70 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Tích phân có đáp án

Giá trị của \(\int\limits_0^3 {dx} \) bằng

Giá trị của \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) có một nguyên hàm là \(F\left( x \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Giá trị của \(I = \int\limits_1^2 {\frac{1}{{2x - 1}}dx} \) là

Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 2} \) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx = 5} \). Giá trị của \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]dx} \) là

Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 3\) và \(\int\limits_5^2 {f\left( x \right)dx} = 1.\) Giá trị của \(I = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} \) là

Cho \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = 2,\) \(\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right)dx} = - 1\). Khi đó \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]} dx\) bằng

Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx = 5} \) . Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx} \) là bao nhiêu?

Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Giá trị của \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\) bằng

Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}}dx} \) bằng

Tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} \) bằng

Biết tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = a\sqrt 2 + b\sqrt 3 + c} \), với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Giá trị biểu thức \(P = a + b + c\) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = - \frac{1}{3}\) và \(f'\left( x \right) = x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}}\) và \(f\left( 0 \right) = 1,f\left( 1 \right) = - 2\). Khi đó \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0\), \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx = 7} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^3}.f'\left( x \right)dx = - 1.} \) Giá trị \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) là

Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ. Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 5;} \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx = 7} \).

Giá trị của \(A = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right)dx} \) là

Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = a + b\ln 3} \) với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của \(a + b\) bằng

Cho \(\int\limits_1^2 {\frac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx = a + b.\ln 2 + c.\ln 3} \), với \(a,b,c\) là các số hữu tỷ. Giá trị của \(6a + b + c\) bằng

Cho \(\int\limits_2^3 {\frac{{2x + 3}}{{{x^2} + x}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị biểu thức \({a^2} - ab - b\) là

Biết rằng tích phân \(\int\limits_1^2 {\frac{{5x + 6}}{{{x^2} + 5x + 6}}dx = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5,} \) với \(a,b,c\) là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(S = a + bc\) là bao nhiêu?

Tích phân \(A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \) bằng

Cho \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\cos }^2}x + \sin x.\cos x + 1}}{{{{\cos }^4}x + \sin x.{{\cos }^3}x}}} dx = a + b\ln 2 + c\ln \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\), với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ. Giá trị abc bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + m,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\2x\sqrt {3 + {x^2}} ,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Biết \(\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = ae + b\sqrt 3  + c\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tổng \(T = a + b + 3c\) bằng

Biết \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + {3^{ - x}}}}dx = m} \). Giá trị của \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + {3^x}}}dx} \) bằng

Giá trị của \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x.\sin xdx} \) là

Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \) là

Giá trị của \(I = \int\limits_{\sqrt 5 }^{2\sqrt 3 } {\frac{1}{{x\sqrt {{x^2} + 4} }}dx} \) là

Giá trị của \(I = \int\limits_1^2 {\frac{x}{{1 + \sqrt {x - 1} }}dx} \) là

Giá trị của \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}dx} \) là

Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} \) là

Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} \) là

Giá trị của \(I = \int\limits_{3\sqrt 2 }^6 {\frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 9} }}dx} \) là

Giá trị của \(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{{x^4} + {x^2} + 1}}dx} \) là

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.

Giá trị của \(P = 2a + b\) là

Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.

Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \frac{{a\sqrt 3 + b}}{c}} \), với \(a,b \in \mathbb{Z},c \in {\mathbb{Z}^ + }\) và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị của tổng \(a + b + c\) bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx = 8.} \)

Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {xf\left( {{x^2}} \right)dx} \) là

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x^2} + xf\left( {{e^x}} \right) + f\left( {{e^x}} \right) = 1;\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) . Giá trị của \(I = \int\limits_{\sqrt e }^e {\frac{{f\left( x \right).\ln x}}{x}dx} \) là

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3\sin x - \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = \frac{{ - 11}}{{13}}\ln 2 + b\ln 3 + c\pi ,\left( {b,c \in \mathbb{Q}} \right)} \). Giá trị của \(\frac{b}{c}\) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx = 2} \) và \(\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}dx} = 2\). Giá trị của \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}dx} \) là

Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^3}} }}dx = \sqrt a - \sqrt b } ;\) với \(a,b\) là các số nguyên.

