Bài tập Chuyên đề Nhị thức Newton có đáp án

Khai triển biểu thức (x + 2)⁷.

Cho n∈ℕ*. Chứng minh Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn−1+Cnn=2n.

Ta đã biết:

(a+b)2=C20a2+C21ab+C22b2;

(a+b)3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3;

(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4;

(a+b)5=C50a5+C51a4b+C52a3b2+C53a2b3+C54ab4+C55b5.

Ta sắp xểp những hệ số tổ hợp ở trên như sau:

Nêu phép toán để từ hai số hạng của dòng trên suy ra được số hạng tương ứng (thể hiện ở mũi tên ↓) ở dòng dưới trong bảng các hệ số nói trên.

Sử dụng tam giác Pascal để khai triển:

a) (x + y)⁷;

b) (x – 2)⁷.

Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)⁴( Hình 7a) và nhị thức (a + b)⁵ (Hình 7b) sau:

a) So sánh từng cặp hệ số C40 và C44; C41 và C43 ở Hình 7a.

So sánh từng cặp hệ số C50 và C55; C51 và C54; C52 và C53 ở Hình 7b.

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số:

C40  ​​​​ C41  ​​​​ C42  ​​​​ C43  ​​​​ C44 (trong khai triển (a + b)⁴)

C50  ​​​​ C51  ​​​​ C52  ​​​​ C53  ​​​​ C54  ​​​​ C55 (trong khai triển (a + b)⁵)

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)²⁰²²;

b) (a + b)²⁰²³.

Quan sát khai triển nhị thức:

(ax+b)n=Cn0(ax)n+Cn1(ax)n−1b+Cn2(ax)n−2b2+...+Cnn−1(ax)bn−1+Cnnbn

=Cn0anxn+Cn1an−1bxn−1+Cn2an−2b2xn−2+...+Cnn−1abn−1x+Cnnbn.

Nêu công thức tính hệ số của x^k trong khai triển trên.

Xét khai triển của (x + 5)¹⁵.

a) Nêu số hạng chứa x⁷, từ đó nêu hệ số của x⁷.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số a_k của x^k với 0 ≤ k ≤ 15.

Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)⁶;

b) (x – 3y)⁶;

c) (x – 1)ⁿ;

d) (x + 2)ⁿ;

e) (x + y)²ⁿ;

g) (x – y)²ⁿ;

trong đó n lả số nguyên dương.

Tính:

a) S=C2022092022+C2022192021+...+C2022k92022−k+...+C202220219+C20222022.

b) T=C2022042022−C2022142021 . 3+...−C202220214 . 32021+C2022202232022.

Chứng minh:

Cn03n+Cn13n−1+...+Cnk3n−k+...+Cnn−13+Cnn=Cn0+Cn13+...+Cnk3k+...+Cnn−13n−1+Cnn3n

Xác định hệ số của:

a) x¹² trong khai triển của (x + 4)³⁰;

b) x¹⁰ trong khai triển của (3 + 2x)³⁰;

c) x¹⁵ và x¹⁶ trong khai triển của 2x3−1751.

Xét khai triển của x+5212.

a) Xác định hệ số của x⁷.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số a_k của x^k với 0 ≤ k ≤ 12.

Xét khai triển của x2+1521.

a) Xác định hệ số của x¹⁰.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, tưr đó nêu hệ số a_k của x^k với 0 ≤ k ≤ 21.

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)⁸;

b) (a + b)⁹.

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+...+Cnn−1abn−1+Cnnbn với n∈ℕ^*.

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:

a) n⁵ – n chia hết cho 5∀ n∈ℕ^*;

b) n⁷ – n chia hết cho 7 ∀n  ∈ ℕ^*.

Cho tập hợp A = {x₁; x₂; x₃; ... ;x_n} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế?

Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh có màu khác nhau và chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày. Hỏi bạn Tiến có bao nhiêu cách để chọn bánh cho vào hộp trưng bày đó?

Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đó chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán. Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua 1 sản phẩm; nếu mua bộ đồ chơi lego, bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; còn nếu mua mô hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau. Bác Thành có bao nhiêu cách chọn quà sinh nhật cho con?

Giả sử tính trạng ở một loài cây được quy định do tác động cộng gộp của n cặp alen phân li độc lập A₁a₁, A₂a₂, ..., A_na_n. Cho cây F₁ dị hợp về n cặp alen giao phối với nhau. Tỉ lệ phân li kiểu hình của F₂ là hệ số của khai triển nhị thức Newton (a + b)²ⁿ, nghĩa là tỉ lệ phân li kiểu hình của F₂ là C2n0:C2n1:C2n2:...:C2n2n−2:C2n2b−1:C2n2n.

Cho biết một loài cây có tính trạng được quy định bởi tác động cộng gộp của 4 cặp alen phân li độc lập. Tìm tỉ lệ phân li kiểu hình của F₂ nếu cây F₁ dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau.