Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = 3/2 , vô nghiệm vì |sin⁡x| ≤ 1

Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\sqrt{3}\text{tanx}+1=0$

$\iff \text{tanx}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff \text{x}=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\text{x}=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

3cos2x - 5 cos⁡ x + 2 = 0

Đặt cos⁡ x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*),

ta được phương trình bậc hai theo t:

3t2 - 5t + 2 = 0(1)

Δ = (-5)2 - 4.3.2 = 1

Phương trình (1)có hai nghiệm là: 

Ta có:

cos⁡x = 1 ⇔ cos⁡x = cos⁡0

⇔ x = k2π, k ∈ Z

cos⁡x = 2/3 ⇔ x = ± arccos⁡ 2/3 + k2π, k ∈ Z

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x=k2\pi ,x=\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

3tan2 x - 2√3 tan⁡x + 3 = 0

Đặt tan⁡x = t

ta được phương trình bậc hai theo t:

3t2 - 2√3 t + 3 = 0(1)

Δ = (-2√3)2 - 4.3.3 = -24 < 0

Vậy Phương trình (1) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn đề bài

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin2α + cos2α = 1

1 + tan2α = 1/(cos2α); α ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z

1 + cot2α = 1/(sin2α); α ≠ kπ, k ∈ Z

tan⁡α.cot⁡α = 1; α ≠ kπ/2, k ∈ Z

b) Công thức cộng:

cos⁡(a - b) = cos⁡a cos⁡b + sin⁡a sin⁡b

cos⁡(a + b) = cos⁡a cos⁡b - sin⁡a sin⁡b

sin⁡(a - b) = sin⁡a cos⁡b - cos⁡a sin⁡b

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

c) Công thức nhân đôi:

sin⁡2α = 2 sin⁡α cos⁡α

cos⁡2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α

d) Công thức biến đổi tích thành tổng:

cos⁡ a cos⁡b = 1/2 [cos⁡(a - b) + cos⁡(a + b) ]

sin⁡a sin⁡b = 1/2 [cos⁡(a - b) - cos⁡(a + b) ]

sin⁡a cos⁡b = 1/2 [sin⁡(a - b) + sin⁡(a + b) ]

Công thức biến đổi tổng thành tích:

3cos²6x + 8sin3x.cos3x – 4 = 0

$\iff$3(1 – sin²6x) + 4sin6x – 4 = 0

$\iff$- 3sin²6x + 4sin6x – 1 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{s}\text{in6x}=1\\ \mathrm{s}\text{in6x}=\frac{1}{3}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\text{x}=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\\ \text{x}=\frac{1}{6}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k\frac{\pi }{3}\\ \text{x}=-\frac{1}{5}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k\frac{\pi }{3}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$$\begin{gathered} \text{x}=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}, \\ \text{x}=\frac{1}{6}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k\frac{\pi }{3}, \\ \text{x}=-\frac{1}{5}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

a) √2 cos(x - π/4)

= √2.(cosx.cos π/4 + sinx.sin π/4)

= √2.(√2/2.cosx + √2/2.sinx)

= √2.√2/2.cosx + √2.√2/2.sinx

= cosx + sinx (đpcm)

b) √2.sin(x - π/4)

= √2.(sinx.cos π/4 - sin π/4.cosx )

= √2.(√2/2.sinx - √2/2.cosx )

= √2.√2/2.sinx - √2.√2/2.cosx

= sinx – cosx (đpcm).

$\sqrt{3}\sin 3x-cos3x=\sqrt{2}$

$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x-\frac{1}{2}cos3x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff cos\frac{\pi }{6}\sin 3x-\sin \frac{\pi }{6}cos3x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}3x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 3x-\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}3x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \\ 3x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $x=\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3},x=\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z).

2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) trở thành 2t2 – 3t + 1 = 0

 (thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z).

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z)

 (Phương trình bậc hai với ẩn  ).

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

8cos2x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x - 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Vậy phương trình có tập nghiệm

{ + k2π;  + k2π; arcsin + k2π; π - arcsin + k2π (k ∈ Z).

Điều kiện: 

      2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm { + kπ; arctan + kπ} (k ∈ Z)

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne k\pi \end{array}\right.\iff x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

      tanx – 2.cotx + 1 = 0

 (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm

{ + kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z)

2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z)

Xét phương trình: \(2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x =  - 4\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin xc{\rm{os}}x - 4{\sin ^2}x =  - 4\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 6{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin xc{\rm{os}}x = 0\)

\( \Leftrightarrow 6\cos x\left( {c{\rm{os}}x - \sqrt 3 \sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\c{\rm{os}}x - \sqrt 3 \sin x = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\cos x}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos x \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos x \ne 0} \right)\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

 Điều kiện: 

Vậy phương trình có họ nghiệm 

 (k ∈ Z).

Điều kiện:

⇔ tan x.(1 - tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x - tan2x + 2.tan x = 0

⇔ tan2x - 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx - 3) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:

{arctan 3+kπ; k ∈ Z }

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z)

Ta có:  nên tồn tại α thỏa mãn 

(1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z)

với α thỏa mãn 

Vậy phương trình có tập nghiệm 

 (k ∈ Z)

Vì  nên tồn tại α thỏa mãn 

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm 

 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn