46 bài tập Tìm vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng, phương trình đường thẳng (có lời giải)
46 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp O.ABC có \(A(2;0;0),B(0;4;0)\) và \(C(0;0;7)\).
a) Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, AC.
b) Vectơ \(\vec v = ( - 1;2;0)\) có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB không?
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 2;4;0)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB; \(\overrightarrow {AC} = ( - 2;0;7)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.
b) Vì \(\vec v = ( - 1;2;0) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) nên \(\vec v\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 6t}\\{y = 11 + 2t}\\{z = 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\).
a) Tìm hai vectơ chỉ phương của \(d\).
b) Tìm các điểm trên \(d\) ứng với \(t\) lần lượt bằng \(0;2; - 3\).
a) Từ phương trình tham số, ta có \(\vec a = (6;2;4)\) là một vectơ chỉ phương của \(d\). Chọn \(\vec b = \frac{1}{2}\vec a = (3;1;2)\), ta có \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(d\).
b) Thay \(t = 0\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 6.0}\\{y = 11 + 2.0}\\{z = 4.0}\end{array}{\rm{ hay }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 11}\\{z = 0.}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy \(A( - 2;11;0)\).
Tương tự, với \(t = 2\) thì \(B(10;15;8)\), với \(t = - 3\) thì \(C( - 20;5; - 12)\).
Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}(1;2;3)\) và nhận \(\vec a = (4;5; - 7)\) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng \(d\) có đi qua điểm \(A(1;1;5)\) không?
Ta có phương trình tham số của \(d\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 + 5t}\\{z = 3 - 7t}\end{array}} \right.\)
Thay \(x = 1\) vào phương trình \(x = 1 + 4t\), ta được \(1 = 1 + 4t\), suy ra \(t = 0\).
Thay \(y = 1\) và \(t = 0\) vào phương trình \(y = 2 + 5t\), ta thấy phương trình không thoả mãn. Suy ra đường thẳng \(d\) không đi qua điểm \(A\).
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}(1;2;3)\) và nhận \(\vec a = (4;5; - 7)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng \(d\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}\).
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB, biết \(A(1;1;5)\) và \(B(3;5;8)\).
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = (2;4;3)\) nên có phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 5 + 3t}\end{array}} \right.\)và phương trình chính tắc: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 5}}{3}.\)
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(A(1;2;1),B(7;5;3)\), \(C(4;2;0),{A^\prime }(4;9;9)\). Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng \(AB,{A^\prime }{C^\prime }\) và \(B{B^\prime }\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = (6;3;2)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .
\(\overrightarrow {A{A^\prime }} = (3;7;8)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\rm{B}}{{\rm{B}}^\prime }\) vì \({\rm{A}}{{\rm{A}}^\prime }//{\rm{B}}{{\rm{B}}^\prime }\).
\(\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({{\rm{A}}^\prime }{{\rm{C}}^\prime }\) vi \({\rm{AC}}//{{\rm{A}}^\prime }{{\rm{C}}^\prime }\).
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 8t}\\{y = - 4t}\\{z = 3 + 12t}\end{array}} \right.\)
a) Tìm hai vectơ chỉ phương của \(d\).
b) Tìm ba điểm trên \(d\).
a) Đường thẳng d nhận \(\vec a = (8; - 4;12)\) làm một vectơ chỉ phương.
Có \(\vec b = \frac{1}{4}\vec a = (2; - 1;3)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d .
b) Cho \(t = 0\), ta có \({\rm{A}}( - 1;0;3)\).
Cho t \( = 1\), ta có \({\rm{B}}(7; - 4;15)\).
Cho t \( = 2\), ta có \({\rm{C}}(15; - 8;27)\).
Vậy 3 điểm \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) là ba điểm thuộc d .
Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B{C^\prime }\) mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).
Đường thẳng \(B{C^\prime }\) nhận các vectơ \(\overline {B{C^\prime }} ,\overrightarrow {{C^\prime }B} ,\overrightarrow {A{D^\prime },} \overline {{D^\prime }A} \) là các vectơ chỉ phương.
