50 bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có lời giải

Quãng đường vật đi được sau 2 giây là: \(s\left( t \right) = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)} \,{\rm{d}}t = \frac{2}{3}\;\left( {\rm{m}} \right)\).

Gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 2t - 2\), do gia tốc bị triệt tiêu \( \Leftrightarrow a\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\;\)(giây).

Quãng đường vật đi được sau \(1\) giây là: \(s\left( t \right) = \int\limits_0^1 {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^1 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)} \,{\rm{d}}t = \frac{1}{3}\;\left( {\rm{m}} \right)\).

Vận tốc đạt \(9\;{\rm{m/s}}\) \( \Leftrightarrow v\left( t \right) = 9 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow t = 4\) (nhận).

Quãng đường vật đi được trong khoảng từ \(2\)giây đến \(4\) giây là:

\(s\left( t \right) = \int\limits_2^4 {v\left( t \right){\rm{d}}t = } \int\limits_2^4 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right){\rm{d}}t = \frac{{26}}{3}} \;\;\left( {\rm{m}} \right)\).

Gia tốc \(a\left( t \right) = 10 \Leftrightarrow 2t - 2 = 10 \Leftrightarrow t = 6\;\)(giây).

Quãng đường vật đi được từ \(0\) giây đến \(6\) giây là: \(s\left( t \right) = \int\limits_0^6 {v\left( t \right)\,} {\rm{d}}t = \int\limits_0^6 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right){\rm{d}}t = 42\;\left( {\rm{m}} \right)} \).

Hình phẳng được tô màu trong hình vẽ đã cho giới hạn bởi bốn đường \(y = {e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1\), \(x = 1\). Diện tích hình phẳng này là \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\rm{e}}^x}} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\rm{e}}^x}} \,{\rm{d}}x\].

Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\rm{e}}^x}} \,{\rm{d}}x = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_{ - 1}^1 = {\rm{e}} - \frac{1}{{\rm{e}}}\).

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục \(Ox\) là:

\[V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{e^{2x}}{\rm{d}}x = } \pi \left( {\left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_{ - 1}^1} \right) = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)\].

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                   c) Đúng,      d) Đúng.

Ta có \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x} = - \cos x - \sin x + 2\tan x + C\].

Mà \[F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow - \cos 0 - \sin 0 + 2\tan 0 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2 \Rightarrow F\left( x \right) = - \cos x - \sin x + 2\tan x + 2\].

\[ \Rightarrow F\left( \pi \right) = - \cos \pi - \sin \pi + 2\tan \pi + 2 = 3\].

Đáp án: \(3\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\int\limits_2^7 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1}\\{\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 4} }\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x + 3\int\limits_2^7 {g\left( x \right)} } \,{\rm{d}}x = 1}\\{\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x - 2\int\limits_2^7 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 4} }\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2} }\\{\int\limits_2^7 {g\left( x \right){\rm{d}}x = - 1} }\end{array}} \right.\).

Khi đó, \(\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 3\int\limits_7^2 {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\)\( = \int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 3\int\limits_2^7 {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\)\( = 2 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1\).

Đáp án: \( - 1\).

Từ đồ thị ta có \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ { - 2{\rm{;0}}} \right]\) và \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left[ {0{\rm{;}}\,\,{\rm{1}}} \right]\).

Do đó \[S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\]\( = 3 - \left( { - 1} \right) = 4\).

Đáp án: \(4\).

Ta có $I=\int \left[2g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]\text{d}x=2\int g\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x-\int f\left(x\right)\text{d}x=2F_2\left(x\right)-F_1\left(x\right)+C$ . Chọn C.

Do $F\left(x\right)$  là một nguyên hàm của hàm số $5^x$  nên $F^{\text{'}}\left(x\right)=5^x.$  Chọn D.

$F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x\sin x+\cos x+2024\right)}^{\text{'}}=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x ,\forall x\in ℝ$

 Hàm số $F\left(x\right)$  là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\cos x$  trên R. Chọn D.

