92 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Phương trình mặt cầu có đáp án - Đề 3
30 câu hỏi
Trong không gian Oxyz cho điểm \(I(2;3;4)\) và \(A\left( {1;2;3} \right)\). Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là:
\({(x + 2)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 4)^2} = 3\).
\({(x + 2)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 9\).
\({(x - 2)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 45\).
\({(x - 2)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3\).
Chọn D
Bán kính mặt cầu là \(R = IA = \sqrt 3 \).
Phương trình mặt cầu tâm \(I(2;3;4)\) và \(R = IA = \sqrt 3 \) là \({(x - 2)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3\)
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \(I\left( {1;1;1} \right)\) và \(A\left( {1;2;3} \right)\). Phương trình của mặt cầu có tâm \(I\) và đi qua \(A\) là
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 29\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5\).
Chọn B
Bán kính của mặt cầu: \(r = IA = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \).
Phương trình mặt cầu: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(O{\kern 1pt} xyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\),\(B\left( {5;4; - 1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\).
Chọn A
+ Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow I\left( {3;3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} \left( {4;2; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {16 + 4 + 16} = 6\)
+ Mặt cầu đường kính \(AB\)có tâm \(I\left( {3;3;1} \right)\), bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = 3\) có phương trình là:
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {7\,; - 2\,;2} \right)\) và \(B\left( {1\,;2\,;4} \right)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đường kính \(AB\)?
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 14\).
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\sqrt {14} \).
\({\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 14\).
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56\).
Chọn D
Mặt cầu nhận \(AB\) làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm \(I\left( {4\,;\,0\,;\,3} \right)\) của \(AB\) làm tâm và có bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {56} \).
Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[M\left( {3; - 2;5} \right)\], \[N\left( { - 1;6; - 3} \right)\]. Mặt cầu đường kính \[MN\] có phương trình là:
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\].
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\].
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 36\].
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\].
Chọn D
Tâm \(I\) của mặt cầu là trung điểm đoạn \(MN\)\( \Rightarrow \)\(I\left( {1;2;1} \right)\).
Bán kính mặt cầu \(R = \frac{{MN}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 5} \right)}^2}} }}{2} = 6\).
Vậy phương trình mặt cầu là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 4;0} \right)\) và bán kính bằng \(3\). Phương trình của \(\left( S \right)\) là
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 9\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 9\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 3\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 3\).
Chọn B
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 4;0} \right)\) có bán kính \(3\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 9\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {1;\,\,2;\,\, - 1} \right)\] và bán kính \[R = 2\]. Phương trình của \[\left( S \right)\] là
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\].
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\].
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\].
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\].
Chọn A
Phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {1;\,\,2;\,\, - 1} \right)\] và bán kính \[R = 2\] là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\].
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {5\,;\,2\,;\,1} \right)\), \(B\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\). Phương trình của mặt cầu đường kính \(AB\) là
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 20\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20\).
Chọn C
Trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) có toạ độ là \(\left( {{x_I}\,;\,{y_I}\,;\,{z_I}} \right)\).
Trong đó \({x_I} = \frac{{5 + 1}}{2} = 3\); \({y_I} = \frac{{2 + 0}}{2} = 1\); \({z_I} = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\). Suy ra \(I\left( {3\,;\,1\,;\,1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {2\,;\,1\,;\,0} \right)\), \(IA = \sqrt {4 + 1 + 0} = \sqrt 5 \).
Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm là \(I\left( {3\,;\,1\,;\,1} \right)\) và bán kính \(R = IA = \sqrt 5 \) nên có phương trình là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).
Trong không gian\(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm \(I\left( {1;0; - 1} \right)\)và bán kính\(R = \sqrt 2 \). Phương trình của \(\left( S \right)\)là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \sqrt 2 \).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \sqrt 2 \).
Chọn C
Phương trình của \(\left( S \right)\)là\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\)
Trong không gian \[Oxyz\], cho 2 điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\)và \(B\left( { - 1;0;5} \right)\). Phương trình của mặt cầu đường kính \(AB\)là
\({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3\).
\({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 12\).
\({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 3\).
\({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 12\).
Mặt cầu đường kính \(AB\)nhận trung điểm \(I\) của \(AB\)là tâm, bán kính \(R = \frac{{AB}}{2}\)
Ta có \(I\left( {0,1,4} \right)\) và \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt 3 \)
Phương trình mặt cầu \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3\)
Trong không gian \[Oxyz\]có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên \[m\] để phương trình
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4mx + 2my - 2mz + 9{m^2} - 28 = 0\] là phương trình mặt cầu?
\[7\].
\[8\].
\[9\].
\[6\].
Chọn A
Ta có \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4mx + 2my - 2mz + 9{m^2} - 28 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {x + 2m} \right)^2} + {\left( {y + m} \right)^2} + {\left( {z - m} \right)^2} = 28 - 3{m^2}\] \[\left( 1 \right)\].
\[\left( 1 \right)\] là phương trình mặt cầu \[ \Leftrightarrow 28 - 3{m^2} > 0 \Leftrightarrow - \sqrt {\frac{{28}}{3}} < m < \sqrt {\frac{{28}}{3}} \].
Do \[m\] nguyên nên \[m \in \left\{ { - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3} \right\}\].
Vậy có \[7\] giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian \(Oxyz\), có tất cả bao nhiêu giá nguyên của \(m\) để
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m - 1} \right)z + 3{m^2} - 5 = 0\) là phương trình một mặt cầu?
\(4\)
\(6\)
\(5\)
\(7\)
Chọn D
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} - 3{m^2} + 5 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 10 < 0\\ \Leftrightarrow - 1 - \sqrt {11} < m < 1 + \sqrt {11} \end{array}\)
Theo bài ra \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = \left\{ {\left. { - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4} \right\}} \right. \Rightarrow \) có \(7\) giá trị của \(m\) nguyên thỏa mãn bài toán.
Cho phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2my + 3{m^2} - 2m = 0\] với \[m\] là tham số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của \[m\] để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.
\[0\].
\[1\].
\[2\].
\[3\].
Chọn B
Giả sử \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2my + 3{m^2} - 2m = 0\] là phương trình mặt cầu.
Khi đó tâm mặt cầu là \[I\left( {2;\, - m;\,0} \right)\], và bán kính \[R = \sqrt {4 + {m^2} - \left( {3{m^2} - 2m} \right)} = \sqrt { - 2{m^2} + 2m + 4} \]. với điều kiện\[ - 2{m^2} + 2m + 4 > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - 1;\,2} \right)\].
Do \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;\,1} \right\}\].
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của \[m\] bằng 1.
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( { - 1;3;0} \right)\] và bán kính bằng \[2\]. Phương trình của mặt cầu \[\left( S \right)\] là:
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 2\].
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 4\].
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 4\].
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 2\].
Chọn C
Phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( { - 1;3;0} \right)\] và bán kính bằng \[R = 2\] có dạng:
\[{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 4\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\, - 3} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\). Phương trình của \(\left( S \right)\) là
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\).
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 5\).
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\).
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 5\).
Chọn A
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\, - 3} \right)\) và bán kính \(R\) là: \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {R^2}\).
Ta có: \(M \in \left( S \right) \Rightarrow {4^2} + {0^2} + {\left( {0 + 3} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {R^2} = 25\).
Vậy phương trình cần tìm là: \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;7} \right),B\left( { - 3;8; - 1} \right)\). Mặt cầu đường kính \(AB\) có phương trình là
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \sqrt {45} \).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 45\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \sqrt {45} \).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 45\).
Chọn D
Gọi \(I\)là trung điểm \(AB\) ta có \(I\left( { - 1;3;3} \right)\) là tâm mặt cầu.
Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {45} .\)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 45\).
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\left( {2;\,1;\,0} \right)\), đi qua điểm \(B\left( {0;\,1;\,2} \right)\)?
\(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 8\).
\(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 8\).
\(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 64\).
\(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 64\).
Chọn B
Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(A\left( {2;\,1;\,0} \right)\), đi qua điểm \(B\left( {0;\,1;\,2} \right)\) nên mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(A\left( {2;\,1;\,0} \right)\) và nhận độ dài đoạn thẳng \(AB\) là bán kính.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2:\,0;\,2} \right)\). \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \). Suy ra: \(R = 2\sqrt 2 \).
Vậy: \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 8\).
Trong không gian Oxyz cho điểm \(I(2;3;4)\) và \(A\left( {1;2;3} \right)\). Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là:
\({(x + 2)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 4)^2} = 3\).
\({(x + 2)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 9\).
\({(x - 2)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 45\).
\({(x - 2)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3\).
Chọn D
Bán kính mặt cầu là \(R = IA = \sqrt 3 \).
Phương trình mặt cầu tâm \(I(2;3;4)\) và \(R = IA = \sqrt 3 \) là \({(x - 2)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(O{\kern 1pt} xyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\),\(B\left( {5;4; - 1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\).
Chọn A
+ Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow I\left( {3;3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} \left( {4;2; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {16 + 4 + 16} = 6\)
+ Mặt cầu đường kính \(AB\)có tâm \(I\left( {3;3;1} \right)\), bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = 3\) có phương trình là:
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[M\left( {3; - 2;5} \right)\], \[N\left( { - 1;6; - 3} \right)\]. Mặt cầu đường kính \[MN\] có phương trình là:
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\].
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\].
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 36\].
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\].
Chọn D
Tâm \(I\) của mặt cầu là trung điểm đoạn \(MN\)\( \Rightarrow \)\(I\left( {1;2;1} \right)\).
Bán kính mặt cầu \(R = \frac{{MN}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 5} \right)}^2}} }}{2} = 6\).
Vậy phương trình mặt cầu là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\].
Cho hai điểm \[A,B\] cố định trong không gian có độ dài \[AB\] là \[4\]. Biết rằng tập hợp các điểm \[M\] trong không gian sao cho \[MA = 3MB\] là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng
\[3\].
\(\frac{9}{2}\).
\[1\].
\(\frac{3}{2}\).
Chọn D
Ta có: \[MA = 3MB \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} = 9{\overrightarrow {MB} ^2}\]\[ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} = 9{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow I{A^2} - 9I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} } \right) = 8M{I^2}\,\,\left( 1 \right)\]
Gọi \[I\] thỏa mãn \[\overrightarrow {IA} - 9\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow {AB} \] nên \(IB = \frac{1}{2};\,IA = \frac{9}{2}\).
Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \[ \Leftrightarrow 8M{I^2}\, = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2}\] suy ra \(M \in S\left( {I;\frac{3}{2}} \right).\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right)\) qua bốn điểm \(A\left( {3;3;0} \right)\), \(B\left( {3;0;3} \right)\), \(C\left( {0;3;3} \right)\), \(D\left( {3;3;3} \right)\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là
\({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
\({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\).
\({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\).
\({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\).
Chọn D
Gọi phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\)
Vì mặt cầu đi qua 4 điểm nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}18 - 6a - 6b + d = 0\\18 - 6a - 6c + d = 0\\18 - 6b - 6c + d = 0\\27 - 6a - 6b - 6c + d = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a - 6b + d = - 18\\ - 6a - 6c + d = - 18\\ - 6b - 6c + d = - 18\\ - 6a - 6b - 6c + d = - 27\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{3}{2}\\d = 0\end{array} \right.\)
Suy ra tâm \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy phương trình mặt cầu \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\).
Trong không gian \(Oxyz\). Cho tứ diện đều \(ABCD\) có \(A\left( {0;\,1;\,2} \right)\) và hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(H\left( {4;\, - 3;\, - 2} \right)\). Tìm tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
\(I\left( {3;\, - 2;\, - 1} \right)\).
\(I\left( {2;\, - 1;\,0} \right)\).
\(I\left( {3;\, - 2;\,1} \right)\).
\(I\left( { - 3;\, - 2;\,1} \right)\).
Chọn A
Gọi \(I\left( {a;\,b;\,c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( { - a;\,1 - b;\,2 - c} \right);\,\overrightarrow {IH} = \left( {4 - a;\, - 3 - b;\, - 2 - c} \right)\)
\(ABCD\) là tứ diện đều nên tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện \( \Rightarrow \overrightarrow {IA} = - 3\overrightarrow {IH} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a = - 3\left( {4 - a} \right)\\1 - b = - 3\left( { - 3 - b} \right)\\2 - c = - 3\left( { - 2 - c} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\\c = - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {3;\, - 2;\, - 1} \right)\).
Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], mặt cầu \[\left( S \right)\] đi qua điểm \[O\] và cắt các tia \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt tại các điểm \[A,B,C\] khác \[O\] thỏa mãn tam giác \[ABC\] có trọng tâm là điểm \[G\left( { - 6; - 12;18} \right)\]. Tọa độ tâm của mặt cầu \[\left( S \right)\] là
\[\left( {9;18; - 27} \right)\].
\[\left( { - 3; - 6;9} \right)\].
\[\left( {3;6; - 9} \right)\].
\[\left( { - 9; - 18;27} \right)\].
Chọn D
Gọi tọa độ các điểm trên ba tia \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt là \[A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\] với \[a,b,c > 0\].
Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{3} = - 6\\\frac{b}{3} = - 12\\\frac{c}{3} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 18\\b = - 36\\c = 54\end{array} \right.\].
Gọi phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] cần tìm là: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0\]. Vì \[\left( S \right)\] qua các điểm \[O,A,B,C\] nên ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}q = 0\\36m + q = - {18^2}\\72n + q = - {36^2}\\ - 108p + q = - {54^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 9\\n = - 18\\p = 27\\q = 0\end{array} \right.\].
Vậy tọa độ tâm mặt cầu \[\left( S \right)\] là \[\left( { - 9; - 18;27} \right)\].
Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - \cos \alpha } \right)^2} + {\left( {y - \cos \beta } \right)^2} + {\left( {z - \cos \gamma } \right)^2} = 4\) với \(\alpha ,\beta \) và \(\gamma \) lần lượt là ba góc tạo bởi tia \(Ot\) bất kì với \(3\) tia \(Ox,Oy\) và \(Oz\). Biết rằng mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng
\(40\pi \).
\(4\pi \).
\(20\pi \).
\(36\pi \).
Chọn A
Ta dễ dàng chứng minh được: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma } \right)\).
Suy ra tâm \(I\) thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\)có tâm \(O\left( {0;0;0} \right),R = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^2}\beta + {{\cos }^2}\gamma } = 1\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\).
Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm là \(O\), bán kính \({R_1} = \left| {OI - R} \right| = \left| {1 - 2} \right| = 1\).
Mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm là \(O\), bán kính \({R_2} = OI + R = 1 + 2 = 3\).
Vậy tổng diện tích hai mặt cầu bằng \(4\pi \left( {R_1^2 + R_2^2} \right) = 4\pi \left( {{1^2} + {3^2}} \right) = 40\pi \).
Trong không gian với hệ tọa độ \[{\rm{Ox}}yz\], cho điểm \[M\left( {1; - 2;3} \right)\]. Gọi \[I\]là hình chiếu vuông góc của \[M\] trên trục \[{\rm{O}}x\]. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm \[I\] bán kính \[IM\]?
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\]
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 17\]
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\]
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \sqrt {13} \]
Chọn A
Hình chiếu vuông góc của \[M\] trên trục \[{\rm{O}}x\] là \[I\left( {1;0;0} \right) = > IM = \sqrt {13} \].Suy ra phương trình mặt cầu tâm \[I\] bán kính \(IM\) là: \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\].
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I(1; - 2;3)\). Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục \[Ox\] tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(AB = 2\sqrt 3 \)
\({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 16.\)
\({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 20.\)
\({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 25.\)
\({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 9.\)
Chọn A
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\) suy ra \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \[Ox\] nên \(H\left( {1;0;0} \right)\).
\(IH = \sqrt {13} \Rightarrow R = IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = 4\).
Phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1; - 2;3} \right)\). Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Ox\). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(IM\)?
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \sqrt {13} \).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 17\).
Chọn B
Với điểm \(M\left( {1; - 2;3} \right)\) thì hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Ox\) là \(I\left( {1;0;0} \right)\)
Có \(IM = \sqrt {13} \) vậy phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;0;0} \right)\) bán kính \(IM\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 13\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ đỉnh \(A\left( {2;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0} \right)\), \(B\left( {0;{\rm{ 4}};{\rm{ }}0} \right)\), \(C\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ 6}}} \right)\), \(A\left( {2;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}}} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm trùng với tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) và có bán kính gấp \(2\) lần bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 14\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 6z - 12 = 0\).
Chọn A
Gọi phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Vì \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{2^2} + {0^2} + {0^2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0\\{0^2} + {4^2} + {0^2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0\\{0^2} + {0^2} + {6^2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0\\{2^2} + {4^2} + {6^2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0\end{array} \right.\] \( \Leftrightarrow \) \[\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 12c + d = - 36\\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \)\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = 0\end{array} \right.\]
\( \Rightarrow \) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\)\( \Rightarrow \)\(I\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)\) và \(R = \sqrt {14} \) \( \Rightarrow \)\(R' = 2\sqrt {14} \).
Vậy: mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \(I\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)\) và \(R' = 2\sqrt {14} \):\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], mặt cầu tâm \[I\left( {2;1; - 3} \right)\] và tiếp xúc với trục \[Oy\] có phương trình là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 13\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 10\).
Chọn B
Gọi \[M\] là hình chiếu của \[I\] trên \[Oy\]\[ \Rightarrow M\left( {0;1;0} \right)\]
Mặt cầu \[\left( S \right)\] tâm \[I\left( {2;1; - 3} \right)\] và tiếp xúc với trục \[Oy\] có bán kính \[IM = \sqrt {13} \].
Vậy \[\left( S \right)\] có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 13\).
