45 bài tập Xác suất có lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline {abcd} \), từ yêu cầu bài toán ta có:

\(d \in \left\{ {1;2;3} \right\}\): có 3 cách chọn

\(a\): có 3 cách chọn \(\left( {a \ne 0,a \ne d} \right)\)

Trong 3 số còn lại chọn ra 2 số lần lượt đặt vào các vị trí \(b,c\) có \(A_3^2\) cách.

Số các số thỏa yêu cầu bài toán là \(S = 3 \cdot 3 \cdot A_3^2 = 54\) số. Chọn D.

Ta có \(A = \left\{ {\left( {2,1} \right);\left( {2,3} \right);\left( {2,4} \right);\left( {4,1} \right);\left( {4,2} \right);\left( {4,3} \right)} \right\}\);

\(B = \left\{ {\left( {1,1} \right);\left( {1,3} \right);\left( {2,1} \right);\left( {2,3} \right);\left( {3,1} \right);\left( {3,3} \right);\left( {4,1} \right);\left( {4,3} \right)} \right\}\).

Khi đó, biến cố \[C = B|A\]\[ = A \cap B = \left\{ {\left( {2,1} \right);\left( {2,3} \right);\left( {4,1} \right);\left( {4,3} \right)} \right\}\]. Chọn A.

Số cách lấy ra 2 quả cầu trong 11 quả là \(C_{11}^2\). Suy ra \(n\left( \Omega \right) = C_{11}^2\).

Gọi \(A\) là biến cố lấy được 2 quả cùng màu. Suy ra \(n\left( A \right) = C_5^2 + C_6^2\).

Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^2 + C_6^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{5}{{11}}\). Chọn C.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có:

\(\;P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( {A|B} \right) \cdot P\left( B \right) = 0,3 \cdot 0,6 = 0,18\).

Vì \(\;\overline A B\) và \(\;AB\) là hai biến cố xung khắc và \(\;\overline A B \cup AB = B\) nên theo tính chất của xác suất, ta có: \(\;P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {AB} \right) = P\left( B \right) \Rightarrow P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,6 - 0,18 = 0,42\). Chọn B.

Xét các biến cố:

\(A\): “Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên”;

\(B\): “Bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội”.

Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{{20}}{{36}} = \frac{5}{9};\;\;P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\).

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 16 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội\( \Rightarrow P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{16}}{{35}}\).

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 15 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội\( \Rightarrow P\left( {B\mid \bar A} \right) = \frac{{15}}{{35}}\).

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội là: \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B\mid \bar A} \right) = \frac{5}{9} \cdot \frac{{16}}{{35}} + \frac{4}{9} \cdot \frac{{15}}{{35}} = \frac{4}{9}\). Chọn C.

Ta có xác suất của các biến cố đối: \(P\left( {\bar A} \right) = \frac{3}{4},P\left( {\bar B} \right) = \frac{2}{3}\). Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên mỗi cặp biến cố lấy ra từ \(A,B,\bar A,\bar B\) đều là cặp biến cố độc lập.

Do vậy \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{{12}},P\left( {\bar AB} \right) = P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4},\)

\(P\left( {A\bar B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\bar B} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6},P\left( {\bar A\bar B} \right) = P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {\bar B} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.\)

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                  c) Đúng,      d) Đúng.

Gọi \(A\): “Học sinh được chọn giỏi môn Toán” và \(B\): “Học sinh được chọn giỏi môn Văn”.

Gọi \(C\): “Học sinh được chọn không giỏi môn Toán”  và \(D\): “Học sinh được chọn không giỏi môn Văn”.

Số học sinh giỏi cả 2 môn là: \(23 + 20 - 35 = 8\).

Trong số 23 học sinh giỏi Toán, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Văn nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}\).

Trong số 20 học sinh giỏi Văn, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Toán nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán là: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{8}{{23}}\).

Trong số 20 học sinh giỏi Văn, có đúng 8 học sinh giỏi cả Văn và Toán, nên số học sinh giỏi Văn mà không giỏi Toán là 12. Xác suất để học sinh được chọn không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn là: \(P\left( {C|B} \right) = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}\).

Trong số 23 học sinh giỏi Toán, có đúng 8 học sinh giỏi cả Toán và Văn nên số học sinh không giỏi Văn mà giỏi Toán là \(23 - 8 = 15\). Xác suất để học sinh được chọn không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán là: \(P\left( {D|A} \right) = \frac{{15}}{{23}}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.

