Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) trở thành 2t2 – 3t + 1 = 0

 (thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z).

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z)

 (Phương trình bậc hai với ẩn  ).

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

8cos2x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x - 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Vậy phương trình có tập nghiệm

{ + k2π;  + k2π; arcsin + k2π; π - arcsin + k2π (k ∈ Z).

Điều kiện: 

      2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm { + kπ; arctan + kπ} (k ∈ Z)

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne k\pi \end{array}\right.\iff x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

      tanx – 2.cotx + 1 = 0

 (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm

{ + kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z)

2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z)

Xét phương trình: \(2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x =  - 4\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin xc{\rm{os}}x - 4{\sin ^2}x =  - 4\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 6{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin xc{\rm{os}}x = 0\)

\( \Leftrightarrow 6\cos x\left( {c{\rm{os}}x - \sqrt 3 \sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\c{\rm{os}}x - \sqrt 3 \sin x = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\cos x}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos x \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos x \ne 0} \right)\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

 Điều kiện: 

Vậy phương trình có họ nghiệm 

 (k ∈ Z).

Điều kiện:

⇔ tan x.(1 - tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x - tan2x + 2.tan x = 0

⇔ tan2x - 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx - 3) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:

{arctan 3+kπ; k ∈ Z }

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z)

Ta có:  nên tồn tại α thỏa mãn 

(1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z)

với α thỏa mãn 

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z)

Vì  nên tồn tại α thỏa mãn 

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm 

 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn