62 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm có đáp án

Hướng dẫn giải

\[\int {\left( {{e^x} + x} \right)dx} = \int {{e^x}dx} + \int {xdx} = {e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\].

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\sqrt x dx} = \frac{2}{3}x\sqrt x + C\], với C là hằng số.

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số \[y = \sqrt x \].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + {3^x}} \right)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {{3^x}dx} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^3} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\end{array}\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\left( {5{x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x}} \right)dx} = {x^5} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{{4{x^2} + \sqrt x - 6}}{x}dx} = \int {\left( {4x + \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{6}{x}} \right)dx} = 2{x^2} + 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}dx} = \int {{{\left( {\frac{2}{e}} \right)}^x}dx} - \int {{e^{ - x}}dx} = \frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + {e^{ - x}} + C\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {x{{\left( {x + 2} \right)}^{2019}}dx} = \int {\left[ {\left( {x + 2} \right) - 2} \right]{{\left( {x + 2} \right)}^{2019}}dx} \\ = \int {{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}dx} - 2\int {{{\left( {x + 2} \right)}^{2019}}dx} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\end{array}\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\frac{1}{{{e^{2x}} + 1}} = \frac{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right) - {e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}} = 1 - \frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}\].

Do đó \[\int {\frac{1}{{{e^{2x}} + 1}}dx} = \int {\left( {1 - \frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}} \right)dx} = \int {dx} - \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}}{{{e^{2x}} + 1}}} = x - \frac{1}{2}\ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {\frac{1}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }}dx} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} }}{4}dx} \\ = \frac{1}{4}\left[ {\frac{2}{3}\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 2} } \right] + C = \frac{1}{6}\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} - \frac{1}{6}\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 2} + C\end{array}\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\frac{{5x - 13}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{5x - 13}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]

Ta sẽ phân tích: \[5x - 13 = A\left( {x - 2} \right) + B\left( {x - 3} \right)\;\;\;\left( 1 \right)\]

Thế \[x = 2\] và \[x = 3\] lần lượt vào (1) ta có \[B = 3\] và \[A = 2\].

Khi đó \[\begin{array}{l}\int {\frac{{5x - 13}}{{{x^2} - 5x + 6}}dx} = \int {\frac{{2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} = \int {\frac{2}{{x - 3}}dx} + \int {\frac{3}{{x - 2}}dx} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 2\ln \left| {x - 3} \right| + 3\ln \left| {x - 2} \right| + C\end{array}\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{{1 - {x^4}}}{{{x^5} + x}}dx} = \int {\frac{{\left( {1 + {x^4}} \right) - 2{x^4}}}{{x\left( {{x^4} + 1} \right)}}dx} = \int {\frac{1}{x}dx} - \int {\frac{{2{x^3}}}{{{x^4} + 1}}dx} = \ln \left| x \right| - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}dx} = \int {\frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}dx} \].

Ta phân tích \[3{x^2} + 3x + 3 = A{\left( {x - 1} \right)^2} + B\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + C\left( {x + 2} \right)\].

Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay \[A = 1,C = 3\] và \[B = 2\].

(thay \[x = - 2 \Rightarrow A = 1;\;x = 1 \Rightarrow C = 3\] và \[x = 0 \Rightarrow B = 2\]).

Khi đó \[\int {\frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}dx} = \int {\frac{1}{{x + 2}}dx} + 2\int {\frac{1}{{x - 1}}} dx + 3\int {\frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx} = \ln \left| {x + 2} \right| + 2\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{3}{{x - 1}} + C\].

Chọn A.

Hướng dẫn giải

\[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{2}{{2x - 1}}dx} = \ln \left| {2x - 1} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {2x - 1} \right) + {C_1}\;khi\;x > \frac{1}{2}\\\ln \left( {1 - 2x} \right) + {C_2}\;khi\;x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Vì \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_2} = 1\\{C_1} = 2\end{array} \right.\].

Suy ra \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {2x - 1} \right) + 2\;khi\;x > \frac{1}{2}\\\ln \left( {1 - 2x} \right) + 1\;khi\;x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\].

Do đó  \[P = f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right) = 3 + \ln 3 + \ln 5 = 3 + \ln 15\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

\[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{2}{{{x^2} - 1}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C\]

Hay \[f\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + {C_1}\;khi\;x > 1\\\ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}} + {C_2}\;khi\; - 1 < x < 1\\\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + {C_3}\;khi\;x < - 1\end{array} \right.\]

Theo bài ra, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\\f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} + {C_3} = 2\ln 2\\{C_2} = 0\end{array} \right.\]

Do đó \[f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right) = \ln 3 + {C_3} + {C_2} + \ln \frac{3}{5} + {C_1} = 2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta viết: \[f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 5x + \cos x} \right)\].

Khi đó: \[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{{10}} + \frac{{\sin x}}{2} + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\left( {2\cos x - 3\cos 5x} \right)dx} = 2\sin x - \frac{3}{5}\sin 5x + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\sin 5x\sin 2xdx} = \frac{1}{2}\int {\left( {\cos 3x - \cos 7x} \right)dx} = \frac{1}{6}\cos 3x - \frac{1}{{14}}\sin 7x + C\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {4{{\cos }^2}xdx} = 2\int {\left( {1 + \cos 2x} \right)dx} = 2x + \sin 2x + C\].

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {{{\left( {1 + 2\sin x} \right)}^2}dx} = \int {\left( {1 + 4\sin x + 4{{\sin }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + 4\sin x + 4.\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)dx} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int {\left( {3 + 4\sin x - 2\cos 2x} \right)dx} = 3x - 4\cos x - \sin 2x + C\end{array}\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {\left( {\sin x - \cos x} \right)\sin xdx} = \int {\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x} \right)dx} \\ = \int {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2} - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\end{array}\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} = \int {\frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \tan x - \cot x + C\].

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{1}{{4{{\cos }^4}x - 4{{\cos }^2}x + 1}}dx} = \int {\frac{1}{{{{(2{{\cos }^2}x - 1)}^2}}}dx = } \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}2x}}dx = } \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}2x}}d(2x) = \frac{{\tan 2x}}{2} + C} \]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {{{\cos }^3}xdx} = \frac{1}{4}\int {\left( {3\cos x + \cos 3x} \right)dx} = \frac{1}{4}\left( {3\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x} \right) + C = \sin x - \frac{1}{3}{\sin ^3}x + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Từ \[{\tan ^3}x = \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - \tan x\]

Suy ra \[\int {{{\tan }^3}xdx} = \int {\tan xd\left( {\tan x} \right)} + \int {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}} = \frac{{{{\tan }^2}x}}{2} + \ln \left| {\cos x} \right| + C\].

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[F\left( x \right) = \int {\sin 2x.\tan xdx} = \int {2\sin x.\cos x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} = 2\int {{{\sin }^2}xdx} \].

Suy ra \[F\left( x \right) = \int {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} = x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C\].

Theo giả thiết, ta có: \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} - \frac{1}{2}\sin \frac{{2\pi }}{3} + C = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow C = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\].

Vậy \[F\left( x \right) = x - \frac{{\sin 2x}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\].

Do đó \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\sin 2\left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\].

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}{\cos ^4}2x = {\left( {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {1 + 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( {1 + 2\cos 4x + \frac{{1 + \cos 8x}}{2}} \right) = \frac{1}{8}\left( {3 + 4\cos 4x + \cos 8x} \right)\end{array}\]

Do đó \[F\left( x \right) = \frac{1}{8}\int {\left( {3 + 4\cos 4x + \cos 8x} \right)dx} = \frac{1}{8}\left( {3x + \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + C\]

Mà \[F\left( 0 \right) = 2019\] nên ta có \[C = 2019\].

Vậy \[F\left( x \right) = \frac{1}{8}\left( {3x + \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + 2019\].

Do đó \[F\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{3\pi + 129224}}{{64}}\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta thấy: \[\begin{array}{l}\frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}} = {\cos ^3}x\left( {1 + \sin x} \right) = \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x + {\cos ^3}x.\sin x\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)d\left( {\sin x} \right)} - \int {{{\cos }^3}xd\left( {\cos x} \right)} = \sin x - \frac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\end{array}\]

Theo giả thiết, ta có \[F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}\] nên \[C = 1\].

Vậy \[F\left( x \right) = \sin x - \frac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\]

Do đó \[F\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{3}\].

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[v\left( t \right) = S'\left( t \right) = t\] nên \[v\left( {{t_0}} \right) = {t_0} = 5\left( {m/s} \right)\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Chọn mốc thời gian và gốc tọa độ lúc ô tô bắt đầu đạp phanh. Ta có: \[t = 0;s = 0\].

\[\begin{array}{l}s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {10 - 2t} \right)dt} = 10t - {t^2} + C,\\s\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow s\left( t \right) = 10t - {t^2}\end{array}\]

Ô tô dừng hẳn khi \[v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 10 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 5\].

Trong 8 giây cuối, ô tô chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) trong 3 giây đầu và chuyển động chậm dần đều trong 5 giây cuối.

Quãng đường ô tô di chuyển là: \[s = 3.10 + 10.5 - {5^2} = 55m\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức: \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\]

Vì vận tốc ban đầu (lúc \[t = 0\]) của vật là \[{v_0} = 6m/s\] nên:

 \[v\left( 0 \right) = 3\ln \left| {0 + 1} \right| + C = 6 \Leftrightarrow C = 6 \Rightarrow v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\].

Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là: \[v\left( {10} \right) = 3\ln \left| {10 + 1} \right| + 6 \approx 13,2\left( {m/s} \right)\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Vận tốc \[v\left( t \right)\] chính là nguyên hàm của gia tốc \[a\left( t \right)\] nên ta có:

\[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( { - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}} \right)dt} = - \frac{1}{{96}}{t^4} + \frac{5}{{48}}{t^3} + C\]

Tại thời điểm ban đầu \[\left( {t = 0} \right)\] thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là: \[{v_0} = 0 \Rightarrow v\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{{96}}{.0^4} + \frac{5}{{48}}{.0^3} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\].

Vậy công thức vận tốc là \[v\left( t \right) = - \frac{1}{{96}}{t^4} + \frac{5}{{48}}{t^3}\]

Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là  \[v\left( 5 \right) = 6,51\;m/s\].

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Xem như tại thời điểm \[{t_0} = 0\] thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s. Ta có \[s\left( 0 \right) = 0\] và \[v\left( 0 \right) = 20\].

Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là \[{s^n}\left( t \right) = - 9,8\;m/{s^2}\].

Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là \[v\left( t \right) = \int { - 9,8dt} = - 9,8t + {C_1}\].

Do \[v\left( 0 \right) = 20\] nên \[ - 9,8t + {C_1} = 20 \Leftrightarrow {C_1} = 20 \Rightarrow v\left( t \right) = - 9,8t + 20\].

Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là \[v\left( 2 \right) = - 9,8.2 + 20 = 0,4\left( {m/s} \right)\].

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Đặt \[A = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \int {\ln x\frac{1}{x}dx} \]

Đặt \[u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\]

Do đó \[A = \int {udu} = \frac{{{u^2}}}{2} + C\]

Vậy \[\int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[u = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {x^2} = {u^2} - 1\] và \[xdx = udu\].

Khi đó \[\begin{array}{l}I = \int {\left( {{u^2} - 1} \right).udu = } \int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} \\\;\; = \frac{{{u^3}}}{3} - u + C\end{array}\]

Vậy \[I = \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {{x^2} + 1} + C\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Đặt \[u = {x^3} + 1\] ta có \[du = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{1}{3}du\]

Suy ra \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{e^u}\frac{1}{3}du} = \frac{1}{3}{e^u} + C\]

Do đó \[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + C\].

Mặt khác \[F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{3}\] nên \[C = 0\]. Vậy \[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}}\].

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Đặt \[u = 1 + 3\cos x\], ta có \[du = - 3\sin xdx\] hay \[2\sin xdx = - \frac{2}{3}du\].

Khi đó \[M = - \frac{2}{3}\int {\frac{1}{u}du}  =  - \frac{2}{3}\ln \left| u \right| + C\]

Vậy \[M = \int {\frac{{2\sin x}}{{1 + 3\cos x}}dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {x.\sqrt[3]{{{x^2} + 1}}dx} = \frac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}d\left( {{x^2} + 1} \right)} = \frac{3}{8}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{4}{3}}} + C\].

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Đặt \[u = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {u^2} = x + 1\]. Suy ra \[x = {u^2} - 1\] và \[dx = 2udu\].

Khi đó \[R = \int {\frac{{2u}}{{\left( {{u^2} - 1} \right)u}}du} = \int {\frac{2}{{{u^2} - 1}}du} = \int {\left( {\frac{1}{{u - 1}} - \frac{1}{{u + 1}}} \right)du} = \ln \left| {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right| + C\].

