Bài 3: Hàm số liên tục

Hàm số này có tập xác định là R \ {0}

Từ đồ thị (H.7) dự đoán f(x) liên tục trên các khoảng (−∞;0), (0; +∞) nhưng không liên tục trên R. Thật vậy,

- Với x > 0, f(x) = x − 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (0; +∞)

- Với x < 0, f(x) = 1 – x cũng là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (−∞; 0)

Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì

Xét hàm số

- Trường hợp x ≤ 0

f(x) = x + 2 là hàm đa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]

- Trường hợp x > 0

f(x) = 1 / x2 là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (2; 0) thuộc tập xác định của nó.

Như vậy f(x) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)

Tuy nhiên, vì  nên hàm số f(x) không cógiới hạn hữu hạn tại x = 0. Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2)

Vì hàm số liên tục trên (a; b] nên liên tục trên (a; b) và

 (1)

Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) liên tục trên các khoảng (a; b), (b; c) và liên tục tại x = b

(vì  ).

Nghĩa là nó liên tục trên (a; c)

Đặt 

Suy ra g(x) xác định trên (a;b) \ x0 và 

Mặt khác, f(x) = f(x0) + L(x − x0) + (x − x0)g(x) nên

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại

Hàm số  có tập xác định là [-5; +∞).

Do đó, nó xác định trên khoảng (-5; +∞) chứa x = 4

Vì  

nên f(x) liên tục tại x = 4

Hàm số:  

tại x = 1 có tập xác định là R

Ta có g(1) = -2 (1)

Từ (1), (2) và (3) suy ra 

Vậy g(x) liên tục tại x = 1

Tập xác định của hàm số là D = R

- Nếu x ≠ √2 thì 

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng (-∞; √2) và (√2; +∞)

- Tại x = √2:

Vậy hàm số liên tục tại x = √2

Kết luận : y = f(x) liên tục trên R

có tập xác định là D = R

- Nếu x ≠ 2 thì  

là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)

Tại x = 2: 

Vậy hàm số y = g(x) không liên tục tại x = 2

Kết luận: y = g(x) liên tục trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞) nhưng gián đoạn tại x = 2

Xét f(x) = x5 − 3x − 7 và hai số 0; 2.

 Xét f(x) = cos2x - sinx + 2 trên các khoảng 

 m(2cosx − √2) = 2sin5x + 1

Xét hàm số f(x) = m(2cosx − √2) - 2sin5x - 1

trên đoạn 

Hàm số f(x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0 xác định trên R

- Ta có

Vì  nên với dãy số (xn) bất kì mà xn → +∞ ta luôn có lim f(xn) = +∞

Do đó, f(xn) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì f(xn) > 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho f(a) > 1 (1)

Vì  nên với dãy số (xn) bất kì mà xn → −∞ ta luôn có lim f(xn) = −∞ hay lim[−f(xn)] = +∞

Do đó, −f(xn) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì −f(xn) > 1 kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho −f(b) > 1 hay f(b) < −1 (2)

- Từ (1) và (2) suy ra f(a).f(b) < 0

Mặt khác, f(x) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]

Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)

Ví dụ minh hoạ :

- f(x) = x2 − 1 liên tục trên đoạn [−2;2], f(−2).f(2) = 9 > 0

Phương trình x2 – 1 = 0 có nghiệm x = 1 hoặc x = -1 trong khoảng (-2; 2)

- f(x) = x2 + 1 liên tục trên đoạn [-1; 1] và f(−1).f(1) = 4 > 0. Còn phương trình x2 + 1 = 0 lại vô nghiệm trong khoảng (-1; 1)

Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng f(a).f(b) < 0 thì phươngtrình f(x) = 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)

Minh hoạ hình hoạ (H.8):