45 bài tập Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian có lời giải
45 câu hỏi
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] và bằng vectơ \(\overrightarrow {AD} \) là
![Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid0-1737029811.png)
\[\overrightarrow {B'C'} \].
\[\overrightarrow {DA} \].
\[\overrightarrow {CB} \].
\[\overrightarrow {AB} \].
Do \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên ta có \(AD = B'C'\) và \(AD\,{\rm{//}}\,B'C'\).
Ta thấy \(\overrightarrow {AD} \) và \[\overrightarrow {B'C'} \] cùng hướng. Vậy \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {B'C'} \). Chọn A.
Cho hai vectơ \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v \] có \[\left| {\overrightarrow u } \right| = 3,\left| {\overrightarrow v } \right| = 4\] và góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v \] bằng \[60^\circ \]. Tích vô hướng \[\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v \] bằng
\[12\].
\[6\].
\[ - 12\].
\[ - 6\].
Ta có \[\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 6\]. Chọn B.
Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - \overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \)là
\(\left( {3\;;\;4\;;\;1} \right)\).
\(\left( {3\;;\;0\;;\;1} \right)\).
\(\left( {3\;;\;4\;;\; - 1} \right)\).
\(\left( {3\;;\;0\;;\;0} \right)\).
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \)là \(\left( {3\;;\;4\;;\; - 1} \right)\). Chọn C.
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(K\left( {1;\,\,1;\,\,1} \right)\) nhận \(\vec u = \left( {1;0;1} \right)\), \(\vec v = \left( {1;1;0} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương có phương trình tổng quát là
\(x + y + z - 3 = 0\).
\(x - y + z - 1 = 0\).
\(x + y - z - 1 = 0\).
\( - x + y + z - 1 = 0\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 1\;;\;1\;;\;1} \right)\)làmột vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm nên chỉ có phương án D thỏa mãn.Chọn D.
Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 1\\z = 3t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)?
\({\vec u_1} = \left( {3; - 1;3} \right)\).
\({\vec u_2} = \left( {3; - 1;0} \right)\).
\({\vec u_3} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\).
\({\vec u_4} = \left( { - 1;0;3} \right)\).
\(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 1\\z = 3t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_4} = \left( { - 1;0;3} \right)\). Chọn D.
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) chiều cao bằng \(2a\) và \(O\) là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ bên, ta tính được khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng
\(\frac{{2a}}{3}.\)
\(\frac{{2a}}{{\sqrt {17} }}.\)
\(\frac{{4a}}{{\sqrt {17} }}.\)
\(\frac{{4a}}{3}.\)
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(ABCD\) là hình vuông.
Suy ra \(OA = OB = OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} = a.\)
Dựa vào hình vẽ, ta có \(C\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;a;0} \right),A\left( { - a;0;0} \right),S\left( {0;0;2a} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AS} = \left( {a;0;2a} \right),\overrightarrow {BS} = \left( {0; - a;2a} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;0;2} \right)\) và \(\vec v = \left( {0; - 1;2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 2; - 1} \right).\)
Suy ra mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có phương trình là \(2x - 2y - z + 2a = 0.\)
Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot a - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2a} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{4a}}{3}.\) Chọn D.
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( { - 6; - 9;15} \right)\), đường kính bằng 10 có phương trình là:
\({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 100\).
\({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z + 15} \right)^2} = 100\).
\({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z + 15} \right)^2} = 25\).
Do mặt cầu có đường kính bằng 10 nên bán kính bằng 5.
Phương trình mặt cầu tâm\(I\left( { - 6; - 9;15} \right)\),đường kính bằng 10 có phương trình là:
\({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 25\).Chọn B.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow x ;\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow y ;\,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow z \).
a) \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z \).
b) \(\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow x + \overrightarrow z \).
c) Góc giữa vectơ \(\overrightarrow {BA'} \) và vectơ \(\overrightarrow {A'C'} \) bằng \(60^\circ \).
d) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó, độ dài vectơ \(\overrightarrow {A'M} \) bằng \(\frac{{3a}}{2}\).
Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z \).
Theo quy tắc 3 điểm ta có \(\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow x - \overrightarrow z \).
Vì hình lập phương có cạnh bằng \(a\) nên \(A'B = A'C' = C'B = a\sqrt 2 \), do đó tam giác \(A'BC'\) đều, nên \[\widehat {BA'C'} = 60^\circ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BA'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \].
Dễ thấy \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AM \Rightarrow \)tam giác \(AA'M\) vuông tại \(A\).
Có \(\left| {\overrightarrow {A'M} } \right| = A'M = \sqrt {A{{A'}^2} + A{M^2}} = \sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2} + B{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{3a}}{2}\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
Trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \(A\left( {0;\, - 2;\,1} \right);\,B\left( { - 2;\, - 2;\, - 1} \right);\,C\left( {3;\,1;\, - 2} \right)\).
a) Hình chiếu của \[A\] lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(A'\left( {0;0;1} \right)\).
b) Ba điểm \[A,B,C\] lập thành tam giác vuông tại điểm \(A\).
c) Tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành thì tọa độ của \(D\left( {5;1;4} \right)\).
d) Trọng tâm của tam giác \[ABC\] là \(G\left( {\frac{1}{3};1;\frac{{ - 2}}{3}} \right)\).
Hình chiếu của \[A\] lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(A'\left( {0;0;1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {3;\,3;\, - 3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,0;\, - 2} \right)\).
Khi đó \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = 3 \cdot \left( { - 2} \right) + 3 \cdot 0 + \left( { - 3} \right)\, \cdot \left( { - 2} \right) = 0\,\, \Rightarrow AC \bot AB\].
Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {2;\,0;\,2} \right)\,;\,\,\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {x - 3;\,y - 1;\,z + 2} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 2\\y - 1 = 0\\z + 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {5;1;0} \right)\).
Trọng tâm của tam giác \[ABC\] là \(G\left( {\frac{1}{3}; - 1;\frac{{ - 2}}{3}} \right)\).
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\]. Xét các vectơ \[\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\], \[\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\].
a) \[\overrightarrow u \] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \].
b) \[\overrightarrow n \] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\].
c) \[\cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{8}{9}\].
d) Góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] xấp xỉ bằng \[63^\circ \].
Do \[\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\] nên \[\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \].
Do \[\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\] nên \[\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[\left( P \right)\].
Ta có \[\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 - 2 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{8}{9}\].
\[{\cos ^2}\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 1 - {\sin ^2}\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 1 - \frac{{64}}{{81}} = \frac{{17}}{{81}} \Rightarrow \cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\sqrt {17} }}{9}\].
Suy ra \[\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx 63^\circ \].
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị tính bằng mét). Bạn Huyền quan sát và phát hiện một con chim đang bay với tốc độ và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {20;40;30} \right)\) đến điểm \(B\left( {40;50;50} \right)\) trong vòng 4 phút. Nếu con chim bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 2 phút con chim ở vị trí \(C\left( {a;b;c} \right)\). Tổng \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Vì hướng bay và vận tốc bay của con chim không đổi nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.
Mặt khác do thời gian bay từ \(A\) đến \(B\) gấp đôi thời gian bay từ \(B\) đến \(C\) nên \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {BC} \)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{40 - 20 = 2\left( {a - 40} \right)}\\{50 - 40 = 2\left( {b - 50} \right)}\\{50 - 30 = 2\left( {c - 50} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 50}\\{b = 55}\\{c = 60}\end{array} \Rightarrow a + b + c = 165} \right.} \right.\).
Đáp án:\(165\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x + 24}}{3} = \frac{{y - 25}}{4} = \frac{z}{{ - 5}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 26}}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}\). Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},\,{\Delta _2}\) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = \left( {3;\,4;\, - 5} \right)\) và\({\vec u_2} = \left( {5;\,3;\,4} \right)\).
