Bài tập Căn thức bậc hai của một bình phương lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {{x^2} + 2x + 1} \) với x > −1 là
x + 1.
x – 1.
1 – x.
−x – 1.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 1} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} = x + 1\) (do x > −1).
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {{x^2} - 10x + 25} \) với x < 5 là
>
x – 5.
x + 5.
5 – x.
−x – 5.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 10x + 25} = \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2}} = \left| {x - 5} \right| = 5 - x\) (do x < 5).
>
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {10} } \right)}^2}} \) ta được
\(\sqrt {10} - 3\).
\(3 - \sqrt {10} \).
\(\sqrt {10} + 3\).
\( - \sqrt {10} - 3\).
Đáp án đúng là: A
\(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {10} } \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt {10} } \right| = \sqrt {10} - 3\).
Rút gọn biểu thức P = 3x – \(2\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \) với x > 1 là
x + 2.
x – 2.
x – 2.
−x – 2.
Đáp án đúng là: A
Với x > 1, ta có: P = 3x – \(2\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \) = 3x – 2(x – 1) = 3x – 2x + 2 = x + 2.
Rút gọn biểu thức A = \(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } - \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với mọi x ≥ 2 được
0.
\(2\sqrt {x - 1} \).
2.
\( - 2\sqrt {x - 1} \).
Đáp án đúng là: A
Với mọi x ≥ 2, ta có:
A = \(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } - \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \)
= \(\sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} - \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} \)
= \(\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} \)
= \(\sqrt {x - 1} + 1 - \left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)\)
= \(\sqrt {x - 1} + 1 - \sqrt {x - 1} - 1 = 0\).
Rút gọn biểu thức \(B = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \) với 4 ≤ x ≤ 8 được
4.
0 .
\(\sqrt {x - 4} \).
\(2\sqrt {x - 4} \).
Đáp án đúng là: A
Với 4 ≤ x ≤ 8, ta có:
\(B = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \)
\(B = \sqrt {x - 4 + 4\sqrt {x - 4} + 4} + \sqrt {x - 4 - 4\sqrt {x - 4} + 4} \)
\(B = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)}^2}} \)
B = \(\sqrt {x - 4} \) + 2 + \(\left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\)
B = \(\sqrt {x - 4} \) + 2 + 2 − \(\sqrt {x - 4} \)
B = 4.
Rút gọn biểu thức A = \(\sqrt {{x^2} - 2x + 1} + \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}\) với x ≥ 1.
x – 2.
x + 1.
x.
2.
Đáp án đúng là: C
Với x ≥ 1, ta có:
\(A = \sqrt {{x^2} - 2x + 1} + \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}\)
A = \(\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} + \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} }}\)
A = x – 1 + 1
A = x.
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {48 - 10\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } } \) được
\(5 - \sqrt 3 \).
\(5 + \sqrt 3 \).
\( - 5 - \sqrt 3 \).
\(\sqrt 3 - 5\).
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(A = \sqrt {48 - 10\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } } \)
\(A = \sqrt {48 - 10\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} } \)
\(A = \sqrt {48 - 10\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \)
\(A = \sqrt {48 - 20 - 10\sqrt 3 } \)
A = \(\sqrt {28 - 2.5\sqrt 3 } \)
A = \(\sqrt {25 - 2.5\sqrt 3 + 3} \)
A = \(\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = 5 - \sqrt 3 \).
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {6 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } } } \) được
\(\sqrt 3 + 1\).
\(\sqrt 3 - 1\).
\( - \sqrt 3 - 1\).
\( - \sqrt 3 + 1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(A = \sqrt {6 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } } } \)
\(A = \sqrt {6 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} } } \)
\(A = \sqrt {6 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt 3 - 2} } \)
\(A = \sqrt {6 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} } \)
\(A = \sqrt {6 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \)
\(A = \sqrt {6 + 2\sqrt 3 - 2} \)
\(A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \)
\(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} \)
A = \(\sqrt 3 + 1\).
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 10 - \sqrt {25 + 4\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } } } \) được
3.
\(2\sqrt 5 \).
\( - 2\sqrt 5 \).
−3.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 10 - \sqrt {25 + 4\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } } } \)
\(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 10 - \sqrt {25 + 4\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} } } \)
\(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 10 - \sqrt {25 + 4\left( {\sqrt 5 - 1} \right)} } \)
\(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 10 - \sqrt {25 + 4\sqrt 5 - 4} } \)
\(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 10 - \sqrt {21 + 4\sqrt 5 } } \)
\(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 10 - \sqrt {20 + 2.\sqrt {20} + 1} } \)
\(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 10 - \sqrt {{{\left( {\sqrt {20} + 1} \right)}^2}} } \)
\(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 10 - \sqrt {20} - 1} \)
\(A = \sqrt {2\sqrt 5 + 10 - 2\sqrt 5 - 1} = \sqrt 9 = 3\).