Vậy \[R = \ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}} \right| + C\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Xét \[S = \int {{x^3}\sqrt {{x^2} + 9} dx} = \int {{x^2}\sqrt {{x^2} + 9} xdx} \].

Đặt \[u = \sqrt {{x^2} + 9} \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 9\]. Suy ra \[{x^2} = {u^2} - 9\] và \[xdx = udu\].

Khi đó \[S = \int {\left( {{u^2} - 9} \right)u.udu} = \int {\left( {{u^4} - 9{u^2}} \right)du} = \frac{{{u^5}}}{5} - 3{u^3} + C\].

Vậy \[S = \frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3\left( {{x^2} + 9} \right)\sqrt {{x^2} + 9} + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[T = \int {\frac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {\ln x + 1} }}d\left( {\ln x + 1} \right)} = 2\sqrt {\ln x + 1} + C\].

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Xét \[U = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2022}}}}dx} = \int {{{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)}^{2020}}\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \]

Đặt \[u = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow du = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx \Rightarrow \frac{1}{3}du = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx\].

Suy ra. \[U = \frac{1}{3}\int {{u^{2020}}du} = \frac{1}{{6063}}{u^{2021}} + C\]. Vậy \[U = \frac{1}{{6063}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2021}} + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Đặt \[u = 1 + \sqrt {1 + \ln x} \Rightarrow {\left( {u - 1} \right)^2} = 1 + \ln x \Leftrightarrow \ln x = {u^2} - 2u \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \left( {2u - 2} \right)du\].

Khi đó \[\begin{array}{l}V = \int {\frac{{{{\ln }^2}x}}{{x\left( {1 + \sqrt {\ln x + 1} } \right)}}dx} = \int {\frac{{{{\left( {{u^2} - 2u} \right)}^2}}}{u}.\left( {2u - 2} \right)du} \\ = 2\int {\left( {{u^4} - 5{u^3} + 8{u^2} - 4u} \right)du} = \frac{2}{5}{u^5} - \frac{5}{2}{u^4} + \frac{{16}}{3}{u^3} - 4{u^2} + C\end{array}\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Đặt \[u = \sin 2x \Rightarrow du = 2\cos 2xdx \Rightarrow \frac{1}{2}du = \cos 2xdx\]

Ta có \[\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\sin }^2}2x.{{\cos }^3}2xdx} = \frac{1}{2}\int {{u^2}.\left( {1 - {u^2}} \right)du} = \frac{1}{2}\int {\left( {{u^2} - {u^4}} \right)du} \\\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{6}{u^3} - \frac{1}{{10}}{u^5} + C = \frac{1}{6}{\sin ^3}2x - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}2x + C\end{array}\]

\[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{6}{\sin ^3}\frac{\pi }{2} - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}\frac{\pi }{2} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{{15}}\]

Vậy \[F\left( x \right) = \frac{1}{6}{\sin ^3}2x - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}2x - \frac{1}{{15}}\]

Do đó \[F\left( {2019\pi } \right) = - \frac{1}{{15}}\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Vì \[x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1 = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 1 = {\left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) + 1} \right]^2}\] nên ta đặt \[u = {x^2} + 3x\], khi đó \[du = \left( {2x + 3} \right)dx\]

Nguyên hàm ban đầu trở thành \[\int {\frac{{du}}{{{{\left( {u + 1} \right)}^2}}} = - \frac{1}{{u + 1}} + C} \].

Suy ra \[\int {\frac{{\left( {2x + 3} \right)dx}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1}}} = - \frac{1}{{{x^2} + 3x + 1}} + C\]

Vậy \[g\left( x \right) = {x^2} + 3x + 1;\;g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\].

Do đó \[S = \left\{ {\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\].

Tổng giá trị các phần tử của S bằng \[ - 3\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[F\left( x \right) = \int {\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx} = - \int {\frac{1}{{2\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} \right) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C} \]

Mặt khác \[F\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + C = 0 \Leftrightarrow C = 2\]

Vậy \[F\left( x \right) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2\].

Xét phương trình \[\begin{array}{l}F\left( x \right) = x \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\8 - {x^2} = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\2{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \\x = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Phân tích \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}\]

Khi đó \[F\left( x \right) = \int {\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}d\left( {{x^2} + x} \right)} = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + C\].

