62 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm có đáp án
62 câu hỏi
Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + x\] là:
\[{e^x} + {x^2} + C\]
\[{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\]
\[\frac{1}{{x + 1}}{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\]
\[{e^x} + 1 + C\]
Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số \[y = \sqrt x \]?
\[\frac{2}{3}x\sqrt x \]
\[\frac{2}{3}x\sqrt x + 2019\]
\[\frac{1}{{2\sqrt x }}\]
\[\frac{2}{3}x\sqrt x - 2020\]
Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 3{x^2} + {3^x}\] là
\[{x^3} + {3^x}\ln 3 + C\]
\[{x^3} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\]
\[{x^3} + {3^x} + C\]
\[{x^3} + \frac{{\ln 3}}{{{3^x}}} + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 5{x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x}\] là:
\[{x^5} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C\]
\[{x^5} + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C\]
\[{x^5} - \frac{3}{{{x^2}}} - 3x\sqrt[3]{x} + C\]
\[20{x^3} - \frac{6}{{{x^4}}} - \frac{1}{{3x\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{4{x^2} + \sqrt x - 6}}{x}\] là:
\[2{x^2} - 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]
\[{x^2} + 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]
\[2{x^2} + 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]
\[{x^2} + \sqrt x - 3\ln \left| x \right| + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}\] là:
\[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\ln 2}} + {e^{ - x}} + C\]
\[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} - {e^{ - x}} + C\]
\[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + {e^{ - x}} + C\]
\[\frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + {e^x} + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = x{\left( {x + 2} \right)^{2019}}\] là:
\[ - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\]
\[\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2018}}}}{{1009}} + C\]
\[\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} + \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\]
\[\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{e^{2x}} + 1}}\] là:
\[x + \ln \sqrt {{e^{2x}} + 1} + C\]
\[x - \frac{1}{2}\ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]
\[\ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]
\[x - \ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }}\] là:
\[\frac{1}{6}\left[ {{{\left( {\sqrt {x + 2} } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt {x - 2} } \right)}^3}} \right] + C\]
\[\frac{1}{6}\left[ {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} } \right] + C\]
\[\frac{1}{6}\sqrt {x + 2} + \frac{1}{6}\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 2} + C\]
\[\frac{1}{6}\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} - \frac{1}{6}\sqrt {x - 2} + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{5x - 13}}{{{x^2} - 5x + 6}}\] là:
\[2\ln \left| {x - 3} \right| - 3\ln \left| {x + 2} \right| + C\]
\[3\ln \left| {x - 3} \right| + 2\ln \left| {x - 2} \right| + C\]
\[2\ln \left| {x + 3} \right| + 3\ln \left| {x + 2} \right| + C\]
\[2\ln \left| {x - 3} \right| + 3\ln \left| {x - 2} \right| + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^5} + x}}\] là:
\[\ln \left| x \right| + \frac{1}{2}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]
\[\ln \left| x \right| - \ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]
\[\ln \left| x \right| - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]
\[\ln \left| x \right| - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}\] là:
\[\ln \left| {x + 2} \right| + 2\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{3}{{x - 1}} + C\]
\[\ln \left| {x + 2} \right| - 2\ln \left| {x - 1} \right| + \frac{3}{{x - 1}} + C\]
\[2\ln \left| {x + 2} \right| + \ln \left| {x - 1} \right| - \frac{3}{{x - 1}} + C\]
\[2\ln \left| {x + 2} \right| + \ln \left| {x - 1} \right| + \frac{3}{{x - 1}} + C\]
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}};\;f\left( 0 \right) = 1\] và \[f\left( 1 \right) = 2\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\] là:
\[3\ln 5 + \ln 2\]
\[3\ln 2 + \ln 5\]
\[3 + 2\ln 5\]
\[3 + \ln 15\]