Giá trị của biểu thức \({a^b} + {b^a}\) bằng

Cho \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\sqrt {\frac{x}{{{x^3} + 1}}} dx = \frac{1}{a}\ln \left( {\frac{a}{b} + \sqrt b } \right)} \), với \(a,b\) là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức \(P = 2\left( {a + b} \right)\) bằng

Biết \(\int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right)dx = a.\ln b,} \) với \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\), \(b\) là số nguyên tố. Giá trị của \(3a + 4b\) bằng

Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{dx}}{{x\ln x}}} \) là

Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} dx} \) là

Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x{{\tan }^2}xdx} \) là

Cho tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{x}dx = \frac{b}{c}} + a\ln 2\) với a là số thực b và c là các số dương, đồng thời \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức \(P = 2a + 3b + c\) là

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{1 + \cos 2x}}dx = a\pi + b\ln 2,} \) với \(a,b\) là các số hũu tỉ.

Giá trị của \(T = 16a - 8b\) là

Cho \(I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}dx = a.{e^2} + b} \) với \(a,b \in \mathbb{Q}\). Giá trị của tổng \(a + b\) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), \(f\left( 2 \right) = 16\) và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4.\) Tích phân \(\int\limits_0^4 {xf'\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} \) bằng

Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.

Giá trị của abc bằng

Biết \(\int\limits_1^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{e^{x - \frac{1}{x}}}dx} = m{e^{\frac{p}{q}}} - n,\) trong đó \(m,n,p,q\) là các số nguyên dương và \(\frac{p}{q}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(T = m + n + p + q\) là

Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\cos x} .\ln \frac{{2 + x}}{{2 - x}}dx\) bằng

Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).

Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)

Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)

Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^{2020}}}}{{{e^x} + 1}}} dx\) có giá trị là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa điều kiện \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 2\cos x,\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Giá trị của \(N = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = x\left( {2 - x} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\)

Giá trị tích phân \(G = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0,\) \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx = 7} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}.\) Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

Cho số thực \(a > 0.\) Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và luôn dương trên đoạn \(\left[ {0;a} \right]\) thỏa mãn \(f\left( x \right).f\left( {a - x} \right) = 1.\) Giá trị tích phân \(I = \int\limits_0^a {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}} dx\) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(f\left( { - x} \right) + 2019f\left( x \right) = {e^x},\forall x \in \left[ { - 1;1} \right].\) Tích phân \(M = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

Cho \(f\left( x \right)\) là một hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 - 2\cos 2x} \).

Giá trị tích phân \(P = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right)dx} \) là

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = \sin x\) với mọi \(x\) và \(f\left( 0 \right) = 1.\) Tích phân \({e^\pi }.f\left( \pi \right)\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{\pi }{2}\) và có đạo hàm liên tục thỏa mãn \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx = \frac{\pi }{4}} \) và \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f\left( x \right).\cos xdx = \frac{\pi }{4}.} \) Giá trị của \(f\left( {2019\pi } \right)\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), và \(f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\) Biết rằng \(0 \le f'\left( x \right) \le 2\sqrt {2x} ,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\). Khi đó, giá trị của tích phân \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} \) thuộc khoảng nào sau đây?

Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = 160 - 10t\left( {m/s} \right)\). Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm \(t = 0\left( s \right)\) đến thời điểm mà vật dừng lại là

Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\) \(\left( {m/s} \right)\), có gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = \frac{3}{{2t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right).\)

Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là

Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc \(a\left( t \right) = 3t + {t^2}\). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch LC có biểu thức cường độ là \(i\left( t \right) = {I_0}\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{2}} \right)\). Biết \(i = q'\) với q là điện tích tức thời ở tụ điện. Tính từ lúc \(t = 0\), điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch đó trong thời gian từ 0 đến \(\frac{\pi }{\omega }\) là

Gọi \(h\left( t \right)\left( {cm} \right)\) là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng \(h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}\) và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến 0,01cm)