏞=A⏞.
Do đó Ay // Bn (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Hình 4.14 có A⏞=a°; B⏞=b° (a,b < 90°) và AOB⏞=a°+b°. Chứng tỏ rằng Ax // By.
Ở trong góc AOB vẽ tia Ot // Ax. Khi đó AOt⏞=A⏞=a°
(cặp góc so le trong).
Suy ra BOt⏞=b°. Vậy Bot⏞=b°=B⏞.
Do đó By // Ot (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
Vậy Ax // By (vì cùng song song với Ot).
Hình 4.15 có A⏞=m°; C⏞=n° ( 90 < m, n < 180); AOC⏞=360°-(m°+n°). Chứng tỏ rằng AB // CD
Trong góc AOC vẽ tia Ot sao cho Ot // AB.
Khi đó A⏞+AOt⏞=180° (cặp góc trong cùng phía).
Suy ra AOt⏞=180°-m°.
Do đó COt⏞= AOC⇀-AOt⏞=360°-(m°+n°)-(180°-m°)=180°-n°
Vậy C⏞+COt⏞=n°+(180°-n°)=180°.
Suy ra CD // Ot (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).
Do đó AB // CD (vì cùng song song với Ot).
Hình 4.16 có A⏞=130°;C⏞=140° và OA ⊥ OB Chứng tỏ rằng AB // CD.
Vì OA ⊥OC nên AOC⏞=90°. Trong góc AOC vẽ tia Ot sao cho Ot//AB.
Khi đó (cặp góc trong cùng phía).
Suy ra AOt⏞=180°-130°=50°.
Vì AOC⏞=90° nên COt⏞= 40°.
Ta có C⏞+COt⏞=140°+40°=180°.
Do đó CD // Ot (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).
Suy ra AB // CD (vì cùng song song với Ot).
Cho góc AOB. Trên tia OA lấy điểm M, trên tia OB lấy điểm N. Vẽ ra ngoài góc AOB các tia Mx và Ny song song với nhau. Cho biết AMx⏞= 140°, BNy⏞=150°. tính số đo của góc AOB.
Vì AMx⏞=140°nên M1⏞=40°.
Vì BNy⏞=150° nên N2⏞=30°
Ở trong góc AOB vẽ tia Ot // Mx, khi đó Ot // My (vì Mx // My).
Ta có O1⏞=M1⏞=40° (cặp góc so le trong).
O2⏞=N2⏞=30° (cặp góc so le trong).
Suy ra AOB⏞=O1⏞+O2⏞=70°.
Hình 4.17 có Ax // By; OA ⊥ OB và A⏞=145°. Tính số đo góc B.
trong góc AOB vẽ tia Ot // Ax.
Khi đó Ot // By.
Ta có OA ⊥ OB nên AOB⏞=90°.
Mặt khác A⏞+O1⏞=180° (cặp góc trong cùng phía) nên O1⏞=35°.
Suy ra O2⏞=55°.
Ta có O2⏞+ B⏞=180° (cặp góc trong cùng phía của Ot // By).
Do đó B⏞=125°.
Trong hình 4.18 có Ax // By. Tính số đo của góc AOB.
Trên nửa mặt phẳng bờ OB có chứa tia By vẽ tia Ot // By. Khi đó Ot // Ax.
Ta có OBy⏞+BOt⏞=180° (cặp góc trong cùng phía).
Suy ra BOt = 30°.
Ta có AOt⏞=OAx⏞=50° (cặp góc so le trong).
Từ đó AOB⏞=20°.