Mặt khác \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\].

Vậy \[F\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + 1 = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + 1 = - \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 1\].

Do đó \[\begin{array}{l}S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right) = - \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019\\\;\;\; = - \left( {1 - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019 = 2018 + \frac{1}{{2020}} = 2018\frac{1}{{2020}}\end{array}\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1\].

Suy ra \[\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \int {\frac{{d\left( {1 + {f^2}\left( x \right)} \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + C\]

Theo giả thiết \[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \], suy ra \[\sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = C \Leftrightarrow C = 3\]

Với \[C = 3\] thì \[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2} - 1} \]

Vậy \[f\left( 1 \right) = \sqrt {24} = 2\sqrt 6 \]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\;\;\;\;\;\;\left( * \right)\]

Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (*) ta được:

\[\int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}.f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)dx} \Leftrightarrow \frac{1}{3}{f^3}\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 3C\]

Theo giả thiết, ta có \[f\left( 0 \right) = 3\] nên

\[{\left( {f\left( 0 \right)} \right)^3} = 3\left( {{0^3} + {{2.0}^2} + 2.0 + C} \right) \Leftrightarrow 27 = 3C \Leftrightarrow C = 9 \Rightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27\]

Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[g\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27\] trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\].

Ta có \[g'\left( x \right) = 9{x^2} + 12x + 6 > 0,\forall x \in \left[ { - 2;1} \right]\] nên đồng biến trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\].

Vậy \[\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} = \sqrt[3]{{\mathop {\max g\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} }} = \sqrt[3]{{42}}\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Đặt \[x = 2\sin t\] với \[t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]. Ta có \[\cos t > 0\] và \[dx = 2\cos tdt\].

Khi đó \[I = \int {\frac{{4{{\sin }^2}t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}2\cos tdt} = \int {4{{\sin }^2}tdt} \] (vì \[\cos t > 0,\forall t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]).

Suy ra \[I = 2\int {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} = 2t - \sin 2t + C\]

Từ \[x = 2\sin t \Rightarrow t = \arcsin \frac{x}{2}\] và \[\sin 2t = 2\sin t.\cos t = \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2}\]

Vậy \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} = 2\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Đặt \[x = \cos t,t < 0 < \pi \Rightarrow dx = - \sin t.dt\].

Khi đó \[I = - \int {\frac{{\sin t.dt}}{{{{\sin }^3}t}}dt} = - \int {\frac{{dt}}{{{{\sin }^2}t}}} = \cot t + C\] hay \[I = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + C\]

Vậy \[\int {\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} }}dx} = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + C\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Đặt \[x = \tan t\] với \[t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\], ta có \[dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\].

Khi đó \[I = \int {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}t}}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt} = \int {dt} = t + C\]

Vậy \[I = \int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} = \arctan x + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Khi đó \[\begin{array}{l}\int {x{e^x}dx} = \int {xd{e^x}} = x.{e^x} - \int {{e^x}.dx} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = x.{e^x} - {e^x} + C\end{array}\]

Chọn A.

Ở ví dụ 1 này, ta ưu tiên đặt \[u = x\], phần còn lại sẽ là dv, tức là \[dv = {e^x}dx\]. Dòng thứ nhất tính đạo hàm, dòng thứ hai tìm nguyên hàm

Hướng dẫn giải

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2019} \right)\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x + 2019}}dx\\v = x + 2019\end{array} \right.\]

(ở đây từ \[dv = dx \Rightarrow v = x + C\], ta có thể chọn \[C = 2019\] để việc tính toán đơn giản hơn)

Khi đó

\[\int {\ln \left( {x + 2019} \right)dx} = \left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) - \int {dx} \]

Vậy \[\int {\ln \left( {x + 2019} \right)dx} = \left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) - x + C\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \cos xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Khi đó \[\int {{e^x}.\sin xdx} = {e^x}.\sin x - \int {{e^x}.\cos xdx} \]

Đến đây ta phải áp dụng phương pháp từng phần một lần nữa, cụ thể:

Với \[\int {{e^x}.\cos xdx} \] ta thực hiện tương tự như sau:

+ Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - \sin xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

+ Khi đó \[\int {{e^x}.\cos xdx} = {e^x}.\cos x + \int {{e^x}.\sin xdx} \]

