Bài 3: Hàm số liên tục

Cho hàm số f(x) = x-1xx

Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.

Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)

Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x0

Chứng minh rằng nếu limx→x0 f(x) - f(x0)x - x0 = L thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x0

Đặt g(x) = f(x) - f(x0 )x - x0 - L  và biểu diễn f(x) qua g(x)

Xét tính liên tục của các hàm số sau: f(x) = x + 5 tại x = 4

Xét tính liên tục của các hàm số sau: g(x) = x - 12 - x - 1 nếu x≤1-2x nếu x≥1 tại x = 1

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng f(x) = x2 - 2x - 2 nếu x≠222 nếu x = 2

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng g(x) = 1 - xx - 22 nếu x ≠23 nếu x = 2

Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x) = x - 1x2 -1 nếu x ≠1m2  nếu x = 1 liên tục tại x = 1

Chứng minh rằng phương trình x5 − 3x − 7 = 0 luôn có nghiệm

Chứng minh rằng phương trình cos2x = sinx − 2 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng -π6 ; π

Chứng minh rằng phương trình x3 + 6x + 1 -2 = 0 có nghiệm dương

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m (1 − m2)x + 13 + x2 – x – 3 = 0

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m m(2cosx − 2) = 2sin5x + 1

Chứng minh phương trình luôn xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0 có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Cho ví dụ minh hoạ.

Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh hoạ hình học.