50 bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có lời giải
50 câu hỏi
Hàm số \(F\left( x \right) = {e^{{x^2}}}\) là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
\(f\left( x \right) = 2x{e^{{x^2}}}\).
\(f\left( x \right) = {x^2}{e^{{x^2}}} - 1\).
\(f\left( x \right) = {e^{2x}}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^2}}}}}{{2x}}\).
Tìm nguyên hàm \(\int {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} \).
\(F\left( x \right) = - \cos x - \sin x + C\).
\(F\left( x \right) = \cos x + \sin x + C\)
\(F\left( x \right) = \cot x - \tan x + C\).
\(F\left( x \right) = - \cot x - \tan x + C\).
Ta có:
Chọn D.
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường . Mệnh đề nào dưới đây là sai?
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{2^x} - 1} \right|{\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {1 - {2^x}} \right|{\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^2 {\left( {1 - {2^x}} \right){\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^2 {\left( {{2^x} - 1} \right){\rm{d}}x} \).
Xét \(x \in \left[ {0;2} \right]\), ta có \({2^x} \ge {2^0} \Leftrightarrow {2^x} \ge 1\) nên \(\left| {{2^x} - 1} \right| = {2^x} - 1\).
Diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{2^x} - 1} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left| {1 - {2^x}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( {{2^x} - 1} \right){\rm{d}}x} \). Chọn C.
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,\,x = 2\) quanh trục hoành là:
\(V = \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{\rm{d}}x} \).
\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{\rm{d}}x} \). x
\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{\rm{d}}x} \).
\(V = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {x + 1} \right|{\rm{d}}x} \).D. \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {x + 1} \right|{\rm{d}}x} \).
Ta có . Chọn B.
Một chiếc xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với vận tốc \(72\,{\rm{km/h}}\) thì tài xế bất ngờ đạp phanh làm cho chiếc ô tô chuyển động chậm với gia tốc \(a\left( t \right) = - \frac{8}{5}t{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Hỏi kể từ khi đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn thì ô tô di chuyển bao nhiêu mét? (Giả sử trên đường ô tô di chuyển không có gì bất thường).
\(50{\rm{ m}}\).
\(\frac{{250}}{3}{\rm{ m}}\).
\(\frac{{200}}{3}{\rm{ m}}\).
\(\frac{{100}}{3}{\rm{ m}}\).
Vận tốc của ô tô là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{dt}}} \)\( = \int {\left( { - \frac{8}{5}t} \right){\rm{dt}}} \)\( = - \frac{4}{5}{t^2} + C\).
Ta có \(72\,{\rm{km/h}} = 20\,{\rm{m/s}}\). Vì \(v\left( 0 \right) = 20\) nên \(C = 20\)\( \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{4}{5}{t^2} + 20\).
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng \(0\) nên \( - \frac{4}{5}{t^2} + 20 = 0 \Rightarrow t = 5\).
Quãng đường cần tìm là \(s = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{4}{5}{t^2} + 20} \right)} \,{\rm{dt}}\)\( = \left. {\left( { - \frac{4}{{15}}{t^3} + 20t} \right)} \right|_0^5\)\( = \frac{{200}}{3}\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\). Chọn C.
Cho \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \cos x + C} \).
a)\(f\left( x \right) = \sin x\).
b)\[\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = - \sin x + C} \].
c)\(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\). Nếu \(F\left( 0 \right) = 2\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
d)\(\int {\left[ { - 2\cos x \cdot f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos 2x + C} \).
Ta có \(f\left( x \right) = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\);\(\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = f\left( x \right) + C = - \sin x + C} \).
Vì \(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nên \(F\left( x \right) = \cos x + C\), mà \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 1\).
Do đó, \(F\left( x \right) = \cos x + 1\). Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} + 1 = 1\).
Ta có \(\int {\left[ { - 2\cos x \cdot f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = \int {\left[ { - 2\cos x \cdot \left( { - \sin x} \right)} \right]} \,{\rm{d}}x = \int {\sin 2x} {\rm{d}}x = - \frac{1}{2}\cos 2x + C} \).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Cho \(\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 4\) và \(\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - 3\).
a) \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = - 7\).
b) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1\].
c) \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ { - 3f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 12\).
d)\[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = - 51\].
