Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

2sinx – 1 = 0 ⇒ sin x = 1/2

⇒ một giá trị của x sao cho 2sinx – 1 = 0 là x = pi/6

Không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2

Lời giải: $\mathrm{s}\text{inx}=\frac{1}{3}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình:

$$\begin{gathered} x=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi , \\ x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

-√2/2 = sin⁡(-45o) nên sin⁡(x + 45o ) = (-√2)/2

⇔ sin⁡(x+45o) = sin⁡(-45o)

Khi đó,x + 45o = -45o + k360o, k ∈ Z

⇒ x = -45o - 45o + k360o, k ∈ Z

và x + 45o = 180o - (-45o ) + k360o, k ∈ Z

⇒ x = 180o - (-45o ) - 45o + k360o,k ∈ Z

Vậy: x = -90o + k360o, k ∈ Z và x = 180o + k360o, k ∈ Z

-1/2 = cos 2π/3 nên cos ⁡x = (-1)/2

⇔ cos ⁡x = cos 2π/3

⇔ x = ±2π/3 + k2π, k ∈ Z

cos ⁡x = 2/3 ⇒ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z

√3/2 = cos30o nên cos⁡(x + 30o )= √3/2

⇔ cos⁡(x + 30o ) = cos 30o

⇔ x + 30o = ±30o + k360o, k ∈ Z

⇔ x = k360o, k ∈ Z và x = -60o + k360o, k ∈ Z

Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

tan x = 1

$\iff \tan x=\tan \frac{\pi }{4}$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

tan⁡ x = -1 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ (-π)/4 ⇔ x =(-π)/4 + kπ, k ∈ Z

Điều kiện $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Khi đó, ta có: $\tan x=0$

$\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Điều kiện: $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Khi đó phương trình: cotx = 1

$\iff \cot x=\cot \left(\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Điều kiện xác định: $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Ta có: $\cot x=0$

$\iff \frac{\cos x}{\mathrm{s}\text{inx}}=0$

$\iff \cos x=0$

$\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

$\sin \left(x+2\right)=\frac{1}{3}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x+2=\text{arcsin}\frac{1}{3}+k2\pi \\ x+2=\pi -\text{arcsin}\frac{1}{3}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\text{arcsin}\frac{1}{3}-2+k2\pi \\ x=\pi -\text{arcsin}\frac{1}{3}-2+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

$$\begin{gathered} x=\text{arcsin}\frac{1}{3}-2+k2\pi , \\ x=\pi -\text{arcsin}\frac{1}{3}-2+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

Ta có: sin 3x = sin x

Vậy với  thì sin x = sin 3x.

Vậy phương trình có họ nghiệm 

cos3x = cos12°

⇔ 3x = ±12° + k.360°, k ∈ ℤ

⇔ x = ±4° + k.120°, k ∈ ℤ

Vậy phương trình có họ nghiệm x = ±4° + k.120° (k ∈ ℤ)

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Vậy phương trình có 4 họ nghiệm 

+ Điều kiện: sin 2x ≠ 1.

+ Xét k lẻ. Đặt k = 2n + 1

 ∀ n (TMDK).

+ Xét k chẵn. Đặt k = 2n

 ∀ n (Không TMDK).

Vậy phương trình có họ nghiệm 

(Điều kiện : x – 15º ≠ 90º + k.180º với ∀ k ∈ Z)

⇔ x – 15º = 30º + k180º , k ∈ Z

⇔ x = 45º + k.180º, k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = 45º + k.180º (k ∈ Z).

Điều kiện: 3x - 1 ≠ kπ ∀ k ∈ Z

Mọi giá trị thuộc họ nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có họ nghiệm 

(Điều kiện xác định:  ).

Vậy phương trình có hai họ nghiệm  (k ∈ Z).

sin3x.cotx = 0

(Điều kiện xác định: x ≠ kπ ∀ k ∈ Z).

Kết hợp với điều kiện ta được 

Vậy phương trình có các họ nghiệm 

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra 

 (k ∈ Z)

Vậy với  (k ∈ Z)

thì 

sin3x - cos5x = 0

Vậy phương trình có hai họ nghiệm  (k ∈ Z).

tan3x.tanx = 1 (Điều kiện:  )

Các nghiệm thuộc họ nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z).