\(B\) là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ” nên \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{10}} = 0,5\).

Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh nên \(P\left( {A|B} \right) = \frac{7}{{11}}\).

Gọi \(\bar B\): “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh”.

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Khi đó \(P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{6}{{11}}\).

Ta có: \(P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là: \(P\left( A \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right) \cdot P\left( {A|\bar B} \right) = 0,5 \cdot \frac{7}{{11}} + 0,5 \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.

Kết quả nhận được là số chẵn khi và chỉ khi trong hai thẻ có ít nhất một thẻ chẵn.

Gọi \(A\) là biến cố “Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, \(B\) là biến cố “Cả hai thẻ được rút là thẻ chẵn”. Khi đó biến cố “Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn” là \(A \cup B\).

Do hai biến cố xung khắc \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^1 \cdot C_4^1}}{{C_9^2}} = \frac{{20}}{{36}},P\left( B \right) = \frac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \frac{6}{{36}}\).

Do đó: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{{20}}{{36}} + \frac{6}{{36}} = \frac{{26}}{{36}} = \frac{{13}}{{18}} \approx 0,72\).

Đáp án: 0,72.

Xét biến cố \[A\]: “Con thỏ được lấy ra từ chuồng II để cho vào chuồng I là con thỏ trắng”.

Và biến cố \[B\]: “Con thỏ được lấy ra từ chuồng I là con thỏ trắng”.

Ta có \[P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + {\rm{ }}P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\].

Ta có: \[P\left( A \right) = \frac{3}{{10}}\]; \[P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{7}{{10}}\]; \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{11}}{{16}}\]; \[P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{10}}{{16}}\].

Vậy \[P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + {\rm{ }}P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right){\rm{ }} = \frac{3}{{10}} \cdot \frac{{11}}{{16}} + \frac{7}{{10}} \cdot \frac{{10}}{{16}} = \frac{{103}}{{160}} \approx 0,64\].

Vậy xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng là \[0,64\].

Đáp án: 0,64.

Số cách chọn 4 học sinh từ 40 học sinh là \(C_{40}^4\).

Số cách chọn 4 học sinh nam từ 20 học sinh nam là \(C_{20}^4\).

Vây số cách chọn một ban cán sự lớp 4 người, trong đó có ít nhất một học sinh nữ là \(C_{40}^4 - C_{20}^4\). Chọn D.

Các tập con của \(S\) gồm 3 phần tử có tổng chia hết cho 3 là:

\(\left\{ {1;2;3} \right\},\left\{ {1;2;6} \right\},\left\{ {1;3;5} \right\},\left\{ {1;5;6} \right\},\left\{ {2;3;4} \right\},\left\{ {2;4;6} \right\},\left\{ {3;4;5} \right\},\left\{ {4;5;6} \right\}.\;\)

Với mỗi tập con ở trên, có 3! cách lập số có 3 chữ số đôi một khác nhau mà chia hết cho 3.

Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp \(S\) và chia hết cho 3 có thể lập được là \(8 \cdot 3! = 48\). Chọn A.

Số cách chọn ra 3 học sinh nam từ 10 học sinh nam là: \(C_{10}^3\).

Số cách chọn ra 2 học sinh nữ từ 8 học sinh nữ là: \(C_8^2\).

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là: \(C_{10}^3C_8^2\). Chọn A.

Xét \[X = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\], \[\left| X \right| = 9\].

Gọi \[x = \overline {abcd0} \] là số cần lập \[(a,b,c,d \in X\] và đôi một khác nhau).

Mỗi số cần lập là một chỉnh hợp chập \[4\] của \[9\] phần tử nên số các số thỏa yêu cầu bài toán là \[A_9^4 = 3024\]. Chọn B.

+ Chọn 2 chữ số lẻ từ 7 chữ số đã cho có \[C_4^2\]cách.

+ Chọn 2 chữ số chẵn từ 7 chữ số đã cho có \[C_3^2\]cách.

+ Với 4 chữ số đã chọn ta xếp vào 4 vị trí có \[4!\] cách.

Do đó có \[C_4^2 \cdot C_3^2 \cdot 4! = 432\] số. Chọn B.

\[A\] và \[B\]là hai biến cố độc lập nên: \[P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right) = 0,2024\]. Chọn D.