Ta có: \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \left( { - 4} \right) + \left( { - 3} \right) = - 7\).
\[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \]\( = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \left( { - 4} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\).
\(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ { - 3f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \left( { - 3} \right) \cdot \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 12\).
\[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 2\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 3\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} \]\( = 2 \cdot \left( { - 4} \right) + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = - 17\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Một vật chuyển động đều với vận tốc có phương trình \(v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1\), trong đó \(t\) được tính bằng giây, quãng đường \(s\left( t \right)\) được tính bằng mét.
a) Quãng đường đi được của vật sau \(2\) giây là: \(\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}\;{\rm{m}}\).
b) Quãng đường vật đi được khi gia tốc bị triệt tiêu là \(\frac{1}{3}\;{\rm{m}}\).
c) Quãng đường vật đi được trong khoảng từ \(2\)giây đến thời gian mà vận tốc đạt \(9\;{\rm{m/s}}\) là: \(\frac{{26}}{3}\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)
d) Quãng đường vật đi được từ \(0\) giây đến thời gian mà gia tốc bằng \(10\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\) là \(44\;{\rm{m}}\).
Quãng đường vật đi được sau 2 giây là: \(s\left( t \right) = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)} \,{\rm{d}}t = \frac{2}{3}\;\left( {\rm{m}} \right)\).
Gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 2t - 2\), do gia tốc bị triệt tiêu \( \Leftrightarrow a\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\;\)(giây).
Quãng đường vật đi được sau \(1\) giây là: \(s\left( t \right) = \int\limits_0^1 {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int\limits_0^1 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)} \,{\rm{d}}t = \frac{1}{3}\;\left( {\rm{m}} \right)\).
Vận tốc đạt \(9\;{\rm{m/s}}\) \( \Leftrightarrow v\left( t \right) = 9 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow t = 4\) (nhận).
Quãng đường vật đi được trong khoảng từ \(2\)giây đến \(4\) giây là:
\(s\left( t \right) = \int\limits_2^4 {v\left( t \right){\rm{d}}t = } \int\limits_2^4 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right){\rm{d}}t = \frac{{26}}{3}} \;\;\left( {\rm{m}} \right)\).
Gia tốc \(a\left( t \right) = 10 \Leftrightarrow 2t - 2 = 10 \Leftrightarrow t = 6\;\)(giây).
Quãng đường vật đi được từ \(0\) giây đến \(6\) giây là: \(s\left( t \right) = \int\limits_0^6 {v\left( t \right)\,} {\rm{d}}t = \int\limits_0^6 {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right){\rm{d}}t = 42\;\left( {\rm{m}} \right)} \).
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Cho đồ thị hàm số \(y = {{\rm{e}}^x}\) và hình được tô màu như hình bên.
![Cho đồ thị hàm số \(y = {{\rm{e}}^x}\) và hình được tô màu như hình bên. a) Hình phẳng được tô màu giới hạn bởi \[3\] đường. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid0-1735917286.png)
a) Hình phẳng được tô màu giới hạn bởi \[3\] đường.
b) Diện tích hình phẳng được tính bởi công thức \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \].
c) Diện tích hình phẳng \(S = e - \frac{1}{e}\).
d) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục \(Ox\) là \[V = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)\].
Hình phẳng được tô màu trong hình vẽ đã cho giới hạn bởi bốn đường \(y = {e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1\), \(x = 1\). Diện tích hình phẳng này là \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\rm{e}}^x}} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\rm{e}}^x}} \,{\rm{d}}x\].
Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\rm{e}}^x}} \,{\rm{d}}x = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_{ - 1}^1 = {\rm{e}} - \frac{1}{{\rm{e}}}\).
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục \(Ox\) là:
\[V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{e^{2x}}{\rm{d}}x = } \pi \left( {\left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_{ - 1}^1} \right) = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)\].
Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}\] và\[F\left( 0 \right) = 1\]. Tính giá trị \[F\left( \pi \right)\].
Ta có \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x} = - \cos x - \sin x + 2\tan x + C\].
Mà \[F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow - \cos 0 - \sin 0 + 2\tan 0 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2 \Rightarrow F\left( x \right) = - \cos x - \sin x + 2\tan x + 2\].
\[ \Rightarrow F\left( \pi \right) = - \cos \pi - \sin \pi + 2\tan \pi + 2 = 3\].