Vậy \[\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\int {{e^x}.\sin xdx} = {e^x}.\sin x - \int {{e^x}.\cos xdx} \\ \Leftrightarrow \int {{e^x}.\sin xdx} = {e^x}.\sin x - \left( {{e^x}.\cos x + \int {{e^x}.\sin xdx} } \right)\\ \Leftrightarrow \int {{e^x}.\sin xdx} = \frac{1}{2}{e^x}.\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\end{array}\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2 + {x^2}} \right)\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{2x}}{{{x^2} + 2}}dx\\v = \frac{{{x^2} + 2}}{2}\end{array} \right.\]

Khi đó \[I = \frac{{{x^2} + 2}}{2}\ln \left( {{x^2} + 2} \right) - \int {xdx} = \frac{{{x^2} + 2}}{2}\ln \left( {{x^2} + 2} \right) - \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\\dv = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{\cos x - 2\sin x}}{{\sin x + 2\cos x}}dx\\v = \tan x + 2 = \frac{{\sin x + 2\cos x}}{{\cos x}}\end{array} \right.\]

Khi đó \[\begin{array}{l}I = \left( {\tan x + 2} \right)\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - \int {\frac{{\cos x - 2\sin x}}{{\cos x}}dx} \\\;\; = \left( {\tan x + 2} \right)\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\end{array}\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Phân tích: Ở đây ta sẽ ưu tiên \[u = {x^2}\] là đa thức, tuy nhiên vì bậc của u là 2 nên ta sẽ từng phần hai lần mới thu được kết quả. Nhằm tiết kiệm thời gian, tôi gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể như sau:

Bước 1: Chia thành 3 cột:

+ Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0.

+ Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu của các phép toán đường chéo.

+ Cột 3: Cột dv luôn lấy nguyên hàm đến khi tương ứng với cột 1.

Bước 2: Nhân chéo kết quả của 2 cột với nhau. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu (-), (+), (-),… rồi cộng các tích lại với nhau.

Khi đó \[I = - \frac{1}{5}{x^2}\cos 5x + \frac{2}{{25}}x\sin 5x + \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Nếu làm thông thường thì từng phần 4 lần ta mới thu được kết quả. Ở đây, chúng tôi trình bày theo sơ đồ đường chéo cho kết quả và nhanh chóng hơn.

Vậy \[I = \left( {\frac{{{x^4}}}{3} - \frac{{4{x^3}}}{{{3^2}}} + \frac{{12{x^2}}}{{{3^3}}} - \frac{{24x}}{{{3^4}}} + \frac{{24}}{{{3^5}}}} \right){e^{3x}} + C\].

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Phân tích: Sự tồn tại của hàm số mũ và lượng giác trong cùng một nguyên hàm sẽ rất dễ gây cho người học sự nhầm lẫn, nếu ta sẽ không biết điểm dừng thì có thể sẽ bị lạc vào vòng luẩn quẩn. Ở đây, để tìm được kết quả thì ta phải từng phần hai lần như trong ví dụ 3. Tuy nhiên, với sơ đồ đường chéo thì sao? Khi nào sẽ dừng lại?

Khi đó, ta sẽ có thể kết luận \[I = {e^x}\sin x - {e^x}\cos x - \int {{e^x}\sin xdx} \].

Hay \[2I = {e^x}\sin x - {e^x}.\cos x\]. Vậy \[I = \frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Vậy \[I = \int {x.\ln xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln 2 - \frac{{{x^2}}}{4} + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Vậy \[I = \left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) - \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x + C\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có \[F'\left( x \right) = f\left( x \right){e^{2x}} \Leftrightarrow {e^x} + \left( {x - 1} \right){e^x} = f\left( x \right).{e^{2x}} \Leftrightarrow f\left( x \right).{e^{2x}} = x.{e^x}\].

Xét \[\int {f'\left( x \right){e^{2x}}dx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{2x}}\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2{e^{2x}}dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\]

Do đó \[I = f\left( x \right).{e^{2x}} - 2\int {f\left( x \right){e^x}dx} = x{e^x} - 2\left( {x - 1} \right){e^x} + C\]

Vậy \[I = \int {f'\left( x \right){e^{2x}}dx} = \left( {2 - x} \right){e^x} + C\]

Chọn A.