Điều kiện xác định của B là x ≠ −3.
B = 3x + |x + 3|.
B = 2x – 3 khi x ≥ −3.
Giá trị của B tại x = −3 là −9.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai.
Ta có điều kiện xác định của B là x2 + 6x + 9 ≥ 0 hay (x + 3)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Do đó, B xác định với mọi x ∈ ℝ.
b) Đúng.
Ta có: \(B = 3x + \sqrt {9 + 6x + {x^2}} = 3x + \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} = 3x + \left| {x + 3} \right|\).
c) Sai.
Với x ≥ −3, ta có: B = 3x + (−x – 3) = 3x – x – 3 = 2x – 3.
d) Đúng.
Thay x = −3 (thỏa mãn điều kiện) vào B = 2.(−3) – 3 = −9.
Điều kiện xác định của C là x > 2.
C = \(\frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\).
Với x < 2 thì C = −1.
Với x > 2 thì C = 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Điều kiện xác định của C là x2 – 4x + 4 ≥ 0 và x – 2 ≠ 0.
Suy ra (x – 2)2 ≥ 0 (luôn đúng) và x ≠ 2.
Do đó, điều kiện xác định của C là x ≠ 2.
b) Đúng.
Ta có: \(C = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{{x - 2}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}{{x - 2}} = \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\).
c) Đúng.
Với x < 2 ta có: C = \(\frac{{2 - x}}{{x - 2}} = - 1\).
d) Đúng.
Với x > 2 ta có: \(C = \frac{{x - 2}}{{x - 2}} = 1\).
\(\sqrt {x - 2 + 2\sqrt {x - 3} } = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 3} + 1} \right)}^2}} \).
Điều kiện xác định của D là x > 3.
\(D = \frac{{1 + \sqrt {x - 3} }}{{1 + \sqrt {x - 3} }}\).
Với mọi giá trị của x, biểu thức D luôn có giá trị bằng 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(\sqrt {x - 2 + 2\sqrt {x - 3} } = \sqrt {x - 3 + 2\sqrt {x - 3} + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 3} + 1} \right)}^2}} \).
b) Sai.
Điều kiện xác định của D là: \({\left( {\sqrt {x - 3} + 1} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng); \(1 + \sqrt {x - 3} \ne 0\) (luôn đúng) và \(x - 3 \ge 0\).
Suy ra x ≥ 3.
b) Đúng.
Ta có: \(D = \frac{{\sqrt {x - 2 + 2\sqrt {x - 3} } }}{{1 + \sqrt {x - 3} }} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 3} + 1} \right)}^2}} }}{{1 + \sqrt {x - 3} }} = \frac{{\sqrt {x - 3} + 1}}{{\sqrt {x - 3} + 1}}\).
d) Sai.
Có \(D = \frac{{1 + \sqrt {x - 3} }}{{1 + \sqrt {x - 3} }} = 1\) vơi mọi x ≥ 3.
Vậy với mọi x ≥ 3 thì biểu thức D luôn có giá trị bằng 1.
Điều kiện xác định của C là x ≠ −5.
\(C = \frac{{2\left| {x + 5} \right|}}{{x + 5}}\).
Với x > −5 thì C = 2.
Với x < −5 thì C = −2
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Điều kiện xác định của biểu thức là: \(2{x^2} + 20x + 50 \ge 0\) và x + 5 ≠ 0.
Hay 2(x + 5)2 ≥ 0 (luôn đúng) và x ≠ −5.
Vậy điều kiện xác định của C là x ≠ −5.
b) Sai.
Ta có: \(C = \frac{{\sqrt {2{x^2} + 20x + 50} }}{{x + 5}} = \frac{{\sqrt {2{{\left( {x + 5} \right)}^2}} }}{{x + 5}} = \frac{{\sqrt 2 \left| {x + 5} \right|}}{{x + 5}}\) với mọi x ≠ −5.
c) Sai.
Với x > −5 thì ta có: \(C = \frac{{\sqrt 2 \left| {x + 5} \right|}}{{x + 5}} = \frac{{\sqrt 2 \left( {x + 5} \right)}}{{x + 5}} = \sqrt 2 \).
d) Sai.
Với x < −5 thì ta có: \(C = \frac{{\sqrt 2 \left| {x + 5} \right|}}{{x + 5}} = \frac{{\sqrt 2 \left( { - x - 5} \right)}}{{x + 5}} = \frac{{ - \sqrt 2 \left( {x + 5} \right)}}{{x + 5}} = - \sqrt 2 \).