Không gian mẫu có số phần tử là \(C_{12}^5 = 792\).

Xét biến cố A: “Trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng”.

Ta có số cách chọn 5 viên bi màu xanh, 0 viên bi màu vàng là \(C_7^5\);

Số cách chọn 5 viên bi gồm 4 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu vàng là \(C_7^4 \cdot C_5^1\).

Suy ra số cách chọn 5 viên bi, trong đó có ít nhất 2 viên bi màu vàng là

\({\rm{ C}}_{12}^5 - {\rm{C}}_7^5 - {\rm{C}}_7^4 \cdot {\rm{C}}_5^1 = 596\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{596}}{{792}} = \frac{{149}}{{198}}\). Chọn A.

Không gian mẫu có số phần tử là \(10!\).

Xét biến cố A: “5 bạn nữ đứng cạnh nhau”.

Coi 5 bạn nữ đứng cạnh nhau là 1 vị trí. Như vậy, số cho 5 bạn nam và 1 vị trí chung cho 5 bạn nữ là \(6!\).

Số cách xếp 5 bạn nữ trong 1 vị trí là \(5!\).

Suy ra số cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ theo một hàng dọc để 5 bạn nữ đứng cạnh nhau là \(6! \cdot 5!\).

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{6! \cdot 5!}}{{10!}} = \frac{1}{{42}}\). Chọn B.

Xét các biến cốM: “Cây được chọn là cây cam”; N: “Cây được chọn ở khu B”.

Ta có: \(P\left( {M|N} \right) = \frac{{n\left( {M \cap N} \right)}}{{n\left( N \right)}} = \frac{{250}}{{400}} = \frac{5}{8}\). Chọn C.

Xét các biến cố:

M: “Quyển sách được chọn ở phòng A”;

N: “Quyển sách được chọn về chủ đề Khoa học tự nhiên”;

Q: “Quyển sách được chọn về chủ đề Khoa học tự nhiên và thuộc phòng A”;

R: “Quyển sách được chọn về chủ đề Khoa học tự nhiên và thuộc phòng B”.

Nhận thấy \(N = Q \cup R\) và \(Q,R\) là hai biến cố xung khắc nên

\(P\left( N \right) = P\left( Q \right) + P\left( R \right) = 0,25 + 0,5 = 0,75\).

Ta có: \(P\left( {M|N} \right) = \frac{{P\left( {M \cap N} \right)}}{{P\left( N \right)}} = \frac{{0,25}}{{0,75}} = \frac{1}{3}\).

Vậy xác suất quyển sách được chọn ở phòng A, biết rằng quyển sách đó về chủ đề Khoa học tự nhiên là \(\frac{1}{3}\). Chọn D.

Ta có: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,6 = 0,4\).

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right)\, \cdot P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)\, \cdot \,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6\, \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 0,4 = 0,58\). Chọn C.

Theo công thức Bayes, có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)\, \cdot P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3\, \cdot 0,25}}{{0,4}} = 0,1875\). Chọn A.

Số phần tử không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{15}^3 = 455\) (phần tử).

Gọi \(A\) là biến cố: “lấy được \(3\) quả cầu màu xanh”. Khi đó, \(n\left( A \right) = C_5^3 = 10\) (phần tử).

Xác suất để lấy được \[3\] quả cầu màu xanh:\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_5^3}}{{C_{15}^3}} = \frac{2}{{91}}\).Chọn A.

Số phần tử của không gian mẫu: \[15 \cdot 18 = 270\].

Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: \[4 \cdot 7 + 5 \cdot 6 + 6 \cdot 5 = 88\].

Vậy xác suất cần tìm là \[\frac{{88}}{{270}} = \frac{{44}}{{135}}\]. Chọn B.

Không gian mẫu của phép thử lấy ngẫu nhiên cùng lúc \(3\) bóng đèn từ hộp có \(12\) bóng đèn là\(n\left( \Omega \right) = C_{12}^3 = 220.\)

Gọi \(A\) là biến cố: “\(3\) bóng đèn lấy ra là \(3\) bóng tốt”. Ta có: \(n\left( A \right) = C_8^3 = 56.\)

Xác suất để lấy được \(3\) bóng tốt là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{56}}{{220}} = \frac{{14}}{{55}}.\)Chọn B.