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\], thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}};\;f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\] và \[f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right)\] là:
\[2\ln 2 - \ln 5\]
\[6\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\]
\[2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\]
\[6\ln 2 - 2\ln 5\]
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \cos 3x.\cos 2x\] trên \[\mathbb{R}\] ta thu được kết quả:
\[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{{10}} + \frac{{\sin x}}{2} + C\]
\[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{5} + \sin x + C\]
\[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{6}\sin 3x.\sin 2x + C\]
\[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{{10}} - \frac{{\sin x}}{2} + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[\int {\left( {2\cos x - 3\cos 5x} \right)dx} \] là:
\[ - 2\sin x + 15\sin 5x + C\]
\[ - 2\sin x + \frac{3}{5}\sin 5x + C\]
\[2\sin x - \frac{3}{5}\sin 5x + C\]
\[2\sin x - 5\sin 5x + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[\int {\sin 5x\sin 2xdx} \] là:
\[\frac{1}{{10}}\cos 5x\cos 2x + C\]
\[\frac{1}{6}\cos 3x - \frac{1}{{14}}\sin 7x + C\]
\[\frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{7}\sin 7x + C\]
\[\frac{1}{2}\sin 3x - \frac{1}{2}\sin 7x + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[\int {4{{\cos }^2}xdx} \] là:
\[4x + 2\sin 2x + C\]
\[\frac{{4{{\cos }^3}x}}{3} + C\]
\[2x - \sin 2x + C\]
\[2x + \sin 2x + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\left( {1 + 2\sin x} \right)}^2}dx} \] là:
\[3x - 4\cos x - \sin 2x + C\]
\[\frac{{{{\left( {1 + 2\sin x} \right)}^3}}}{3} + C\]
\[3x - \sin 2x + C\]
\[3x - 4\cos x + \sin 2x + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[\int {\left( {\sin x - \cos x} \right)\sin xdx} \] là:
\[\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x - \frac{1}{4}\cos 2x + C\]
\[\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\]
\[x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x + C\]
\[\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \] là:
\[ - \tan x - \cot x + C\]
\[\tan x - \cot x + C\]
\[\tan x + \cot x + C\]
\[\cot x - \tan x + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[\int {\frac{1}{{4{{\cos }^4}x - 4{{\cos }^2}x + 1}}dx} \] là:
\[\frac{{\cot 2x}}{2} + C\]
\[\tan 2x + C\]
\[\cot 2x + C\]
\[\frac{{\tan 2x}}{2} + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\cos }^3}xdx} \] là:
\[\frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\]
\[3\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x + C\]
\[\sin x - \frac{1}{3}{\sin ^3}x + C\]
\[4\sin x - \frac{4}{3}\sin 3x + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[\int {{{\tan }^3}xdx} \] là:
\[\frac{{{{\tan }^2}x}}{2} + \ln \left| {\cos x} \right| + C\]
\[\frac{{{{\tan }^2}x}}{2} - \ln \left| {\sin x} \right| + C\]
\[\frac{{{{\tan }^2}x}}{2} - \ln \left| {\cos x} \right| + C\]
\[\frac{{{{\tan }^4}x}}{{4{{\cos }^2}x}} + C\]
Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sin 2x\tan x\] thỏa mãn \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\]. Giá trị của \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\] là:
\[\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}\]
\[\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\]
\[\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}\]
\[\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\]
Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\cos ^4}2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2019\]. Giá trị của \[F\left( {\frac{\pi }{8}} \right)\] là:
\[\frac{{3\pi + 16153}}{{64}}\]
\[\frac{{3\pi + 129224}}{8}\]
\[\frac{{3\pi + 129224}}{{64}}\]
\[\frac{{3\pi - 129224}}{{32}}\]
Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}}\], với \[x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] và thỏa mãn \[F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}\]. Giá trị của \[F\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\] là:
\[\frac{2}{3}\]
0.
\[\frac{5}{3}\]
\[\frac{1}{3}\]
Một chất điểm chuyển động với phương trình \[S = \frac{1}{2}{t^2}\], trong đó t là thời gian tính bằng giây (s) và S là quãng đường tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[{t_0} = 5\left( s \right)\] là:
5 (m/s).
