Bài 3: Hàm số liên tục

Hàm số này có tập xác định là R \ {0}

Từ đồ thị (H.7) dự đoán f(x) liên tục trên các khoảng (−∞;0), (0; +∞) nhưng không liên tục trên R. Thật vậy,

- Với x > 0, f(x) = x − 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (0; +∞)

- Với x < 0, f(x) = 1 – x cũng là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (−∞; 0)

Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì

Xét hàm số

- Trường hợp x ≤ 0

f(x) = x + 2 là hàm đa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]

- Trường hợp x > 0

$f\left(x\right) = 1 / x^2$ là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (2; 0) thuộc tập xác định của nó.

Như vậy f(x) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)

Tuy nhiên, vì  nên hàm số f(x) không cógiới hạn hữu hạn tại x = 0. Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2)

Vì hàm số liên tục trên (a; b] nên liên tục trên (a; b) và

 (1)

Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) liên tục trên các khoảng (a; b), (b; c) và liên tục tại x = b

(vì  ).

Nghĩa là nó liên tục trên (a; c)

Đặt 

Suy ra g(x) xác định trên $(a;b) \backslash \left\{x_0\right\}$ và 

Mặt khác, $f\left(x\right) = f\left(x_0\right) + L(x - x_0) + (x - x_0)g\left(x\right)$ nên

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại

Hàm số  có tập xác định là [-5; +∞).

Do đó, nó xác định trên khoảng (-5; +∞) chứa x = 4

Vì  

nên f(x) liên tục tại x = 4

Hàm số:  

tại x = 1 có tập xác định là R

Ta có g(1) = -2 (1)

Từ (1), (2) và (3) suy ra 

Vậy g(x) liên tục tại x = 1

Tập xác định của hàm số là D = R

- Nếu x ≠ √2 thì 

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng (-∞; √2) và (√2; +∞)

- Tại x = √2:

Vậy hàm số liên tục tại x = √2

Kết luận : y = f(x) liên tục trên R

có tập xác định là D = R

- Nếu x ≠ 2 thì  

là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)

Tại x = 2: 

Vậy hàm số y = g(x) không liên tục tại x = 2

Kết luận: y = g(x) liên tục trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞) nhưng gián đoạn tại x = 2