Тa có\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + \left( { - 5} \right) \cdot 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {3^2} + {4^2}} }} = \frac{7}{{50}}\).
Suy ra\(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 82^\circ \).
Đáp án:\(82\).
Cho tứ diện \(ABCD\), khi đó \(\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} \) bằng
\(\overrightarrow {DC} .\)
\(\overrightarrow {BA} .\)
\(\overrightarrow {CD} .\)
\(\overrightarrow {DB} .\)
\(\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} \). Chọn C.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} .\)
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} .\)
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} .\)
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\)
Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} .\) Chọn B.
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\) Đặt \(\vec a = \overrightarrow {AA'} ,\vec b = \overrightarrow {AB} ,\vec c = \overrightarrow {AC} .\) Hãy biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {B'C} \) theo các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c.\)
\(\overrightarrow {B'C} = \vec a + \vec b - \vec c.\)
\(\overrightarrow {B'C} = - \vec a + \vec b - \vec c.\)
\(\overrightarrow {B'C} = \vec a + \vec b + \vec c.\)
\(\overrightarrow {B'C} = - \vec a - \vec b + \vec c.\)
Ta có: \(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A'A} + \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {B'C} = - \vec a - \vec b + \vec c.\) Chọn D.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(\overrightarrow {AO} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\)
\(\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\)
\(\overrightarrow {AO} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\)
\(\overrightarrow {AO} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\)
Ta có: \(\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\) (quy tắc hình hộp). Chọn B.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O\). Đặt \(\overrightarrow {AB} = \vec a;\overrightarrow {BC} = \vec b,M\) là điểm xác định bởi \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a - \vec b} \right).\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(M\) là tâm hình bình hành \(ABB'A'.\)
\(M\) là tâm hình bình hành \(BCC'B'.\)
\(M\) là trung điểm \(BB'.\)
\(M\) là trung điểm \(CC'.\)
Ta phân tích: \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a - \vec b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} .\)
\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(BB'\). Chọn C.
Trong không gian cho hai vectơ \(\vec u,\vec v\) tạo với nhau một góc \(60^\circ ,\,\,\left| {\vec u} \right| = 1\) và \(\left| {\vec v} \right| = 2.\) Tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec v\) bằng
1.
2.
\(\sqrt 3 .\)
3.
Ta có \[\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 1\]. Chọn A.
Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) thỏa mãn \(\left| {\vec a} \right| = 3,\,\left| {\vec b} \right| = 2\) và \(\vec a \cdot \vec b = - 3.\) Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b.\)
\(\alpha = 30^\circ .\)
\(\alpha = 45^\circ .\)
\(\alpha = 60^\circ .\)
\(\alpha = 120^\circ .\)
Ta có \(\vec a \cdot \overrightarrow b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) \Rightarrow \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3 \cdot 2}} = - \frac{1}{2}\).
\( \Rightarrow \left( {\vec a,\vec b} \right) = 120^\circ \). Chọn D.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {DA'} \) bằng
\(45^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(120^\circ .\)
Dễ thấy tam giác \(A'C'D\) là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(\widehat {C'A'D} = 60^\circ \).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {A'D} } \right) = 180^\circ - 60^\circ \)\( = 120^\circ \). Chọn D.
Cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) sao cho \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt 2 ,\left| {\vec b} \right| = 2\) và hai vectơ \(\vec x = \vec a + \vec b,\) \(\vec y = 2\vec a - \vec b\) vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b.\)
\(120^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(30^\circ .\)
Vì hai vectơ \(\vec x = \vec a + \vec b,\vec y = 2\vec a - \vec b\) vuông góc với nhau nên
\(\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {2\vec a - \vec b} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\vec a^2} - {\overrightarrow b ^2} + \vec a \cdot \vec b = 0\)\( \Leftrightarrow 2 \cdot {\left| {\vec a} \right|^2} - {\left| {\vec b} \right|^2} + \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 2 \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - {2^2} + \sqrt 2 \cdot 2 \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\vec a,\vec b} \right) = 90^\circ \). Chọn C.