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {2x + {e^x}} \right){\rm{d}}x = {x^2} + {e^x}} } + C\).

\(F\left( 0 \right) = 2024 \Rightarrow C = 2023 \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023\). Chọn A.

Ta có $\int f\left(x\right)\text{d}x=\int \left(\frac{1}{x}+\sin x\right)\text{d}x=\int \frac{1}{x}\text{d}x+\int \sin x\text{d}x=\ln \left|x\right|-\cos x+C$ . Chọn D.

Ta có: \[y = {e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right) = 2{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\].

Khi đó, \[\int {y{\rm{d}}x = } \int {\left( {2{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x = 2{e^x} + \tan x + C} \]. Chọn A.

Ta có \[\int {\left( {{5^{2x}} - 6{e^{ - \frac{x}{2}}}} \right){\rm{d}}x} = \int {{5^{2x}}{\rm{d}}x} - 6\int {{e^{ - \frac{x}{2}}}} {\rm{d}}x = \int {{{25}^x}} {\rm{d}}x - 6\int {{{\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right)}^x}{\rm{d}}x} \]

\( = \frac{{{{25}^x}}}{{\ln 25}} - 6 \cdot \frac{{{{\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right)}^x}}}{{\ln {e^{ - \frac{1}{2}}}}} + C = \frac{{{{25}^x}}}{{\ln 25}} + 12{e^{ - \frac{x}{2}}} + C\). Chọn B.

Khi đó $F\left(\ln 3\right)=\frac{1}{2}{e}^{2\ln 3}-\frac{1}{2}=4$  . Chọn D.

Gọi \(h\left( t \right)\) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau \(t\) giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int {\left( {25 - 9,8t} \right)} \,{\rm{d}}t = 25t - 4,9{t^2} + C\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Do \[h\left( 0 \right) = 0\] nên \(C = 0\)\( \Rightarrow h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 25t\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(h = - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{3125}}{{98}}\,\,\left( m \right)\) khi \(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{125}}{{49}}\) giây. Chọn B.

Ta có:  $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[2+f\left(x\right)\right]\text{d}x={\left.\left(2x+x^2\right)\right|}_1^2=8-3=5$. Chọn B.

\(J = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \).

Tính \({J_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x - 1} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = 0 - 2 = - 2\).

Tính \({J_2} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \int\limits_1^2 {1{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = 2 - 1 = 1\).

Vậy \(J = - 2 + 1 = - 1\). Chọn A.

Quãng đường vật đó đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là

 $S=\underset{4}{\overset{10}{\int }}\left(3t^2+5\right)\text{dt}=966$ (m). Chọn D.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left[a\left(x-x^2\right)\right]=0\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(2x\right)=0\end{array}\right.$ , và $f\left(0\right)=0$ .

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên R.

Do đó $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}2x\text{d}x+\underset{0}{\overset{1}{\int }}a\left(x-x^2\right)\text{d}x$              

 $={\left.\left(x^2\right)\right|}_{-1}^0+{\left.a\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^1=-1+a\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{a}{6}-1$ . Chọn A.

Ta có $\underset{0}{\overset{b}{\int }}\left(3x^2-2ax-1\right)\text{d}x={\left.\left(x^3-a{x}^2-x\right)\right|}_0^b=b^3-a{b}^2-b$. Chọn A.

Ta có: $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\text{\hspace{0.17em}d}x={\left.\left(\ln \left|x\right|+\frac{1}{x}\right)\right|}_1^e=\frac{1}{e}$ . Chọn A.

Ta có $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{x+2}{x}\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(1+\frac{2}{x}\right)\text{d}x=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\text{d}x+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{2}{x}\text{\hspace{0.17em}d}x=2+2{\left.\ln \left|x\right|\right|}_1^3=2+2\ln 3.$

Do đó $a=2,b=2,c=3\Rightarrow S=7.$  Chọn A.

Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{3x-1}\text{d}x=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{{\left(e^3\right)}^x}{e}\text{d}x=\frac{1}{e}\cdot {\left.\frac{{\left(e^3\right)}^x}{\ln e^3}\right|}_1^2=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\cdot e^{3x-1}{\left.\right|}_1^2=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\left(e^5-e^2\right)$ .

Suy ra $m=\frac{1}{3},p=5$ và q = 2. Vậy $m+p+q=\frac{1}{3}+5+2=\frac{22}{3}$ . Chọn C.

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b   là:

 $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x=\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x=-\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$. Chọn C.

Ta có $S=\underset{-3}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{\hspace{0.17em}d}x+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{\hspace{0.17em}d}x=-\underset{-3}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=-a+b$ .

Chọn D.

Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^x,y=0,x=0,x=2$  quay quanh Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích: $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(e^x\right)}^2 \text{d}x=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{e}^{2x} \text{d}x$ . Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \[f\left( a \right) > f\left( b \right)\]; \[f\left( c \right) > f\left( b \right)\]     \[\left( 1 \right)\].

Gọi \[{S_1}\] là diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\], trục hoành và các đường thẳng \[x = a;x = b\].

Gọi \[{S_2}\] là diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\], trục hoành và các đường thẳng \[x = b;x = c\].

Ta có: \[{S_1} = \int\limits_a^b {\left( { - f'\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_b^a {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( a \right) - f\left( b \right)\]; \[{S_2} = \int\limits_b^c {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( c \right) - f\left( b \right)\].

Quan sát hình vẽ ta thấy \[{S_2} > {S_1} \Rightarrow f\left( c \right) - f\left( b \right) > f\left( a \right) - f\left( b \right) \Rightarrow f\left( c \right) > f\left( a \right){\rm{    }}\left( 2 \right)\].

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có \[f\left( c \right) > f\left( a \right) > f\left( b \right)\]. Chọn A.

Diện tích hình phẳng cần tìm là $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-2x\right|\text{d}x=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(2x-x^2\right)\text{d}x={\left.\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^2=\frac{4}{3}$ . Chọn C.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:

$V=\pi \underset{4}{\overset{9}{\int }}{\left(\sqrt{x}-2\right)}^2\text{d}x=\pi \underset{4}{\overset{9}{\int }}\left(x-4\sqrt{x}+4\right)\text{d}x=\pi {\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{8x\sqrt{x}}{3}+4x\right)\right|}_4^9$

 $=\pi \left(\frac{81}{2}-72+36\right)-\pi \left(\frac{16}{2}-\frac{64}{3}+16\right)=\frac{11\pi }{6}$. Chọn D.

Diện tích hình vuông có cạnh bằng 1 là $S=1^2=1$  .

Gọi $S_1$  là diện tích phần tô đậm.

Ta có $S_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt[3]{x}-x^3\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^{\frac{1}{3}}-x^3\right)\text{d}x={\left.\left(\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-\frac{x^4}{4}\right)\right|}_0^1=\frac{1}{2}$ .

Vậy diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch men bằng $S-S_1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ . Chọn C.

Phương trình nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox có r = 2 là: $y=\sqrt{4-x^2}$ .

Thể tích cần tính là: $V=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(4-x^2\right)\text{d}x={\left.\pi \left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-1}^1=\pi \left(\frac{11}{3}+\frac{11}{3}\right)=\frac{22\pi }{3}$ . Chọn B.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).

Khi đó, \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {8{x^3} + \sin x} \right){\rm{d}}x = 2{x^4} - \cos x} } + {C_1}\).

Mà \(f\left( 0 \right) = 3 \Rightarrow {C_1} = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 4\).

Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 4} \right){\rm{d}}x = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 4x} } + C\).

Vì \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 2\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 4x + C\\F\left( 0 \right) = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow C = 2 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 4x + 2 \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                    d) Đúng.

Ta có \[Q\left( t \right) = \int {Q'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {\left( {4{t^3} - 72{t^2} + 288t} \right){\rm{d}}t} } = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + C\].

Mà \[Q\left( 2 \right) = 500 \Rightarrow C = 100\]. Suy ra \[Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + 100\].

Sau 5 giờ lượng khách tham quan là \[Q\left( 5 \right) = 1\,325\].

Ta có \(Q'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\) hoặc \(t = 6\) hoặc \(t = 12\).

Có \[Q\left( 0 \right) = 100,\,Q\left( 6 \right) = 1\,396,\,Q\left( {12} \right) = 100,Q\left( {13} \right) = 269\]. Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,13} \right]} Q\left( t \right) = Q\left( 6 \right) = 1396.\] có nghĩa là lượng khách tham quan lớn nhất là 1 296 người.

Để tìm thời điểm tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất, ta tìm thời điểm \(t\) để \(Q'\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0;13} \right]\). Ta có \(Q''\left( t \right) = 12{t^2} - 144t + 288\).

\(Q''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6 + 2\sqrt 3 \) hoặc \(t = 6 - 2\sqrt 3 \).

Có \(Q'\left( 0 \right) = 0;\,Q'\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right) \approx 332,56;\,\,Q'\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right) \approx - 332,56;\,\,Q'\left( {13} \right) = 364\).

Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số \(Q'\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;13} \right]\) bằng \(364\) tại \(t = 13\).

Vậy tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm \[t = 13\].

Đáp án:       a) Sai,                    b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x\) thì \(F'\left( x \right) = {\cos ^2}x \Rightarrow F''\left( x \right) = - \sin 2x\).

Vì \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {{{\cos }^2}x{\rm{d}}x = \int {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} } {\rm{d}}x = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C\). Nên \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C\).

Mà \(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0.\) Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4}\).

Nếu \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow \int {F\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + 1} \right){\rm{d}}x = } \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{\cos 2x}}{8} + x + C} \).

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                   c) Đúng,      d) Sai.

Hiệu số \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\) gọi là tích phân từ \(0\) đến \(3\) của hàm số \(f\left( x \right)\).

Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\).

Khi đó, \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_3^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\).

Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^3 {f\left( t \right){\rm{dt}}} \). Mà \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1\).

Suy ra \(\int\limits_0^3 {f\left( t \right){\rm{dt}}} = 1\).

Ta có hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 3\) có diện tích \[S = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1\].

Đáp án:       a) Sai,                    b) Đúng,     c) Đúng,      d) Đúng.

Ta có \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {2t - 7} \right){\rm{d}}t} = {t^2} - 7t + C\].

Mà \(v\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow C = 6\). Vậy \(v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 6\) (m/s).

Ta có \(v\left( 7 \right) = {7^2} - 7 \cdot 7 + 6 = 6\) (m/s).

Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 7\) là

\(S = \int\limits_1^7 {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_1^7 {\left( {{t^2} - 7t + 6} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7{t^2}}}{2} + 6t} \right)} \right|_1^7 = - 18\).

Tọa độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) là \(x\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {{t^2} - 7t + 6} \right){\rm{d}}t} = \frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7{t^2}}}{2} + 6t + C'\).

Ta cần tìm thời điểm \(t\) để \(x\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất với \(t \in \left[ {0;\,8} \right]\).

Ta có \(x'\left( t \right) = v\left( t \right) = 0\) khi \(t = 1\) hoặc \(t = 6\).

Lại có \(x\left( 0 \right) = C'\), \(x\left( 1 \right) = \frac{{17}}{6} + C'\), \(x\left( 6 \right) = - 18 + C'\), \(x\left( 8 \right) = - \frac{{16}}{3} + C'\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(x\left( t \right)\) với \(t \in \left[ {0;\,8} \right]\) đạt được khi \(t = 1\).

Đáp án:       a) Sai,                    b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.

Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số

\({s_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {6 - 3t} \right)} \,{\rm{d}}t = 6t - \frac{{3{t^2}}}{2} + \,\,C\,\,(\;{\rm{m}})\).

Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số

\({s_2}\left( t \right) = \int {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {12 - 4t} \right)} \,{\rm{d}}t = 12t - 2{t^2} + \,\,C'\,\,(\;{\rm{m}})\).

