Bài tập Chuyên đề Nhị thức Newton có đáp án

= [x + (–3y)]⁶

^{$=C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5\left(-3y\right)+C_6^2{x}^4{\left(-3y\right)}^2+C_6^3{x}^3{\left(-3y\right)}^3+C_6^4{x}^2{\left(-3y\right)}^4+C_6^{5}x{\left(-3y\right)}^5+C_6^6{\left(-3y\right)}^6$}

^{$=x^6-C_6^{1}3x^{5}y+C_6^2{3}^2{x}^4{y}^2-C_6^3{3}^3{x}^3{y}^3+C_6^4{3}^4{x}^2{y}^4-C_6^5{3}^{5}x{y}^5+3^6{y}^6.$}

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:

a) $S=C_{{}_{2022}}^0{9}^{2022}+C_{{}_{2022}}^1{9}^{2021}+\mathrm{...}+C_{{}_{2022}}^k{9}^{2022-k}+\mathrm{...}+C_{{}_{2022}}^{2021}9+C_{2022}^{2022}$

$=C_{{}_{2022}}^0{9}^{2022}+C_{{}_{2022}}^1{9}^{2021}.1+\mathrm{...}+C_{{}_{2022}}^k{9}^{2022-k}{.1}^k+\mathrm{...}+C_{{}_{2022}}^{2021}{9.1}^{2021}+C_{2022}^{2022}{.1}^{2022}$

$={\left(9+1\right)}^{2020}={10}^{2022}.$

b) $T=C_{2022}^0{4}^{2022}-C_{2022}^1{4}^{2021}.3+\mathrm{...}-C_{2022}^{2021}4.3^{2021}+C_{2022}^{2022}{3}^{2022}$

$=C_{2022}^0{4}^{2022}+C_{2022}^1{4}^{2021}.{\left(-3\right)}^1+\mathrm{...}+C_{2022}^{2021}4.{\left(-3\right)}^{2021}+C_{2022}^{2022}{\left(-3\right)}^{2022}$

$={\left[4+\left(-3\right)\right]}^{2022}=1^{2022}=1.$

a) Số hạng chứa x⁷ là $C_{12}^5{x}^7{\left(\frac{5}{2}\right)}^5.$  Hệ số của x⁷ là $C_{12}^5{\left(\frac{5}{2}\right)}^5.$

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $C_{12}^{12-k}{x}^k{\left(\frac{5}{2}\right)}^{12-k}.$

Hệ số của x^k là $C_{12}^{12-k}{\left(\frac{5}{2}\right)}^{12-k}.$

a) Số hạng chứa x¹⁰ là $C_{21}^{11}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{11}.$  

Hệ số của x¹⁰ là $C_{21}^{11}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{11}=C_{21}^{11}\frac{1}{2^{10}{5}^{11}}.$

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $C_{21}^{21-k}{\left(\frac{x}{2}\right)}^k{\left(\frac{1}{5}\right)}^{21-k}.$  

Hệ số của x^k là $C_{21}^{21-k}\frac{1}{2^k{5}^{21-k}}.$

Vì dãy hệ số của khai triển (a + b)ⁿ tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần nên:

a) Hệ số lớn nhất của (a + b)⁸ là $C_8^4.$

b) Hệ số lớn nhất của (a + b)⁹ là $C_9^4$  và $C_9^5.$

+) Với n = 1, ta có: (a + b)¹ = a + b =

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

${(a+b)}^{k+1}=C_{k+1}^0{a}^{k+1}+C_{k+1}^1{a}^{(k+1)-1}b+\mathrm{...}+C_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+C_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$

a)

+) Với n = 1, ta có: 1⁵ – 1 = 0 ⁝ 5.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)⁵ – (k + 1) ⁝ 5.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k⁵ – k ⁝ 5.

Khi đó:

(k + 1)⁵ – (k + 1)

Mà  và  đều chia hết cho 5, do đó

 ⁝ 5 hay (k + 1)⁵ – (k + 1) ⁝ 5.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n$\in$ℕ^*.

Vì A có n phần tử nên số tập hợp con có k phần tử của tập hợp A là: $C_n^k.$

Như vậy tổng số tập con của tập hợp A là: $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^{n-1}+C_n^n.$

Lại có $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n$ (theo luyện tập 2). 

Vậy tập hợp A có tất cả 2ⁿ tập con.

Đội công tác có thể có từ 2 đến 10 học sinh.

Nếu đội công tác có k học sinh thì ta có $C_{10}^k$  cách chọn.

Như vậy tổng số cách chọn là: $C_{10}^2+C_{10}^3+\mathrm{...}+C_{10}^{10}.$

Lại có $C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+C_{10}^3+\mathrm{...}+C_{10}^{10}=2^{10}=1024$ (áp dụng luyện tập 2 với n = 10).

$\Rightarrow C_{10}^2+C_{10}^3+\mathrm{...}+C_{10}^{10}=2^{10}=1024-\left(C_{10}^0+C_{10}^1\right)=1024-\left(1+10\right)=1013$

.

Số cách chọn nếu bác Thành mua:

– Bộ trực thăng điều khiển từ xa là: $C_{10}^1.$

– Bộ đồ chơi lego là: $C_{10}^3.$

– Bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời là: $C_{10}^5.$

– Rubik là: $C_{10}^7.$

– Mô hình khủng long là: $C_{10}^9.$

Vậy tổng số cách chọn là: $C_{10}^1+C_{10}^3+C_{10}^5+C_{10}^7+C_{10}^9.$

Lại có $C_{10}^1+C_{10}^3+C_{10}^5+C_{10}^7+C_{10}^9=2^{2.5-1}=2^9=512$ (áp dụng câu c Ví dụ 3 với n = 5).

Vậy có 512 cách.

Thay n = 4 vào công thức trong đề bài, ta được:

Tỉ lệ phân li kiểu hình của F₂ nếu cây F₁ dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau là:

$C_{2.4}^0:C_{2.4}^1:C_{2.4}^2:\mathrm{...}:C_{2.4}^{2.4}$ hay $C_8^0:C_8^1:C_8^2:C_8^3:C_8^4:C_8^5:C_8^6:C_8^7:C_8^8.$