Trong không gian cho hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) tạo với nhau một góc \(120^\circ \) và \(\left| {\vec u} \right| = 2,\,\,\left| {\vec v} \right| = 5.\) Tính \(\left| {\vec u + \vec v} \right|.\)
\(\sqrt {19} .\)
\( - 5\).
7.
\(\sqrt {39} .\)
Ta có \({\left| {\vec u + \vec v} \right|^2} = {\left| {\vec u} \right|^2} + {\left| {\vec v} \right|^2} + 2\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right| \cdot \cos 120^\circ = 4 + 25 + 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \frac{{ - 1}}{2} = 19\).
\( \Rightarrow \left| {\vec u + \vec v} \right| = \sqrt {19} \). Chọn A.
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh bằng \(a\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Tính \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AD} .\)
\(\frac{1}{6}{a^2}.\)
\(\frac{1}{4}{a^2}.\)
\(\frac{1}{2}{a^2}.\)
\({a^2}.\)
Ta có \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} } \right)\)
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) + \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {{a^2} \cdot \frac{1}{2} + {a^2} \cdot \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}{a^2}\].
Chọn C.
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {CM} \cdot \overrightarrow {AN} .\)
\( - \frac{1}{3}{a^2}.\)
\( - \frac{1}{6}{a^2}.\)
\( - \frac{1}{2}{a^2}.\)
\( - \frac{1}{8}{a^2}.\)
Ta có: \[\overrightarrow {CM} \cdot \overrightarrow {AN} = \left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\]
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{4} - {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{ - 1}}{2}{a^2}\). Chọn C.
Trong không gian \(Oxyz\), cho đoạn thẳng \(AB\) có \(A\left( {3\;;\;1\;;\; - 1} \right)\)và \(B\left( { - 1\;;\;5\;;\;7} \right)\). Tọa độ trung điểm \(M\)của \(AB\) là
\(M\left( {2\;;\;6\;;\;6} \right)\).
\(M\left( {1\;;\;3\;;\;3} \right)\).
\(M\left( { - 1\;;\;3\;;\; - 3} \right)\).
\(M\left( { - 2\;;\; - 6\;;\; - 6} \right)\).
Tọa độ trung điểm \(M\)của \(AB\)là \(M\left( {1\;;\;3\;;\;3} \right)\). Chọn B.
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\vec a = \left( {2; - 3;3} \right)\), \(\vec b = \left( {0;2; - 1} \right)\), \(\vec c = \left( {3; - 1;5} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\vec u = 2\vec a + 3\vec b - 2\vec c\).
\(\left( {10; - 2;13} \right)\).
\(\left( { - 2;2; - 7} \right)\).
\(\left( { - 2; - 2;7} \right)\).
\(\left( { - 2;2;7} \right)\).
Ta có: \(2\vec a = \left( {4; - 6;6} \right)\), \(3\vec b = \left( {0;6; - 3} \right)\), \( - 2\vec c = \left( { - 6;2; - 10} \right)\).
Suy ra \(\vec u = 2\vec a + 3\vec b - 2\vec c = \left( { - 2;2; - 7} \right)\). Chọn B.
Cho tứ giác \(ABCD\) biết \(A\left( {0;\, - 2;\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,3;\, - 2} \right),\,\,C\left( {1;\,0;\,0} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
\(D\left( {0;\, - 5;\,3} \right)\).
\(D\left( {0;\,5;\,3} \right)\).
\(D\left( {1;\,5;\, - 3} \right)\).
\(D\left( {0;\, - 5;\, - 3} \right)\).
Gọi tọa độ điểm \(D\) là: \(D\,\left( {x;y;z} \right)\). Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\,5\,;\, - 3} \right)\); \(\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x\,;\, - y\,;\, - z} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = 1\\ - y = 5\\ - z = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 5\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {0;\, - 5;\,3} \right)\).
Vậy điểm \(D\left( {0;\, - 5;\,3} \right)\)thì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành. Chọn A.