Đáp án: \(3\).
Cho các hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Giả sử \(\int\limits_2^7 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1\) và \(\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 4} \). Khi đó, \(\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 3\int\limits_7^2 {g\left( x \right)\,} {\rm{d}}x\) bằng bao nhiêu?
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\int\limits_2^7 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1}\\{\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 4} }\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x + 3\int\limits_2^7 {g\left( x \right)} } \,{\rm{d}}x = 1}\\{\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x - 2\int\limits_2^7 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 4} }\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2} }\\{\int\limits_2^7 {g\left( x \right){\rm{d}}x = - 1} }\end{array}} \right.\).
Khi đó, \(\int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 3\int\limits_7^2 {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\)\( = \int\limits_2^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 3\int\limits_2^7 {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\)\( = 2 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1\).
Đáp án: \( - 1\).
Từ đồ thị ta có \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ { - 2{\rm{;0}}} \right]\) và \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left[ {0{\rm{;}}\,\,{\rm{1}}} \right]\).
Do đó \[S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\]\( = 3 - \left( { - 1} \right) = 4\).
Đáp án: \(4\).
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = 3x + {x^2}\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 0;x = 3\] quanh trục \[Ox\] bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Thể tích cần tìm là: \[V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {3x + {x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}} x\]\[ = \frac{{2511\pi }}{{10}} \approx 789\].
Đáp án: \(789\).
Cho \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {F_1}\left( x \right)\), \(\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = {F_2}\left( x \right)\). Tính \[I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \].
\(2{F_1}\left( x \right) - {F_2}\left( x \right) + C\).
\({F_2}\left( x \right) - {F_1}\left( x \right) + C\).
\(2{F_2}\left( x \right) - {F_1}\left( x \right) + C\).
\(\left| {{F_1}\left( x \right) + {F_2}\left( x \right)} \right| + C\).
Ta có . Chọn C.
Cho \(\int {{5^x}{\rm{d}}x} \, = F\left( x \right) + C\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(F'\left( x \right) = {5^x}\ln 5\).
\(F'\left( x \right) = {5^x} + C\).
\(F'\left( x \right) = - {5^x}\).
\(F'\left( x \right) = {5^x}\).
Do là một nguyên hàm của hàm số nên Chọn D.
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).
Hàm số \(F\left( x \right) = x\sin x + \cos x + 2024\) là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
\(f\left( x \right) = x\sin x\).
\(f\left( x \right) = - x\cos x\).
\(f\left( x \right) = - x\sin x\).
\(f\left( x \right) = x\cos x\).
Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên R. Chọn D.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x + {e^x}\). Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 2024\).
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023\).
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2023\).
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2022\).
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2024\).
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {2x + {e^x}} \right){\rm{d}}x = {x^2} + {e^x}} } + C\).
\(F\left( 0 \right) = 2024 \Rightarrow C = 2023 \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023\). Chọn A.
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \sin x\) là
\(\ln x - \cos x + C\).
\( - \frac{1}{{{x^2}}} - \cos x + C\).
\(\ln \left| x \right| + \cos x + C\).
\(\ln \left| x \right| - \cos x + C\).
Ta có . Chọn D.
Họ nguyên hàm của hàm số \[y = {e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\] là
\[2{e^x} + \tan x + C\].
\[2{e^x} - \tan x + C\].
\[2{e^x} - \frac{1}{{\cos x}} + C\].
\[2{e^x} + \frac{1}{{\cos x}} + C\].
Ta có: \[y = {e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right) = 2{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\].
Khi đó, \[\int {y{\rm{d}}x = } \int {\left( {2{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x = 2{e^x} + \tan x + C} \]. Chọn A.
\[\int {\left( {{5^{2x}} - 6{e^{ - \frac{x}{2}}}} \right){\rm{d}}x} \] bằng
\[{e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\].
\[\frac{{{{25}^x}}}{{2\ln 5}} + 12{e^{ - \frac{x}{2}}} + C\].
\[{e^x} - 2{e^{ - 2x}} + C\].
\[\frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + \frac{{{e^{ - 2x + 1}}}}{{ - 2x + 1}} + C\].