\(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } = {\sqrt {\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)} ^2}\).
\(\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } = {\sqrt {\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)} ^2}\).
Điều kiện xác định của M là x ≥ 1.
Với x ≥ 1 thì M = 0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là:a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } = \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} \).
b) Đúng.
Ta có: \(\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } = \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} \).
c) Đúng.
Điều kiện xác định của M là:
• x – 1 ≥ 0 nên x ≥ 1.
• \(x + 2\sqrt {x - 1} = {\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng)
• \(x - 2\sqrt {x - 1} = {\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng).
d) Sai.
Với mọi x ≥ 1, ta có:
\(M = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } - \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {x - 1} + 1 - \left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\)
= 2.
Tính giá trị của biểu thức: \(B = \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {3 - \sqrt {29 - 6\sqrt {20} } } } \).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
\(B = \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {3 - \sqrt {29 - 6\sqrt {20} } } } \)
\( = \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {3 - \sqrt {20 - 2.3\sqrt {20} + 9} } } \)
\( = \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {3 - \sqrt {{{\left( {\sqrt {20} - 3} \right)}^2}} } } \)
\( = \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {3 - \sqrt {20} + 3} } \)
\( = \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {6 - \sqrt {20} } } \)
\( = \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {5 - 2.\sqrt 5 + 1} } \)
\( = \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} } \)
\( = \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt 5 + 1} \)
\( = \sqrt 1 \)
= 1.
Tính giá trị của biểu thức \(A = \sqrt {29 + 12\sqrt 5 } - \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } \).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 6
Ta có: \(A = \sqrt {29 + 12\sqrt 5 } - \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } \)
\( = \sqrt {20 + 2.3.2\sqrt 5 + 9} - \sqrt {20 - 2.3.2\sqrt 5 + 9} \)
\( = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 + 3} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 - 3} \right)}^2}} \)
\( = 2\sqrt 5 + 3 - 2\sqrt 5 + 3\)
= 6.
Cho biểu thức \(A = \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 } \). Biết rằng thu gọn ta được A = \(\sqrt a \) (a ∈ ℕ). Hỏi giá trị của a bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 6
Ta có: \(A = \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 } \)
\( = \sqrt {9 - 2.3\sqrt 6 + 6} + \sqrt {24 - 2.3.2\sqrt 6 + 9} \)
\( = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 6 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2\sqrt 6 - 3} \right)}^2}} \)
\( = 3 - \sqrt 6 + 2\sqrt 6 - 3\)
\( = \sqrt 6 \).
Vậy \(A = \sqrt 6 \), do đó a = 6.
Tính giá trị của biểu thức \(S = \sqrt {4\sqrt 2 + 4\sqrt {10 - 8\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } } } \).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 4
Ta có: \(S = \sqrt {4\sqrt 2 + 4\sqrt {10 - 8\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } } } \)
\( = \sqrt {4\sqrt 2 + 4\sqrt {10 - 8\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} } } \)
\( = \sqrt {4\sqrt 2 + 4\sqrt {10 - 8\left( {\sqrt 2 - 1} \right)} } \)
\( = \sqrt {4\sqrt 2 + 4\sqrt {10 - 8\sqrt 2 + 8} } \)
\( = \sqrt {4\sqrt 2 + 4\sqrt {18 - 8\sqrt 2 } } \)
\( = \sqrt {4\sqrt 2 + 4\sqrt {16 - 2.4.\sqrt 2 + 2} } \)
\( = \sqrt {4\sqrt 2 + 4\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 2 } \right)}^2}} } \)
\( = \sqrt {4\sqrt 2 + 4\left( {4 - \sqrt 2 } \right)} \)
\( = \sqrt {4\sqrt 2 + 16 - 4\sqrt 2 } \)
\( = \sqrt {16} \)
= 4.
Tính giá trị của biểu thức \(S = \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {48 - 10\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } } } \).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 5
Ta có: \(S = \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {48 - 10\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } } } \)
\( = \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {48 - 10\sqrt {4 + 2.2\sqrt 3 + 3} } } \)
\( = \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {48 - 10\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}^2}} } } \)
\( = \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {48 - 10\left( {\sqrt 3 + 2} \right)} } \)
\( = \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {48 - 10\sqrt 3 - 20} } \)
\( = \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {28 - 10\sqrt 3 } } \)
\( = \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {25 - 2.5\sqrt 3 + 3} } \)
\( = \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} } \)
\( = \sqrt {5\sqrt 3 + 5\left( {5 - \sqrt 3 } \right)} \)
\( = \sqrt {5\sqrt 3 + 25 - 5\sqrt 3 } \)
= 5.