Thời gian người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là: \(6 - 3t = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\) giây.

Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là:

\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {6 - 3t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {6t - \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2\)\( = 6\) mét.

Thời gian người thứ hai di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là: \(12 - 4t = 0\)\( \Leftrightarrow t = 3\) giây.

Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là:

\({S_2} = \int\limits_0^3 {\left( {12 - 4t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {12t - 2{t^2}} \right)} \right|_0^3\)\( = 18\) mét.

Khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn là: \(S = {S_1} + {S_2}\)\( = 6 + 18 = 24\) mét.

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.

Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số

\({s_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {6 - 3t} \right)} \,{\rm{d}}t = 6t - \frac{{3{t^2}}}{2} + \,\,C\,\,(\;{\rm{m}})\).

Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số

\({s_2}\left( t \right) = \int {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {12 - 4t} \right)} \,{\rm{d}}t = 12t - 2{t^2} + \,\,C'\,\,(\;{\rm{m}})\).

Thời gian người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là: \(6 - 3t = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\) giây.

Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là:

\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {6 - 3t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {6t - \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2\)\( = 6\) mét.

Thời gian người thứ hai di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là: \(12 - 4t = 0\)\( \Leftrightarrow t = 3\) giây.

Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là:

\({S_2} = \int\limits_0^3 {\left( {12 - 4t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {12t - 2{t^2}} \right)} \right|_0^3\)\( = 18\) mét.

Khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn là: \(S = {S_1} + {S_2}\)\( = 6 + 18 = 24\) mét.

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.

Công thức tính diện tích hình phẳng (H) là: $S_{\left(H\right)}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+3\right)\text{d}x$ .

Diện tích hình phẳng (H) là $S_{\left(H\right)}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+3\right)\text{d}x=\frac{26}{3}$ .

Công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox là: $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x^2+3\right)}^2\text{d}x$ .

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x^2+3\right)}^2\text{d}x=\frac{202\pi }{5}$

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.

+) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập của \[60\% \] các gia đình đầu tiên chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập là: \[f\left( {60} \right) = 27,321529\,\,\left( \% \right)\].

+) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo đến giàu, rồi chia thành \[10\] nhóm bằng nhau, mỗi nhóm chiếm \[10\% \] số gia đình của Hoa Kỳ.

Tổng thu nhập của \[30\% \] số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm \[1,2,3\]) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: \[f\left( {30} \right) = 8,561476\,\,\left( \% \right)\].

Tổng thu nhập của \[20\% \] số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm \[1,2\]) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: \[f\left( {20} \right) = 5,774409\,\,\,\left( \% \right)\].

\[ \Rightarrow \] Tỷ lệ của tổng thu nhập các gia đình nhóm thứ \[3\] so với toàn bộ các gia đình là:

\[f\left( {30} \right) - f\left( {20} \right) = 2,787067\,\,\left( \% \right)\].

+) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì vào năm \[2005\] là diện tích hình phẳng \[S\] giới hạn bởi các đồ thị \[y = x\]; \[y = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2}\] và hai đường thẳng \(x = 0;x = 100\).

\[ \Rightarrow S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \].

Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng một trong hai cách sau:

Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta thấy phương trình \[{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2} - x = 0\] có hai nghiệm \[x = a\,;x = b\,\,\left( {a < b} \right)\] thuộc \[\left[ {0\,;100} \right]\].

Xét dấu biểu thức \[g\left( x \right) = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2} - x\] ta được:

Vậy \[S = \int\limits_0^{100} {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^a {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_a^b {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_b^{100} {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \]\[ = \int\limits_0^a {g\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^{100} {g\left( x \right){\rm{d}}x} \].

Cách 2.

Sử dụng máy tính cầm tay ta được: \[S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \approx 2068,9\].

Kiểm tra phép tính của đề bài, ta có: \[\int\limits_0^{100} {\left[ {x - {{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} = 2059,3131\].

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm \(2005\) là:

\[S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \approx 2068,9 > 2000\].

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                       d) Đúng.