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho \[\overrightarrow {OM} = \left( {1;5;2} \right)\], \[\overrightarrow {ON} = \left( {3;7; - 4} \right)\], \(K\left( { - 1;3;1} \right)\). Gọi \[P\] là điểm đối xứng với \[M\] qua \[N\]. Tìm tọa độ vectơ \[\overrightarrow {KP} \].
\(\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 11} \right)\).
\[\overrightarrow {KP} = \left( {8;6; - 11} \right)\].
\[\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 4} \right)\].
\[\overrightarrow {KP} = \left( {3;3; - 2} \right)\].
Ta có: \[\overrightarrow {OM} = \left( {1;5;2} \right) \Rightarrow M\left( {1;5;2} \right)\], \[\overrightarrow {ON} = \left( {3;7; - 4} \right) \Rightarrow N\left( {3;7; - 4} \right)\].
Vì \[P\] là điểm đối xứng với \[M\]qua \[N\] nên \[N\] là trung điểm của \(MP\), ta suy ra được
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NP} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = {x_P} - {x_N}\\{y_N} - {y_M} = {y_P} - {y_N}\\{z_N} - {z_M} = {z_P} - {z_N}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_P} = 5\\{y_P} = 9\\{z_P} = - 10\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {5;9; - 10} \right)\).
Khi đó \[\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 11} \right)\]. Chọn A.
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( { - 1; - 1;0} \right),B\left( {3;1; - 1} \right).\) Điểm \(M\) thuộc trục \(Oy\) và cách đều hai điểm \(A,\,B\) có tọa độ là
\(M\left( {0; - \frac{9}{4};0} \right).\)
\(M\left( {0;\frac{9}{2};0} \right).\)
\(M\left( {0; - \frac{9}{2};0} \right).\)
\(M\left( {0;\frac{9}{4};0} \right).\)
Ta có điểm \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;y;0} \right)\).
\(\overrightarrow {AM} = \left( {1;y + 1;0} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {1 + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} ;\overrightarrow {BM} = \left( { - 3;y - 1;1} \right)\)\( \Rightarrow BM = \sqrt {10 + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \).
Ta có điểm \(M\) cách đều hai điểm \(A\) và \(B \Rightarrow AM = BM\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = \sqrt {10 + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \Leftrightarrow 1 + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10 + {\left( {y - 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 4y = 9 \Leftrightarrow y = \frac{9}{4}\).
Vậy \(M\left( {0;\frac{9}{4};0} \right)\). Chọn D.
Trong không gian \[Oxyz\], cho \(A\left( {2;1; - 1} \right),B\left( {3;0;1} \right).\) Tìm điểm \(C \in Oz\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).
\(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right).\)
\(C\left( {0;0;\frac{5}{2}} \right).\)
\(C\left( {0;0;3} \right).\)
\(C\left( {0;0;5} \right).\)
Ta có \(C \in Oz \Rightarrow C\left( {0;0;a} \right)\).Ta có \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 1;1; - 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;0;a - 1} \right)\).
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B \Rightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\)\( \Leftrightarrow 3 - 2a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2} \Rightarrow C\left( {0;0;\frac{5}{2}} \right)\). Chọn B.
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \(A\left( {1;3; - 2} \right),\)\(B\left( {0; - 1;3} \right),C\left( {m;n;8} \right)\) (với \(m,\,n\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m,\,n\) để ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng.
\(m = 3,n = 11.\)
\(m = - 1,n = - 5.\)
\(m = - 1,n = 5.\)
\(m = 1,n = 5.\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 4;5} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {m - 1;n - 3;10} \right)\).
Ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng khi \(k \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{ - 1}} = \frac{{n - 3}}{{ - 4}} = \frac{{10}}{5} = 2\)\( \Rightarrow m = - 1;n = - 5\).
Chọn B.
