Bài 1: Giới hạn của dãy số
20 câu hỏi
Biết rằng dãy số (un) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn = |un| cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không?
Vì (un) có giới hạn là 0 nên |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, |vn| = ||un|| = |un|. Do đó, |vn| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy (vn) có giới hạn là 0.
Cho biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (vn) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (un + vn) có thể có giới hạn hữu hạn không?
Dãy (un + vn) không có giới hạn hữu hạn.
Thật vậy, giả sử ngược lại (un + vn) có giới hạn hữu hạn.
Khi đó, các dãy số (un + vn) và (un) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúng cũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là un + vn − un = vn có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết (vn) không có giới hạn hữu hạn.
Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết lim un = −∞ và vn ≤ un với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (vn) khi n → +∞?
Vì lim un = −∞ nên lim(−un) = +∞. Do đó (−un) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)
Mặt khác, vì vn ≤ un với mọi n nên (−vn) ≥ (−un) với mọi n. (2)
Từ (1) và (2) suy ra (−vn) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, lim(−vn) = +∞ hay lim vn = −∞
Tìm lim vn với vn = -n!
Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ an= 2n-3n2 +1n3 + n1
lim an=lim 2n-3n2 +1n3 + n1= -3
Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ bn = 3n2 - 5n + 1n2 + 4
lim bn =lim 3n2 - 5n + 1n2 + 4 = +∞
Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ cn = 2nnn2 + 2n - 1
lim cn =lim 2nnn2 + 2n - 1 = 0
Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ un = 2n + 1n
Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ vn = -2πn + 3n4n
lim vn =lim -2πn + 3n4n = 0
Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n → + ∞ un = 3n - 4n + 12.4n + 2n
lim un =lim 3n - 4n + 12.4n + 2n = -12
Tính các giới hạn sau lim(n2 + 2n − 5)
lim(n2 + 2n − 5) = + ∞
Tính các giới hạn sau: lim(−n3 − 3n2 − 2)
lim(−n3 − 3n2 − 2) = - ∞
Tính các giới hạn sau: lim[4n + −2n]
lim[4n + −2n] = + ∞
Cho hai dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu lim vn = 0 và |un| ≥ vn với mọi n thì lim un = 0
lim vn = 0 ⇒ |vn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)
Vì |un| ≤ vn và vn ≤ |vn| với mọi n, nên |un| ≤ |vn| với mọi n. (2)
Từ (1) và (2) suy ra |un| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim un=0
Biết un - 2≤13n Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (un)?
Đáp án: lim un = 2
Cho dãy số (un) xácđịnh bởi công thức truy hồi u1 = 2un+1 = un + 12 với n≥1
Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi Tìm giới hạn đó.
Ta có
Dự đoán
Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp (bạn đọc tự chứng minh).
Từ đó
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1; -12; 14; -18;....; -12n-1; .....
Đáp số: 2/3
Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3
Đáp số: 
Cho dãy số (bn) có số hạng tổng quát là bn = sin α + sin2α + ... + sinnα với α ≠ π/2 + kπ. Tìm giới hạn của (bn)
Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212... (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
ta có a = 34,121212... = 1126/33