Ta có \[\int {\left( {{5^{2x}} - 6{e^{ - \frac{x}{2}}}} \right){\rm{d}}x} = \int {{5^{2x}}{\rm{d}}x} - 6\int {{e^{ - \frac{x}{2}}}} {\rm{d}}x = \int {{{25}^x}} {\rm{d}}x - 6\int {{{\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right)}^x}{\rm{d}}x} \]
\( = \frac{{{{25}^x}}}{{\ln 25}} - 6 \cdot \frac{{{{\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right)}^x}}}{{\ln {e^{ - \frac{1}{2}}}}} + C = \frac{{{{25}^x}}}{{\ln 25}} + 12{e^{ - \frac{x}{2}}} + C\). Chọn B.
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\) và \(F\left( 0 \right) = 0\). Giá trị của \(F\left( {\ln 3} \right)\) bằng
2.
6.
8.
4.
Khi đó . Chọn D.
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm \(t\)giây (coi \(t = 0\)là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi \(v\left( t \right) = 25 - 9,8t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất) đạt giá trị lớn nhất là
\(\frac{{125}}{{49}}\).
\(\frac{{3125}}{{98}}\).
\(\frac{{2375}}{{392}}\).
\(\frac{{1125}}{{98}}\).
Gọi \(h\left( t \right)\)là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau \(t\)giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.
Khi đó \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int {\left( {25 - 9,8t} \right)} \,{\rm{d}}t = 25t - 4,9{t^2} + C\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Do \[h\left( 0 \right) = 0\]nên \(C = 0\)\( \Rightarrow h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 25t\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Vậy viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(h = - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{3125}}{{98}}\,\,\left( m \right)\)khi \(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{125}}{{49}}\)giây. Chọn B.
Nếu \(\int\limits_1^3 f \left( x \right){\rm{d}}x = 2\) thì \[\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]dx} \] bằng
\(20\).
\(18\).
\(12\).
\(10\).
Biết \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của \(\int\limits_1^2 {\left[ {2 + f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \)bằng
\(3\).
\(5\).
\(\frac{{13}}{3}\).
\(\frac{7}{3}\).
Ta có: . Chọn B.
Cho \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\2x - 1\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 1\end{array} \right.\). Tính \(J = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\( - 1\).
\(\frac{1}{2}\).
\(4\).
\(5\).
\(J = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \).
Tính \({J_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x - 1} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = 0 - 2 = - 2\).
Tính \({J_2} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \int\limits_1^2 {1{\mathop{\rm d}\nolimits} x} = 2 - 1 = 1\).
Vậy \(J = - 2 + 1 = - 1\). Chọn A.
Vận tốc của một vật chuyển động là \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 5{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Quãng đường vật đó đi được từ giây thứ \(4\) đến giây thứ \(10\) là
\(669\) m.
\(696\) m.
\(699\) m.
\(966\) m.
Quãng đường vật đó đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là
(m).Chọn D.
Cho số thực \(a\) và hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \le 0\\a\left( {x - {x^2}} \right)\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x > 0\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(\frac{a}{6} - 1.\)
\(\frac{{2a}}{3} + 1.\)
\(\frac{a}{6} + 1.\)
\(\frac{{2a}}{3} - 1.\)
Ta có , và .
Suy ra hàm số f(x) liên tục trên R.
Do đó
. Chọn A.
Với \(a,b\) là các tham số thực. Giá trị tích phân \(\int\limits_0^b {\left( {3{x^2} - 2ax - 1} \right){\rm{d}}x} \) bằng
\({b^3} - {b^2}a - b\).
\({b^3} + {b^2}a + b\).
\({b^3} - b{a^2} - b\).
\(3{b^2} - 2ab - 1\).
Ta có . Chọn A.
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,{\rm{d}}x\).
\(I = \frac{1}{e}\).
\(I = \frac{1}{e} + 1\).
\(I = 1\).
\(I = e\).
Ta có: . Chọn A.
Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} \,{\rm{d}}x = a + b\ln c,\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z},c < 9.\) Tính tổng \(S = a + b + c.\)
\(S = 7\).
\(S = 5\).
\(S = 8\).
\(S = 6\).
Ta có
Do đó Chọn A.
Cho \(\int\limits_1^2 {{e^{3x - 1}}{\rm{d}}x} = m\left( {{e^p} - {e^q}} \right)\) với \(m\), \(p\), \(q \in \mathbb{Q}\) và là các phân số tối giản. Giá trị \(m + p + q\) bằng
\(10\).
\(6\).
\(\frac{{22}}{3}\).
\(8\).
Ta có .
Suy ra và q = 2. Vậy . Chọn C.
![Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] như vẽ hình bên, trục hoành và hai (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid0-1736178868.png)
\(S = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } .\)
\[S = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\]
\(S = - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } .\)
\[S = - \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\]
Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:
. Chọn C.
\(S = a + b.\)
\(S = a - b.\)
\(S = - a - b.\)
\(S = b - a.\)
Ta có .
Chọn D.
Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^x},\,\,y = 0,\,\,x = 0,\,\,x = 2\) quay quanh \(Ox\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(V = \pi \int\limits_0^2 {{e^{2x}}} \;{\rm{d}}x\).
\(V = \int\limits_0^2 {{e^x}} \;{\rm{d}}x\).
\(V = \pi \int\limits_0^2 {{e^x}} \;{\rm{d}}x\).
\(V = \int\limits_0^2 {{e^{2x}}} \;{\rm{d}}x\).
Hình phẳng giới hạn bởi các đường quay quanh Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích: . Chọn A.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị \[y = f'\left( x \right)\] cắt trục \[Ox\] tại ba điểm có hoành độ \[a < b < c\] như hình bên.Mệnh đề nào sau đây là đúng?
![Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị \[y = f'\left( x \right)\] cắt trục \[Ox\] tại ba điểm có hoành (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid2-1736179204.png)
\[f\left( c \right) > f\left( a \right) > f\left( b \right)\].
\[f\left( c \right) > f\left( b \right) > f\left( a \right)\].
\[f\left( a \right) > f\left( b \right) > f\left( c \right)\].
\[f\left( b \right) > f\left( a \right) > f\left( c \right)\].
Dựa vào đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] ta có bảng biến thiên sau:
![Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị \[y = f'\left( x \right)\] cắt trục \[Ox\] tại ba điểm có hoành (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid4-1736179290.png)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: \[f\left( a \right) > f\left( b \right)\]; \[f\left( c \right) > f\left( b \right)\] \[\left( 1 \right)\].
Gọi \[{S_1}\] là diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\], trục hoành và các đường thẳng \[x = a;x = b\].
Gọi \[{S_2}\] là diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\], trục hoành và các đường thẳng \[x = b;x = c\].
![Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị \[y = f'\left( x \right)\] cắt trục \[Ox\] tại ba điểm có hoành (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid5-1736179300.png)
Ta có: \[{S_1} = \int\limits_a^b {\left( { - f'\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_b^a {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( a \right) - f\left( b \right)\]; \[{S_2} = \int\limits_b^c {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( c \right) - f\left( b \right)\].
Quan sát hình vẽ ta thấy \[{S_2} > {S_1} \Rightarrow f\left( c \right) - f\left( b \right) > f\left( a \right) - f\left( b \right) \Rightarrow f\left( c \right) > f\left( a \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\].
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có \[f\left( c \right) > f\left( a \right) > f\left( b \right)\]. Chọn A.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 4x - {x^2}\), \(y = 2x\)và hai đường thẳng \[x = 1,x = e\]bằng
\(4\).
\(\frac{{20}}{3}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{{16}}{3}\)
Diện tích hình phẳng cần tìm là . Chọn C.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt x - 2\], \[y = 0\] và \[x = 4,x = 9\] quay xung quanh trục \[Ox\]. Thể tích khối tròn xoay tạo thành là
\[V = \frac{7}{6}\].
\[V = \frac{{5\pi }}{6}\].
\[V = \frac{{7\pi }}{{11}}\].
\[V = \frac{{11\pi }}{6}\].
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:
. Chọn D.
Trường Nguyễn Văn Trỗi muốn làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là \(2,25\)mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là \(3\) mét. Giá thuê làm mỗi mét vuông là \(1\,500\,000\) đồng. Vậy số tiền nhà trường phải trả là:
\(33\,750\,000\) đồng.
\(3\,750\,000\) đồng.
\(12\,750\,000\) đồng.
\(6\,750\,000\) đồng.
\[\frac{2}{3}\].
\[\frac{3}{4}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{7}{{15}}\].