Trong không gian \[Oxyz\], cho \(\overrightarrow a = \,\left( { - 2;\,3;\,1} \right)\), \(\,\overrightarrow b = \left( {2;\, - 3;\,\,5} \right)\). Tìm tọa độ của \(\overrightarrow x = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow x = \left( { - 10;\,\,15;\,\, - 13} \right)\).
\[\overrightarrow x = \left( {10;\,\, - 15;\,\,13} \right)\].
\(\overrightarrow x = \left( {2;\,\, - 3;\,\,17} \right)\).
\(\overrightarrow x = \left( { - 2;\,\,3;\,\, - 17} \right)\).
Ta có: \(2\overrightarrow a = \left( { - 4;\,\,6;\,\,2} \right)\), \( - 3\overrightarrow b = \left( { - 6;\,\,\,9;\,\, - 15} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow x = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b = \)\(\left( { - 10;\,\,15;\,\, - 13} \right)\). Chọn A.
Trong không gian\(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( {2;3;1} \right)\). Gọi \(G\)là trọng tâm tam giác \(ABC\), tọa độ điểm \(G\) là
\(G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3}; - 2} \right)\).
\(G\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};3} \right)\).
\(G\left( {5;1;6} \right)\).
\(G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};2} \right)\).
Gọi \(G\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{1 + 2 + 2}}{3} = \frac{5}{3}\\{y_0} = \frac{{ - 1 + \left( { - 1} \right) + 3}}{3} = \frac{1}{3}\\{z_0} = \frac{{2 + 3 + 1}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};2} \right)\). Chọn D.
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 4z + 5 = 0\)?
\({\vec n_1} = \left( {3;4;5} \right)\).
\({\vec n_2} = \left( {1;3; - 4} \right)\).
\({\vec n_3} = \left( {1;3;4} \right)\).
\({\vec n_4} = \left( {3; - 4;5} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 4z + 5 = 0\)có một VTPT là \({\vec n_2} = \left( {1;3; - 4} \right)\). Chọn B.
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3;\,2;\,1} \right),\,B\left( { - 1;\,4;\,1} \right),\,C\left( {3;\, - 2;\,5} \right)\). Tọa độ nào sau đây là tọa độ vectơ pháp tuyến của của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)?
\(\left( {1;\,2;\,2} \right)\).
\(\left( {8;\, - 16;\,16} \right)\).
\(\left( { - 1;\,2;\, - 2} \right)\).
\(\left( {1;\,4;\,4} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;2;0} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 4;4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {8;\,16;\,16} \right)\). Chọn \({\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \frac{1}{8}\vec n = \left( {1;2;2} \right)\).
Chọn A.
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độ?
\(x + 20 = 0\).
\(x - 2024 = 0\).
\(y + 2025 = 0\).
\(2x + 5y - 8z = 0\).
Thế \(O\left( {0;0;0} \right)\)vào mặt phẳng \(x + 20 = 0\) ta được \(0 + 20 = 0\) (không thỏa). Do đó mặt phẳng \(x + 20 = 0\)không đi qua gốc tọa độ.
Thế \(O\left( {0;0;0} \right)\)vào mặt phẳng \(x - 2024 = 0\) ta được \(0 - 2024 = 0\) (không thỏa). Do đó mặt phẳng \(x - 2024 = 0\)không đi qua gốc tọa độ.
Thế \(O\left( {0;0;0} \right)\)vào mặt phẳng \(y + 2025 = 0\) ta được \(0 + 2025 = 0\) (không thỏa). Do đó mặt phẳng \(y + 2025 = 0\)không đi qua gốc tọa độ.
Thế \(O\left( {0;0;0} \right)\)vào mặt phẳng \(2x + 5y - 8z = 0\) ta được \(0 + 0 + 0 = 0\) (thỏa). Do đó mặt phẳng \(2x + 5y - 8z = 0\)đi qua gốc tọa độ. Chọn D.
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):\,2x + y - 2z + 4 = 0\]. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với \(\left( P \right)\)?
\(2x + y - 2z + 5 = 0\).
\(x + 2y + 2z - 5 = 0\).
\(x + 3y - z + 1 = 0\).