Cho hình lăng trụ \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đẩu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ?
Những vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} ,\overrightarrow {{B^\prime }{A^\prime }} \)
Cho hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) (Hinh 5.17), đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\) và \(C\). Tìm bốn vectơ có điểm đẩu và điểm cuối trong các đỉnh của hình hộp đă cho và là vectơ chỉ phương của \(d\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CA} \) có giá trùng với \(d\), hai vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{C^\prime }{A^\prime }} \) có giá song song với \(d\) (\(AC//{A^\prime }{C^\prime }\) ). Vậy ta có bốn vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} ,\overrightarrow {{C^\prime }{A^\prime }} \).
Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(5;0; - 7)\) và nhận \(\vec v = (9;0; - 2)\) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng \(d\) có đi qua có điểm \(M( - 4;0; - 5)\) không?
Đường thẳng d đi qua điểm \({\rm{A}}(5;0; - 7)\) và nhận \(\vec v = (9;0; - 2)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 9t}\\{y = 0}\\{z = - 7 - 2t}\end{array}} \right.\).
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4 = 5 + 9t}\\{0 = 0}\\{ - 5 = - 7 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right.} \right.{\rm{ (luôn đúng)}}{\rm{. }}\)Vậy điểm \({\rm{M}} \in {\rm{d}}\).
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}(5;0; - 6)\) và nhận \(\vec a = (3;2; - 4)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng d đi qua điểm \({{\rm{M}}_0}(5;0; - 6)\) và nhận \(\vec a = (3;2; - 4)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 5}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 6}}{{ - 4}}\)
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm \({\rm{A}}(2;2;1)\) và \({\rm{B}}(4;5;3)\).
a) Tìm một vectơ chỉ phương của d .
b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d .
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2;3;2)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d .
b) Đường thẳng d đi qua điểm \({\rm{A}}(2;2;1)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = (2;3;2)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\)
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng MN, biết \(M(2;0; - 1)\) và \(N(4;3;1)\).
Đường thẳng MN đi qua M và có \(\overrightarrow {MN} = (2;3;2)\) là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 3t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\)
Viết phương trình tham số của đường thẳng \(a\) trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(M(0; - 2; - 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1; - 5;0)\).
b) Đường thẳng \(a\) đi qua hai điểm \(A(0;0;2)\) và \(B(3; - 2;5)\).
a) Đường thẳng a đi qua điểm \({\rm{M}}(0; - 2; - 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1; - 5;0)\) có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 2 - 5t}\\{z = - 3}\end{array}} \right.\)
b) có \(\overrightarrow {AB} = (3; - 2;3)\).
Đường thẳng a đi qua hai điểm \({\rm{A}}(0;0;2)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = (3; - 2;3)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3t}\\{y = - 2t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.\).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A(2; - 1;4)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (3;4; - 5)\).
b) Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 5 - 7t}\\{z = 9t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số).
Chỉ ra toạ độ một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) và một điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \).
a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 3t}\\{y = - 1 + 4t}\\{z = 4 - 5t}\end{array}{\rm{ ( }}} \right.{\rm{t là tham số )}}{\rm{. }}\)b) Toạ độ của một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\vec u = (2; - 7;9)\).
Ứng với \(t = 0\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2 \cdot 0 = - 1}\\{y = 5 - 7 \cdot 0 = 5}\\{z = 9 \cdot 0 = 0.}\end{array}} \right.\). Suy ra điểm \(B( - 1;5;0)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).
Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \), biết \(\Delta \) đi qua điểm \(C(1;2; - 4)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) : \(3x - y + 2z - 1 = 0.{\rm{ }}\)
Ta có \(\vec n = (3; - 1;2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vi đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng P ( nên đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ \(\vec n\) làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 - t\quad {\rm{ (t là tham số)}}{\rm{. }}}\\{z = - 4 + 2t}\end{array}} \right.\)
Viết phưởng trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1\); 3 ; 6) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (9;2;13)\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1;3;6)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (9;2;13)\) là:
\(\frac{{x - 1}}{9} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 6}}{{13}}{\rm{. }}\)
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \), biết phương trình tham số của \(\Delta \) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 3 - 5t}\\{z = 6 + 9t}\end{array}} \right.\)( \(t\) là tham số).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 3 - 5t}\\{z = 6 + 9t}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{x + 1}}{2}}\\{t = \frac{{y - 3}}{{ - 5}}}\\{t = \frac{{z - 6}}{9}}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z - 6}}{9}\)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;2;3)\) và \(B(3;5;9)\).
a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là \(\overrightarrow {AB} = (2;3;6)\).
b) Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm \({\rm{A}}(1;2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = (2;3;6)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 3t{\rm{ (t là tham số )}}{\rm{. }}}\\{z = 3 + 6t}\end{array}} \right.\)
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng AB đi qua điểm \({\rm{A}}(1;2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = (2;3;6)\) là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{6}\)
Lập phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng AB biết \(A(4;1;2)\) và \(B(5;8;6)\).
- Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: \(\frac{{x - 4}}{{5 - 4}} = \frac{{y - 1}}{{8 - 1}} = \frac{{z - 2}}{{6 - 2}} \Leftrightarrow \frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{7} = \frac{{z - 2}}{4}.\)
- Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + t}\\{y = 1 + 7t}\\{z = 2 + 4t}\end{array}{\rm{ }}} \right.\] (t là tham số)
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng OM biết \(M(a;b;c)\) với \(abc \ne 0\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng OM là:
\(\frac{{x - 0}}{{a - 0}} = \frac{{y - 0}}{{b - 0}} = \frac{{z - 0}}{{c - 0}} \Leftrightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\)
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(b\) trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng \(b\) đi qua điểm \(M(1; - 2; - 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (5; - 3;2)\).
b) Đường thẳng \(b\) đi qua hai điểm \(A(4;7;1)\) và \(B(6;1;5)\).
a) Đường thẳng b đi qua điểm \({\rm{M}}(1; - 2; - 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (5; - 3;2)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{2}\).
b) \(\overrightarrow {AB} = (2; - 6;4)\).
Đường thẳng b đi qua hai điểm \({\rm{A}}(4;7;1)\) và nhận \(\vec a = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = (1; - 3;2)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 7}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}\)
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình chính tắc \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{7}\).
a) Tìm một vectơ chỉ phương của \(d\) và một điểm trên \(d\).
b) Viết phương trình tham số của \(d\).
a) Ta có đường thẳng d đi qua \({\rm{M}}(3; - 3;2)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;3;7)\)
b) Phương trình tham số của d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = - 3 + 3t}\\{z = 2 + 7t}\end{array}} \right.\)
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 3t}\\{y = 1}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)
a) Hãy chỉ ra một điểm thuộc \(\Delta \) và một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta ^\prime }\) đi qua \(A(2;1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = (3;0;2)\).
a) Do \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 3t}\\{y = 1 + 0t}\\{z = 0 + 2t}\end{array}} \right.\) nên điểm \(M( - 1;1;0)\) thuộc \(\Delta \) và \(\vec u(3;0;2)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
b) Đường thẳng \({\Delta ^\prime }\) có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 3s}\\{y = 1}\\{z = 2s.}\end{array}} \right.\)
Trong không gian Oxyz, cho đường thằng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 3t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)
a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc \(\Delta \) và một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc toạ độ \({\rm{O}}(0;0;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = (1;3;1)\).
a) Ta có \({\rm{A}}(2;0;1),{\rm{B}}(3;3;2)\) là các điếm thuộc \(\Delta \).
Có \(\vec u = (1;3;1)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
b) Phương trình tham số của đường thắng đi qua gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) và có vectơ chí phương \(\vec v = (1;3;1)\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}\).
Hãy chỉ ra một điểm thuộc \(\Delta \) và một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 0}}{3} = \frac{{z - ( - 2)}}{1}\) nên điểm \(A(1;0; - 2)\) thuộc \(\Delta \) và \(\vec u = (2;3;1)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{5}\). Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) và hai điểm thuộc \(\Delta \).