Diện tích hình vuông có cạnh bằng 1 là .
Gọi là diện tích phần tô đậm.
Ta có .
Vậy diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch men bằng . Chọn C.
Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng\[R\]. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc \[30^\circ \] ta thu được hai khối gỗ có thể tích là \[{V_1}\] và \[{V_2}\], với .
![Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng \[R\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid8-1736179875.png)
Thể tích \[{V_1}\] bằng
\[{V_1} = \frac{{2\sqrt 3 {R^3}}}{9}\].
\[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 \pi {R^3}}}{{27}}\].
\[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 \pi {R^3}}}{{18}}\].
\[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 {R^3}}}{{27}}\].
Phương trình nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox có r = 2 là: .
Thể tích cần tính là: . Chọn B.
\[\frac{{11\pi }}{3}\].
\[\frac{{22\pi }}{3}\].
\[\frac{{4\pi }}{3}\].
\[\frac{{22}}{3}\].
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).
Khi đó, \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {8{x^3} + \sin x} \right){\rm{d}}x = 2{x^4} - \cos x} } + {C_1}\).
Mà \(f\left( 0 \right) = 3 \Rightarrow {C_1} = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 4\).
Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 4} \right){\rm{d}}x = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 4x} } + C\).
Vì \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 2\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 4x + C\\F\left( 0 \right) = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow C = 2 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 4x + 2 \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}\).
a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).
b) Biết \(f\left( 0 \right) = 3\). Khi đó, \(f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 3\).
c) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 3} \right){\rm{d}}x = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 3x} } + C\), với \(C\) là hằng số.
d) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó, \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).
Ta có \[Q\left( t \right) = \int {Q'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {\left( {4{t^3} - 72{t^2} + 288t} \right){\rm{d}}t} } = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + C\].
Mà \[Q\left( 2 \right) = 500 \Rightarrow C = 100\].Suy ra\[Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + 100\].
Sau 5 giờ lượng khách tham quan là \[Q\left( 5 \right) = 1\,325\].
Ta có \(Q'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\) hoặc \(t = 6\) hoặc \(t = 12\).
Có \[Q\left( 0 \right) = 100,\,Q\left( 6 \right) = 1\,396,\,Q\left( {12} \right) = 100,Q\left( {13} \right) = 269\]. Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,13} \right]} Q\left( t \right) = Q\left( 6 \right) = 1396.\] có nghĩa là lượng khách tham quan lớn nhất là 1 296 người.
Để tìm thời điểm tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất, ta tìm thời điểm \(t\) để \(Q'\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0;13} \right]\). Ta có \(Q''\left( t \right) = 12{t^2} - 144t + 288\).
\(Q''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6 + 2\sqrt 3 \) hoặc \(t = 6 - 2\sqrt 3 \).
Có \(Q'\left( 0 \right) = 0;\,Q'\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right) \approx 332,56;\,\,Q'\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right) \approx - 332,56;\,\,Q'\left( {13} \right) = 364\).
Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số \(Q'\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;13} \right]\) bằng \(364\) tại \(t = 13\).
Vậy tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm \[t = 13\].
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số \[Q'\left( t \right) = 4{t^3} - 72{t^2} + 288t\], trong đó\(t\) tính bằng giờ \[\left( {0 \le t \le 13} \right)\], \[Q'\left( t \right)\]tính bằng khách/giờ. Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.
a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số \[Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2}\].
b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người.
c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người.
d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm \[t = 6\].\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x\) thì \(F'\left( x \right) = {\cos ^2}x \Rightarrow F''\left( x \right) = - \sin 2x\).
Vì \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {{{\cos }^2}x{\rm{d}}x = \int {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} } {\rm{d}}x = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C\). Nên \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C\).
Mà \(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0.\) Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4}\).
Nếu \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow \int {F\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + 1} \right){\rm{d}}x = } \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{\cos 2x}}{8} + x + C} \).
Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x\).
a)\(F''\left( x \right) = \sin 2x\).
b)\[F\left( x \right) = {\cos ^2}x + C\].
c)\(F\left( 0 \right) = 0\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4}\).
d) Nếu \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(\int {F\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{\cos 2x}}{8} + C} \).
Hiệu số \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\) gọi là tích phân từ \(0\) đến \(3\) của hàm số \(f\left( x \right)\).
Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\).
Khi đó, \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_3^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\).
Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^3 {f\left( t \right){\rm{dt}}} \). Mà \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1\).
Suy ra \(\int\limits_0^3 {f\left( t \right){\rm{dt}}} = 1\).
Ta có hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 3\) có diện tích \[S = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1\].
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\). \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) thỏa mãn \(F\left( 3 \right) = 2\) và \(F\left( 0 \right) = 1\).
a) Hiệu số \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\) gọi là tích phân từ \(3\) đến \(0\) của hàm số \(f\left( x \right)\).
b) \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_3^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\).
c) \(\int\limits_0^3 {f\left( t \right){\rm{dt}}} = 1\).
d) Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 3\) có diện tích bằng 1.
Ta có \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {2t - 7} \right){\rm{d}}t} = {t^2} - 7t + C\].
Mà \(v\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow C = 6\). Vậy \(v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 6\) (m/s).
Ta có \(v\left( 7 \right) = {7^2} - 7 \cdot 7 + 6 = 6\) (m/s).
Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 7\) là
\(S = \int\limits_1^7 {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_1^7 {\left( {{t^2} - 7t + 6} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7{t^2}}}{2} + 6t} \right)} \right|_1^7 = - 18\).
Tọa độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) là \(x\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {{t^2} - 7t + 6} \right){\rm{d}}t} = \frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7{t^2}}}{2} + 6t + C'\).
Ta cần tìm thời điểm \(t\) để \(x\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất với \(t \in \left[ {0;\,8} \right]\).
Ta có \(x'\left( t \right) = v\left( t \right) = 0\) khi \(t = 1\) hoặc \(t = 6\).
Lại có \(x\left( 0 \right) = C'\), \(x\left( 1 \right) = \frac{{17}}{6} + C'\), \(x\left( 6 \right) = - 18 + C'\), \(x\left( 8 \right) = - \frac{{16}}{3} + C'\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(x\left( t \right)\) với \(t \in \left[ {0;\,8} \right]\) đạt được khi \(t = 1\).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng từ trái sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian \(t\left( {\rm{s}} \right)\) là \(a\left( t \right) = 2t - 7{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Biết vận tốc ban đầu bằng \({\rm{6 }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t\left( {\rm{s}} \right)\) xác định bởi \(v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10\).
b) Tại thời điểm \(t = 7\) (s), vận tốc của chất điểm là \(6\) (m/s).
c) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 7\) là \(18\) m.
d) Trong \(8\) giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải tại thời điểm \(t = 7\) (s).
Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số
\({s_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {6 - 3t} \right)} \,{\rm{d}}t = 6t - \frac{{3{t^2}}}{2} + \,\,C\,\,(\;{\rm{m}})\).
Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số
\({s_2}\left( t \right) = \int {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {12 - 4t} \right)} \,{\rm{d}}t = 12t - 2{t^2} + \,\,C'\,\,(\;{\rm{m}})\).
Thời gian người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là: \(6 - 3t = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\) giây.
Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là:
\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {6 - 3t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {6t - \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2\)\( = 6\) mét.
Thời gian người thứ hai di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là: \(12 - 4t = 0\)\( \Leftrightarrow t = 3\) giây.
Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là:
\({S_2} = \int\limits_0^3 {\left( {12 - 4t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {12t - 2{t^2}} \right)} \right|_0^3\)\( = 18\) mét.
Khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn là: \(S = {S_1} + {S_2}\)\( = 6 + 18 = 24\) mét.
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Hai người \(A\), \(B\) đang chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di chuyển tiếp với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 6 - 3t\)\[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\], người còn lại di chuyển với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = 12 - 4t\)\[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
a) Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số\({s_1}\left( t \right) = 6t - \frac{{3{t^2}}}{2} + \,\,C\,\,(\;{\rm{m}})\).
b) Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số\({s_2}\left( t \right) = 12t - 2{t^2} + \,\,C'\,\,(\;{\rm{m}})\).
c)Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là \(18\,\,(\;{\rm{m}})\).
d) Khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn là \(12\,\,(\;{\rm{m}})\).
Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số
\({s_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {6 - 3t} \right)} \,{\rm{d}}t = 6t - \frac{{3{t^2}}}{2} + \,\,C\,\,(\;{\rm{m}})\).
Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm được biểu diễn bởi hàm số
\({s_2}\left( t \right) = \int {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {12 - 4t} \right)} \,{\rm{d}}t = 12t - 2{t^2} + \,\,C'\,\,(\;{\rm{m}})\).
Thời gian người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là: \(6 - 3t = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\) giây.
Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là:
\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {6 - 3t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {6t - \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2\)\( = 6\) mét.
Thời gian người thứ hai di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là: \(12 - 4t = 0\)\( \Leftrightarrow t = 3\) giây.
Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm đến khi dừng hẳn là:
\({S_2} = \int\limits_0^3 {\left( {12 - 4t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {12t - 2{t^2}} \right)} \right|_0^3\)\( = 18\) mét.
Khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn là: \(S = {S_1} + {S_2}\)\( = 6 + 18 = 24\) mét.
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\).
a) Công thức tính diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là: \({S_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right){\rm{d}}x} \).
b) Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) bằng \(\frac{{26}}{3}\).
c) Công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\)xung quanh trục \[Ox\] là: \[V = \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} \].
d) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\)xung quanh trục \[Ox\] bằng \[\frac{{202}}{5}\].
Công thức tính diện tích hình phẳng (H) là: .
Diện tích hình phẳng (H) là .
Công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox là: .
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox là:
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi \[x\] là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và \[y\] là phần trăm tổng thu nhập, mô hình \[y = x\] sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz \[y = f\left( x \right)\], biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với \[0 \le x \le 100\], biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm \[2005\], đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số
\[y = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2},0 \le x \le 100\],
trong đó \[x\] được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009).
a) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập thực tế của \[60\% \] các gia đình đầu tiên chiếm chưa đến \[30\% \] so với tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.
b) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo nhất đến giàu nhất, rồi chia thành \[10\] nhóm bằng nhau từ \[1\] đến \[10\], tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm \[3\] chiếm khoảng \[8,56\% \] tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.
c) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì năm \[2005\] được xác định bởi công thức:
\[\int\limits_0^{100} {\left[ {x - {{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} \].
d) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm \[2005\] đã vượt quá \[2000\].
+) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập của \[60\% \] các gia đình đầu tiên chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập là: \[f\left( {60} \right) = 27,321529\,\,\left( \% \right)\].
+) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo đến giàu, rồi chia thành \[10\] nhóm bằng nhau, mỗi nhóm chiếm \[10\% \] số gia đình của Hoa Kỳ.
Tổng thu nhập của \[30\% \] số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm \[1,2,3\]) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: \[f\left( {30} \right) = 8,561476\,\,\left( \% \right)\].
Tổng thu nhập của \[20\% \] số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm \[1,2\]) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: \[f\left( {20} \right) = 5,774409\,\,\,\left( \% \right)\].
\[ \Rightarrow \] Tỷ lệ của tổng thu nhập các gia đình nhóm thứ \[3\] so với toàn bộ các gia đình là:
\[f\left( {30} \right) - f\left( {20} \right) = 2,787067\,\,\left( \% \right)\].
+)Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì vào năm \[2005\] là diện tích hình phẳng \[S\] giới hạn bởi các đồ thị \[y = x\]; \[y = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2}\] và hai đường thẳng \(x = 0;x = 100\).
\[ \Rightarrow S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \].
Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng một trong hai cách sau:
Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta thấy phương trình \[{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2} - x = 0\] có hai nghiệm \[x = a\,;x = b\,\,\left( {a < b} \right)\] thuộc \[\left[ {0\,;100} \right]\].
Xét dấu biểu thức \[g\left( x \right) = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)^2} - x\] ta được:
Vậy \[S = \int\limits_0^{100} {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^a {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_a^b {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_b^{100} {\left| {g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \]\[ = \int\limits_0^a {g\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^{100} {g\left( x \right){\rm{d}}x} \].
Cách 2.
Sử dụng máy tính cầm tay ta được: \[S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \approx 2068,9\].
Kiểm tra phép tính của đề bài, ta có: \[\int\limits_0^{100} {\left[ {x - {{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} = 2059,3131\].
Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm \(2005\) là:
\[S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1,723} \right)}^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \approx 2068,9 > 2000\].
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.