25 (m/s).
2,5 (m/s.)
10 (m/s).
Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left( t \right) = 10 - 2t\left( {m/s} \right)\], trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.
50 (m).
25 (m).
55 (m).
10 (m).
Một vật chuyển động với gia tốc \[a\left( t \right) = \frac{3}{{t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right)\], trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu?
10 m/s.
15,2 m/s.
13,2 m/s.
12 m/s.
Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc \[a\left( t \right) = - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}\left( {m/{s^2}} \right)\], trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?
5,6 m/s.
6,51 m/s.
7,26 m/s.
6,8 m/s.
Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu?
0,45 m/s.
0,4 m/s.
0,6 m/s.
0,8 m/s.
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\] là:
\[\frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C\]
\[\frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}} + C\]
\[\frac{{\ln x}}{2} + C\]
\[{\ln ^2}x + C\]
Cho \[I = \int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \]. Bằng phép đổi biến \[u = \sqrt {{x^2} + 1} \], khẳng định nào sau đây sai?
\[{x^2} = {u^2} - 1\]
\[xdx = udu\]
\[I = \int {\left( {{u^2} - 1} \right).udu} \]
\[I = \frac{{{u^3}}}{3} - u + C\]
Nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}.{e^{{x^3} + 1}}\], biết \[F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{3}\] là:
\[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + C\]
\[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + 2019\]
\[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + \frac{1}{3}\]
\[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}}\]
Nguyên hàm \[M = \int {\frac{{2\sin x}}{{1 + 3\cos x}}dx} \] là:
\[M = \frac{1}{3}\ln \left( {1 + 3\cos x} \right) + C\]
\[M = \frac{2}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C\]
\[M = - \frac{2}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C\]
\[M = - \frac{1}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C\]
Nguyên hàm \[P = \int {x.\sqrt[3]{{{x^2} + 1}}dx} \] là:
\[P = \frac{3}{8}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\]
\[P = \frac{3}{8}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} + C\]
\[P = \frac{3}{8}\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\]
\[P = \frac{3}{4}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\]
Nguyên hàm \[R = \int {\frac{1}{{x\sqrt {x + 1} }}dx} \] là:
\[R = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} + 1}}{{\sqrt {x + 1} - 1}}} \right| + C\]
\[R = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}} \right| + C\]
\[R = \ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} + 1}}{{\sqrt {x + 1} - 1}}} \right| + C\]
\[R = \ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}} \right| + C\]
Nguyên hàm \[S = \int {{x^3}\sqrt {{x^2} + 9} dx} \] là:
\[S = \frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3\left( {{x^2} + 9} \right)\sqrt {{x^2} + 9} + C\]
\[S = \frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^4}\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3\left( {{x^2} + 9} \right)\sqrt {{x^2} + 9} + C\]
\[S = \frac{{\left( {{x^2} + 9} \right)\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3{\left( {{x^2} + 9} \right)^2}\sqrt {{x^2} + 9} + C\]
\[S = \frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3\sqrt {{x^2} + 9} + C\]
Nguyên hàm \[T = \int {\frac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx} \] là:
\[T = \frac{1}{{2\sqrt {\ln x + 1} }} + C\]
\[T = 2\sqrt {\ln x + 1} + C\]
\[T = \frac{2}{3}\left( {\ln x + 1} \right)\sqrt {\ln x + 1} + C\]
\[T = \sqrt {\ln x + 1} + C\]
Nguyên hàm \[U = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2022}}}}dx} \] là:
\[U = \frac{1}{3}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2021}} + C\]
\[U = \frac{1}{{6060}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2020}} + C\]
\[U = \frac{1}{{6063}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2021}} + C\]
\[U = \frac{1}{{6069}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2023}} + C\]
Xét nguyên hàm \[V = \int {\frac{{{{\ln }^2}x}}{{x\left( {1 + \sqrt {\ln x + 1} } \right)}}dx} \]. Đặt \[u = 1 + \sqrt {1 + \ln x} \], khẳng định nào sau đây sai?
\[\frac{{dx}}{x} = \left( {2u - 2} \right)du\]
\[V = \int {\frac{{{{\left( {{u^2} - 2u} \right)}^2}}}{u}.\left( {2u - 2} \right)du} \]
\[V = \frac{2}{5}{u^5} - \frac{5}{2}{u^4} + \frac{{16}}{3}{u^3} - 4{u^2} + C\]
\[V = \frac{{{u^5}}}{5} + \frac{{{u^4}}}{2} - \frac{{16}}{3}{u^3} + 4{u^2} + C\]
Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}2x.{\cos ^3}2x\] thỏa \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\]. Giá trị \[F\left( {2019\pi } \right)\] là:
\[F\left( {2019\pi } \right) = - \frac{1}{{15}}\]
\[F\left( {2019\pi } \right) = 0\]
\[F\left( {2019\pi } \right) = - \frac{2}{{15}}\]
\[F\left( {2019\pi } \right) = \frac{1}{{15}}\]
Biết rằng \[\int {\frac{{\left( {2x + 3} \right)dx}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1}} = - \frac{1}{{g\left( x \right)}} + C} \] (với C là hằng số). Gọi S là tập nghiệm của phương trình \[g\left( x \right) = 0\]. Tổng các phần tử của S bằng:
0.
\[ - 3 + \sqrt 5 \]
\[ - 3\]
\[ - 3 - \sqrt 5 \]
Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] trên khoảng \[\left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)\] thỏa mãn \[F\left( 2 \right) = 0\]. Khi đó phương trình \[F\left( x \right) = x\] có nghiệm là:
\[x = 0\]
\[x = 1\]
\[x = - 1\]
\[x = 1 - \sqrt 3 \]
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\] trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] và \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\]. Tổng \[S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right)\] là
\[\frac{{2019}}{{2020}}\]
\[\frac{{2019.2021}}{{2020}}\]
\[2018\frac{1}{{2020}}\]
\[ - \frac{{2019}}{{2020}}\]
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm xác định trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,f\left( x \right) > 0\] và \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\forall x \in \mathbb{R}\]. Giá trị \[f\left( 1 \right)\] là:
\[6\sqrt 2 \]
\[\sqrt {10} \]
\[5\sqrt 3 \]
\[2\sqrt 6 \]
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 3\] và \[{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\]. Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\] là:
\[2\sqrt[3]{{42}}\]
\[2\sqrt[3]{{15}}\]
\[\sqrt[3]{{42}}\]
\[\sqrt[3]{{15}}\]
Nguyên hàm \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} \] là:
\[\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{4} + C\]
\[2\arccos \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C\]
\[\arccos \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{4} + C\]
\[2\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C\]
Nguyên hàm \[I = \int {\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} }}dx} \] là:
\[\sqrt[3]{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}} + C\]
\[\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + C\]
\[\frac{x}{{\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} }} + C\]
\[\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x} + C\]
Nguyên hàm \[I = \int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} \] là:
\[\arctan x + C\]
\[{\mathop{\rm arccot}\nolimits} x + C\]
\[\arcsin x + C\]
\[\arccos x + C\]
Kết quả nguyên hàm \[\int {x{e^x}dx} \] là:
\[x{e^x} - {e^x} + C\]
\[\frac{{{x^2}}}{2}{e^x} + C\]
\[x{e^x} + {e^x} + C\]
\[x{e^x} + x + C\]
Kết quả nguyên hàm \[\int {\ln \left( {x + 2019} \right)dx} \] là:
\[\left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) + x + C\]
\[\left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) - x + C\]
\[\left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) + C\]
\[\ln \left( {x + 2019} \right) + C\]
Tìm \[\int {{e^x}.\sin xdx} \]
\[2{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]
\[2{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]
\[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]
\[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]
Kết quả nguyên hàm \[I = \int {x\ln \left( {2 + {x^2}} \right)dx} \] là:
\[\frac{{{x^2} + 2}}{2}\ln \left( {{x^2} + 2} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} + C\]
\[\left( {{x^2} + 2} \right)\ln \left( {{x^2} + 2} \right) - \frac{{{x^2}}}{2} + C\]
\[\left( {{x^2} + 2} \right)\ln \left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + C\]
\[\frac{{{x^2} + 2}}{2}\ln \left( {{x^2} + 2} \right) - \frac{{{x^2}}}{2} + C\]
Kết quả nguyên hàm \[I = \int {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \] là:
\[\left( {\tan x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x + 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\]
\[\left( {\tan x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\]
\[\left( {\tan x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left( {\cos x} \right) + C\]
\[\left( {\cot x + 2} \right).\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\]
Kết quả nguyên hàm \[I = \int {{x^2}\sin 5xdx} \] là:
\[ - \frac{1}{5}{x^2}\cos 5x - \frac{2}{{25}}x\sin 5x + \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]
\[ - \frac{1}{5}{x^2}\cos 5x + \frac{2}{{25}}x\sin 5x - \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]
\[\frac{1}{5}{x^2}\cos 5x - \frac{2}{{25}}x\sin 5x + \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]
\[ - \frac{1}{5}{x^2}\cos 5x + \frac{2}{{25}}x\sin 5x + \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]
Nguyên hàm \[I = \int {{x^4}{e^{3x}}dx} \] là:
\[I = \left( {\frac{{{x^4}}}{3} - \frac{{4{x^3}}}{{{3^2}}} + \frac{{12{x^2}}}{{{3^3}}} - \frac{{24x}}{{{3^4}}} + \frac{{24}}{{{3^5}}}} \right){e^{3x}} + C\]
\[I = \frac{{{x^5}}}{5}.\frac{{{e^{3x}}}}{3} + C\]
\[I = \left( {\frac{{{x^4}}}{3} + \frac{{4{x^3}}}{{{3^2}}} - \frac{{12{x^2}}}{{{3^3}}} + \frac{{24x}}{{{3^4}}} - \frac{{24}}{{{3^5}}}} \right){e^{3x}} + C\]
\[I = \left( {\frac{{{x^4}}}{3} - \frac{{4{x^3}}}{{{3^2}}} + \frac{{12{x^2}}}{{{3^3}}}} \right){e^{3x}} + C\]
Nguyên hàm \[I = \int {{e^x}\sin xdx} \] là:
\[2{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]
\[2{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]
\[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]
\[\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\]
Kết quả nguyên hàm \[I = \int {x.\ln xdx} \] là:
\[\frac{{{x^2}}}{2}.\ln 2 - \frac{{{x^2}}}{4} + C\]
\[\frac{{{x^2}}}{2}.\ln 2 + \frac{{{x^2}}}{4} + C\]
\[\frac{{{x^2}}}{4}.\ln 2 - \frac{{{x^2}}}{2} + C\]
\[\frac{{{x^2}}}{4}.\ln 2 + \frac{{{x^2}}}{2} + C\]
Kết quả nguyên hàm \[I = \int {\left( {4x - 1} \right).{{\ln }^3}\left( {2x} \right)dx} \] là:
\[\left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) - \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) - \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) + \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x + C\]
\[\left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) - \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x + C\]
\[\left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x + C\]
\[\left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) - \frac{{3{x^2}}}{2} - 6x + C\]
Cho \[F\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right){e^{2x}}\]. Biết rằng hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right){e^{2x}}\] là:
\[\left( {2 - x} \right){e^x} + C\]
\[\left( {2 + x} \right){e^x} + C\]
\[\left( {1 - x} \right){e^x} + C\]
\[\left( {1 + x} \right){e^x} + C\]