Đường thắng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{5}\) nên \({\rm{A}}( - 1;1;2)\) và \({\rm{B}}(2;2;7)\) thuộc \(\Delta \) và \(\vec u = (3;1;5)\) là một vectơ chí phương của \(\Delta \).
Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(1; - 2;4)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (3; - 5;1)\).
\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 5}} = \frac{{z - 4}}{1}\).
Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(2; - 1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 1;2;3)\).
Đường thắng \(\Delta \) đi qua điếm \({\rm{A}}(2; - 1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 1;2;3)\) có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = - 1 + 2t{\rm{ v\`a ptct l\`a : }}\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)
Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 3 + 2t}\\{z = - 1 + 3t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số).
a) Chỉ ra toạ độ hai điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \).
b) Điểm nào trong các điểm \(C(6; - 7; - 16),D( - 3;11; - 11)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) ?
a) Với \({\rm{t}} = 0\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3}\\{z = - 1}\end{array}} \right.\). Suy ra \({\rm{A}}(1;3; - 1) \in \Delta \). Với \({\rm{t}} = 1\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3}\\{z = - 1}\end{array}} \right.\). Suy ra \({\rm{B}}(0;5;2) \in \Delta \).
b) Thay tọa độ điểm \({\rm{C}}(6; - 7; - 16)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:
6=1−t−7=3+2t−16=−1+3t⇔t=−5t=−5t=−5⇔t=−5. Do dó, C∈Δ.
Thay tọa độ điểm \({\rm{D}}( - 3;11; - 11)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:
−3=1−t11=3+2t−11=−1+3t⇔t=4t=4t=−103 (vô lí). Do dó, D∉Δ.
Vậy trong hai điểm C và D , chỉ có điểm C thuộc đường thẳng \(\Delta \).
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A( - 1;3;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 2;3;4)\);
b) đi qua hai điểm \(M(2; - 1;3)\) và \(N(3;0;4)\).
a)+ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({\rm{A}}( - 1;3;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 2;3;4)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 - 2t}\\{y = 3 + 3t}\\{z = 2 + 4t}\end{array}\quad } \right.\) (t là tham số).
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({\rm{A}}( - 1;3;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 2;3;4)\) là: \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{4}\).
b) Ta có \(\overrightarrow {MN} = (1;1;1)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
+ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + {t^\prime }}\\{y = - 1 + {t^\prime }({\rm{t' là tham số}}).}\\{z = 3 + {t^\prime }}\end{array}} \right.\)
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\).
Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M( - 1;4;5)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ):3x + 2y = 0\).
Mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3;2;0)\). Giá của \(\vec n = (3;2;0)\) và \(\Delta \) cùng vuông góc với \((\alpha )\) nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau. Do đó \(\Delta \) nhận \(\vec n = (3;2;0)\) làm một vectơ chi phương.
Vậy \(\Delta \) có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 3t}\\{y = 4 + 2t}\\{z = 5.}\end{array}} \right.\)
Nhận xét. Đường thẳng \(\Delta \) trong Vỉ dụ 5 không có phương trình chính tắc.
Luyện tập 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz).
Ta có mặt phắng (Oyz) có vectơ pháp tuyến là \(\vec i = (1;0;0)\)
Giá của vectơ \(\vec i\) và \(\Delta \) cùng vuông góc với mặt phắng Oyz nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau.
Do đó \(\Delta \) nhận \(\vec i = (1;0;0)\) làm một vectơ chỉ phương.
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điếm \({\rm{M}}(2; - 1;3)\) và \(\vec i = (1;0;0)\) làm một vectơ chí phương có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = - 1}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)
Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1;2; - 1)\) và \(B(2;4;0)\).
Đường thẳng AB đi qua \(A(1;2; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = (1;2;1)\). Do đó AB có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\) và có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\)
Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A(2;1;3)\) và \(B(2;4;6)\)
Đường thẳng AB đi qua điếm \({\rm{A}}(2;1;3)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = (0;3;3)\) có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 3 + 3t}\end{array}} \right.\)
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(1;1;2)\) và song song với đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 5}}{3}\).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2;1;3)\).
