Bài 2: Giới hạn của hàm số

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn $\underset{x\to 5}{\lim } \frac{x+3}{x-3}$

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$

Cho hàm số $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}{x}^2 nếu x\ge 0\\ x^2 - 1 nếu x<0\end{array}\right.$

a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x → 0

b) Dùng định nghĩa chứng minh định nghĩa trên

Chứng minh rằng hàm số y = sinx không có giới hạn khi x → +∞

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng xác định trên khoảng (−∞;a). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right) = L và \underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right) = M$

thì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right).g\left(x\right) = L.M$

Tìm giới hạn của các hàm số sau $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2 - 2x - 3}{x - 1}$

Tìm giới hạn của các hàm số sau $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^3 + 15}{{\left(x + 2\right)}^2}$

Tìm giới hạn của các hàm số sau $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{4x^2 - x +1}$

Tìm giới hạn của các hàm số sau $\underset{x\to 2^{+}}{\lim } \frac{x - 15}{x + 2}$

Tìm giới hạn của các hàm số sau $\underset{x\to 2^{-}}{\lim } \frac{x - 15}{x + 2}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to -3}{\lim } \frac{x + 3}{x^2 + 2x - 3}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim } \frac{x-1}{x^2 - 1}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to + \infty }{\lim } \frac{x - 5}{\sqrt{x} + \sqrt{5}}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to 5}{\lim } \frac{x - 5}{\sqrt{x} - \sqrt{5}}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to 1}{\lim } \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x + 3} - 2}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1 - 2x + 3x^3}{x^3 - 9}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to 0}{\lim } \frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{x^2 + 1} - 1\right)$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to -\infty }{\lim } \frac{\left(x^2 - 1\right){\left(1 - 2x\right)}^5}{x^7 + x +3}$

Tính giới hạn của các hàm số sau khi x → +∞ và khi x → -∞ $f\left(x\right) = \frac{\sqrt{x^2 - 3x}}{x+2}$

Tính giới hạn của các hàm số sau khi x → +∞ và khi x → -∞ $f\left(x\right) = x + \sqrt{x^2 -x + 1}$

Tính giới hạn của các hàm số sau khi x → +∞ và khi x → -∞ $f\left(x\right) =\sqrt{x^2 - x} - \sqrt{x^2 + 1}$

Cho khoảng K, $x_0 \in K$ và hàm số y = f(x) xác định trên $K \backslash \left\{x_0\right\}$

Chứng minh rằng nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x ) = +\infty$ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc sao cho f(c) > 0

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞)

Chứng minh rằng nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right) = -\infty$ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc (a; +∞) sao cho f(c) < 0