Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

$$\begin{gathered} \cos 2x - \sin x - 1 = 0 \\ \iff 1 - 2{\sin }^{2}x - \sin x - 1 = 0 \\ \iff \sin x(2\sin x + 1) = 0 \end{gathered}$$

cosx.cos2x = 1 + sinx.sin2x

⇔ cosx.cos2x - sinx.sin2x = 1

⇔ cos3x = 1 ⇔ 3x = k2π

4sinx.cosx.cos2x = -1

⇔ 2sin2x.cos2x = -1

⇔ sin4x = -1

tanx = 3cotx (Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0)

Ta có:

Xét phương trình: 3cos²x – 2sinx + 2 = 0

$\iff 3\left(1-{\sin }^{2}x\right)-2\sin x+2=0$

$\iff \left(1-\sin x\right)\left(3\sin x+5\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{s}\text{inx=1}\\ \text{sinx}=-\frac{5}{3}\left(L\right)\end{array}\right.$

$\iff \mathrm{s}\text{inx=1}\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

$$\begin{gathered} 5{\sin }^{2}x + 3\cos x + 3 = 0 \\ \iff 5(1 - {\cos }^{2}x) + 3\cos x + 3 = 0 \\ \iff 5{\cos }^{2}x - 3\cos x - 8 = 0 \\ \iff (\cos x + 1)(5\cos x - 8) = 0 \\ \iff \cos x = -1 \\ \iff x = (2k + 1)\pi , k \in Z \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\sin }^{6}x + {\cos }^{6}x = 4{\cos }^{2}2x \\ \iff {\left({\sin }^{2}x + {\cos }^{2}x\right)}^3- 3{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x({\sin }^{2}x + {\cos }^{2}x) = 4{\cos }^{2}2x \end{gathered}$$

Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Phương trình đã cho trở thành:

\[2\tan x - 3\frac{1}{{\tan x}} - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - 2\tan x - 3 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\\\tan x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan \,\frac{{1 + \sqrt 7 }}{2} + k\pi \\x = \arctan \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có nghiệm là:

\[x = \arctan \,\frac{{1 + \sqrt 7 }}{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z};\]

\[x = \arctan \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\].

${\cos }^{2}x = 3\sin 2x + 3$

Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

cotx - cot2x = tanx + 1 (1)

Điều kiện: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Khi đó:

${\cos }^{2}x + 2\sin x.\cos x + 5{\sin }^{2}x = 2$

Rõ ràng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos2x ta được:

$$\begin{gathered} 1 + 2\tan x + 5{\tan }^{2}x = 2(1 + {\tan }^{2}x) \\ \iff 3{\tan }^{2}x + 2\tan x - 1 = 0 \end{gathered}$$

$3{\cos }^{2}x - 2\sin 2x + {\sin }^{2}x = 1$

Với cosx = 0 ta thấy hai vế đều bằng 1. Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5π + kπ, k ∈ Z

Trường hợp cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos2x ta được:

$$\begin{gathered} 3 - 4\tan x + \tan 2^{}x = 1 + {\tan }^{2}x \\ \iff 4\tan x = 2 \\ \iff \tan x = 0,5 \\ \iff x = arc\tan 0,5 + k\pi , k \in Z \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của phương trình là

x = 0,5π + kπ, k ∈ Z

và x = arctan 0,5 + kπ, k ∈ Z

4cos²x − 3sinx.cosx + 3sin²x = 1

\[ \Leftrightarrow \] 4cos²x − 3sinx.cosx + 3sin²x = cos²x + sin²x

\[ \Leftrightarrow \] 3cos²x − 3sinx.cosx + 2sin²x = 0.

Khi cos x = 0 thì sin x = ±1 nên dễ thấy các giá trị của x mà cos x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

Do đó, ta chia hai vế của phương trình đã cho cos²x, ta được phương trình tương đương:

\[3 - 3\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - 3\tan x + 3 = 0\] (*)

Phương trình (*) vô nghiệm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=2\alpha +k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ và $x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.

8 cos⁴x – 4 cos 2x + sin 4x – 4 = 0

\[ \Leftrightarrow 8{\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2} - 4\cos 2x + \sin 4x - 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2(1 + 2\cos 2x + {\cos ^2}2x) - 4\cos 2x + \sin 4x - 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x + \sin 4x - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 1 + \cos 4x + \sin 4x - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \cos 4x + \sin 4x = 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos 4x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 4x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{4}\cos 4x + \cos \frac{\pi }{4}\sin 4x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k2\pi \\4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k2\pi \\4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \frac{{k\pi }}{2}\]; \[x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Đối với những phương trình lượng giác chứa tanx, cotx, sin2x hoặc cos2x, ta có thể đưa về phương trình chứa cosx, sinx, sin2x, hoặc cos2x ngoài ra cũng có thể đặt ẩn phụ t = tanx để đưa về một phương trình theo t.

Cách 1: Điều kiện của phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\\ \sin 2x\ne 0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \sin 2x\ne 0 \\ \iff 2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z}) \left(1\right) \end{gathered}$$

Ta có:

Cách 2. Đặt t = tanx

Điều kiện t ≠ 0 (2)

Phương trình đã cho có dạng

$$\begin{gathered} 1 + \sin x - \cos x - \sin 2x + 2\cos 2x = 0 \left(1\right) \\ Ta có: \\ 1 - \sin 2x = {\left(\sin x - \cos x\right)}^2 \\ \iff 2\cos 2x = 2({\cos }^{2}x - {\sin }^{2}x) = -2(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) \\ Vậy \left(1\right) \iff (\sin x - \cos x)(1 + \sin x - \cos x - 2\sin x - 2\cos x) = 0 \\ \iff (\sin x - \cos x)(1 - \sin x - 3\cos x) = 0 \end{gathered}$$

Điều kiện: sin x ≠ 0 \[ \Leftrightarrow \] x ≠ kπ, \[k \in \mathbb{Z}\]

\[\sin x - \frac{1}{{\sin x}} = {\sin ^2}x - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x - 1}}{{\sin x}} = \frac{{{{\sin }^4}x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\]

\[ \Leftrightarrow \sin x({\sin ^2}x - 1) = {\sin ^4}x - 1\]

\[ \Leftrightarrow \sin x({\sin ^2}x - 1) - ({\sin ^2}x + 1)({\sin ^2}x - 1) = 0\]

\[ \Leftrightarrow ({\sin ^2}x - 1)( - {\sin ^2}x + \sin x - 1) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (\sin x + 1)(\sin x - 1)( - {\sin ^2}x + \sin x - 1) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + 1 = 0\\\sin x - 1 = 0\\ - {\sin ^2}x + \sin x - 1 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - 1\\\sin x = 1\\{\sin ^2}x - \sin x + 1 = 0\,\,(L)\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\].

Kết hợp với điều kiện ta suy ra nghiệm của phương trình \[x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\].

cosx.tan3x = sin5x

Điều kiện: cos3x ≠ 0. Khi đó,

(3)⇔ cosx.sin3x = cos3x.sin5x

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:

$2{\tan }^{2}x + 3\tan x + 2co{t}^{2}x + 3cotx + 2 = 0$