Vi \(\Delta //{\rm{d}}\) nên đường thắng \(\Delta \) nhận \(\vec u = (2;1;3)\) làm một vectơ chỉ phương.
Đường thắng \(\Delta \) đi qua điếm \({\rm{A}}(1;1;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (2;1;3)\) có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + t\quad {\rm{ v\`a ptct l\`a : }}\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.\)
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(2; - 1;4)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P):x + 3y - z - 1 = 0\).
Mặt phắng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;3; - 1)\)
Vi \(\Delta \bot ({\rm{P}})\) nên đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(({\rm{P}})\) làm vectơ chí phương.
Đường thắng \(\Delta \) đi qua \({\rm{A}}(2; - 1;4)\), có vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;3; - 1)\) có phương trình tham số là: x=2+ty=−1+3t và phương trình chính tắcc là: x−21=y+13=z−4−1z=4−t
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A(2;3; - 1)\) và \(B(1; - 2;4)\).
\({\rm{ Có }}\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 5;5)\)
Đường thắng D đi qua hai điếm \({\rm{A}}(2;3; - 1)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 5;5)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 3 - 5t}\\{z = - 1 + 5t}\end{array}} \right.\) và phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{5}\)
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(2; - 2;1)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1; - 1;2)\).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\).
b) Trong hai điểm \(A(3; - 3;3)\) và \(B(1; - 1;1)\), điếm nào thuộc \(d\) ?
a) Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = - 2 - t(t \in \mathbb{R}){\rm{. }}}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)
b) Điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) khi và chỉ khi có giá trị \(t\) thoả mãn hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 2 + t}\\{{y_0} = - 2 - t}\\{{z_0} = 1 + 2t.}\end{array}} \right.\)
Ta có:
- Với \(A(3; - 3;3)\), ta xét 3=2+t−3=−2−t. Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất t=13=1+2t nên \(A\) thuộc \(d\) ứng với \(t = 1\).
- Với \(B(1; - 1;1)\), ta xét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 2 + t}\\{ - 1 = - 2 - t}\\{1 = 1 + 2t}\end{array}} \right.\). Hệ phương trình này vô nghiệm nên \(B\) không thuộc \(d\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 3 - 3t}\\{z = 5 + 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\).
a) Hãy tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của \(d\).
b) Hãy tìm toạ độ của các điểm thuộc \(d\) ứng với các giá trị \(t = 0,t = - 1,t = 2\).
a) Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec a = (2; - 3;4)\).
b) Với \(t = 0\), thay \(t = 0\) vào phương trình của \(d\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2.0 = - 1}\\{y = 3 - 3.0 = 3}\\{z = 5 + 4.0 = 5.}\end{array}} \right.\)
Vậy điểm \({M_1}( - 1;3;5)\) thuộc \(d\) ứng với \(t = 0\).
Tương tự với \(t = - 1\) và \(t = 2\), ta có các điểm thuộc \(d\) tương ứng là \({M_2}( - 3;6;1),{M_3}(3; - 3;13)\).
Trong không gian Oxyz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng d , biết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(4;2; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = ( - 1; - 4;3)\).
a) Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là \(\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{3}\).
b) Từ phương trình tham số của \(d\), ta có \(d\) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = ( - 1;2; - 3)\).
Suy ra, phương trình chính tắc của \(d\) là \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) có phương trình chính tắc \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{6}\).
a) Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của \(d\).
b) Trong hai điểm \(A(1; - 5; - 6)\) và \(B(3; - 2;1)\), điểm nào thuộc \(d\) ?
a) Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec a = (2;3;6)\).
b) Một điểm thuộc \(d\) khi toạ độ của điểm đó thoả mãn phương trình chính tắc của \(d\) :
\(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{6}\left( {^*} \right)\)
Thay toạ độ của các điểm A, B vào phương trình chính tắc (*). Ta có:
- Điểm \(A(1; - 5; - 6)\) thoả mãn (*) vì \(\frac{{1 - 3}}{2} = \frac{{ - 5 + 2}}{3} = \frac{{ - 6}}{6}\) nên \(A\) thuộc \(d\);
- Điểm \(B(3; - 2;1)\) không thoả mãn vì \(\frac{{3 - 3}}{2} = \frac{{ - 2 + 2}}{3} \ne \frac{1}{6}\) nên \(B\) không thuộc \(d\).
Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(4;2; - 1)\) và \(B(3; - 2;2)\).
Phương trình tham số của AB là: x=4+(3−4)ty=2+(−2−2)tz=−1+(2−(−1))t (t∈ℝ) hay x=4−ty=2−4tz=−1+3t (t∈ℝ).Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: x−43−4=y−2−2−2=z−(−1)2−(−1) hay x−4−1=y−2−4=z+13.
Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số).
a) Tìm tọa độ của điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), biết \(M\) có hoành độ bằng 5 .
b) Chứng minh rằng điểm \(N(8;2;9)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).
c) Chứng minh rằng điểm \(P( - 1;5;4)\) không thuộc đường thẳng Lập phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta ^\prime }\), biết \({\Delta ^\prime }\) đi qua \(P\) và song song với \(\Delta \).
d) Tìm toạ độ của điểm \(I\), biết \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) : \(x - y + z + 9 = 0\).
a) Vì \(M\) thuộc \(\Delta \) nên \(M(2 - 3t;4 + t;5 - 2t)(t \in \mathbb{R})\).
Ta có: \(2 - 3t = 5\), suy ra \(t = - 1\). Do đó \(4|t = 4|( - 1) = 3,5 - 2t = 5 - 2 \cdot ( - 1) = 7\). Vậy \(M(5;3;7)\).
b) Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 = 2 - 3t}\\{2 = 4 + t}\\{9 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow t = - 2} \right.\). Suy ra tồn tại số thực \(t\) thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm \(N(8;2;9)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).
c) Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 = 2 - 3t}\\{5 = 4 + t}\\{4 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Suy ra không tồn tại số thực \(t\) thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm \(P( - 1;5;4)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \).
Do \(\vec u = ( - 3;1; - 2)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) và \(\Delta //{\Delta ^\prime }\) nên \(\vec u = ( - 3;1; - 2)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) '.
Phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta ^\prime }\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 - 3{t^\prime }}\\{y = 5 + {t^\prime }}\\{z = 4 - 2{t^\prime }}\end{array}} \right.\) ( \({t^\prime }\) là tham số).
d) Vì \(I\) thuộc \(\Delta \) nên \(I(2 - 3a;4 + a;5 - 2a)(a \in \mathbb{R})\). Mà \(I\) thuộc \((P)\) nên \((2 - 3a) - (4 + a) + (5 - 2a) + 9 = 0 \Leftrightarrow a = 2\). Vậy \(I( - 4;6;1)\).
Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A(2; - 5;7)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 2;3;4)\);
b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M( - 1;0;4)\) và \(N(2;5;3)\).
c) đi qua điểm \(B(3;2; - 1)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P):2x - 5y + 6z - 7 = 0\).
a) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của \(\Delta \) lần lượt là:
x=2−2ty=−5+3tz=7+4t ( t là tham số), x−2−2=y+53=z−74.
b) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = (3;5; - 1)\) là một vectơ chi phương của \(\Delta \). Suy ra phương trình tham số và phương trình chính tắc của \(\Delta \) lần lượt là:
x=−1+3ty=5tz=4−t ( t là tham số), x+13=y5=z−4−1.
c) Vectơ \(\vec n = (2; - 5;6)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) mà \(\Delta \bot (P)\) nên \(\vec n = (2; - 5;6)\) là một vectơ chi phương của đường thẳng \(\Delta \). Suy ra phương trình tham số và phương trình chính tắc của \(\Delta \) lần lượt là:
x=3+2ty=2−5tz=−1+6t ( t là tham số), x−32=y−2−5=z+16.