\(x + y + z - 6 = 0\).
Mặt phẳng \[\left( P \right):\,2x + y - 2z + 4 = 0\] có VTPT \(\vec n = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(2x + y - 2z + 5 = 0\) có VTPT \({\vec n_1} = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Ta có \({\vec n_1} = \vec n\) nên hai mặt phẳng không vuông góc.
Mặt phẳng \(x + 2y + 2z - 5 = 0\) có VTPT \({\vec n_2} = \left( {1;2;2} \right)\).
Ta có \({\vec n_2} \cdot \vec n = 0\) nên hai mặt phẳng vuông góc.
Mặt phẳng \(x + 3y - z + 1 = 0\) có VTPT \({\vec n_3} = \left( {1;3; - 1} \right)\).
Ta có \({\vec n_3} \cdot \vec n = 7 \ne 0\) nên hai mặt phẳng không vuông góc.
Mặt phẳng \(x + y + z - 6 = 0\) có VTPT \({\vec n_4} = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \({\vec n_4} \cdot {\rm{ }}\vec n = 1 \ne 0\) nên hai mặt phẳng không vuông góc. Chọn B.
Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách từ \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) đến \(\left( P \right):x + 2y + 2z - 10 = 0\)là
\(3\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{{11}}{3}\).
\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 4 - 6 - 10} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \frac{{11}}{3}\). Chọn D.
Trong không gian \[Oxyz,\] cho \[A\left( {0;1;1} \right);\,B\left( {1;2;3} \right)\]. Viết phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\] và vuông góc với đường thẳng \[AB.\]
\[\left( P \right):x + y + 2z - 3 = 0\].
\[\left( P \right):x + y + 2z - 6 = 0\].
\[\left( P \right):x + 3y + 4z - 7 = 0\].
\[\left( P \right):x + 3y + 4z - 26 = 0\].
Ta có .
\[ \Rightarrow \left( P \right):1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( P \right):x + y + 2z - 3 = 0.\] Chọn A.
Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm\[A\left( {3; - 2; - 2} \right)\],\[B\left( {3;2;0} \right)\],\[C\left( {0;2;1} \right)\]. Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là
\[2x - 3y + 6z + 12 = 0\].
\(2x + 3y - 6z - 12 = 0\).
\(2x - 3y + 6z = 0\).
\(2x + 3y + 6z + 12 = 0\).
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,4;\,2} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;\,4;\,3} \right)\], \[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4;\, - 6;\,12} \right)\].
Ta có \[\vec n = \left( {4;\, - 6;\,12} \right)\] cùng phương \[{\vec n_1} = \left( {2;\, - 3;\,6} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] đi qua điểm \[C\left( {0;2;1} \right)\] và có một vectơ pháp tuyến \[{\vec n_1} = \left( {2;\, - 3;\,6} \right)\] nên \[\left( {ABC} \right)\]có phương trình là: \(2\left( {x - 0} \right) - 3\left( {y - 2} \right) + 6\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 3y + 6z = 0\).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(2x - 3y + 6z = 0\). Chọn C.
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {2; - 1; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 4z - 5 = 0.\) Mặt phẳng \[\left( Q \right)\] đi qua \[A\] và song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\] có phương trình:
\(\left( Q \right):3x - 2y + 4z - 4 = 0.\)
\(\left( Q \right):3x - 2y + 4z + 4 = 0.\)
\(\left( Q \right):3x - 2y + 4z + 5 = 0.\)
\(\left( Q \right):3x + 2y + 4z + 8 = 0.\).
Do \[\left( Q \right)\] song song với \[\left( P \right)\] nên \[\left( Q \right)\] có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {3; - 2;4} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right)\]: \(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + 4\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + 4z + 4 = 0\). Chọn B.
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm \(D\left( {3;0;0} \right)\), \(E\left( {0; - 2;0} \right),\) \(G\left( {0;0; - 7} \right)\) có phương trình chính tắc là:
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} + 1 = 0\).
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{7} = 1\).
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} = 1\).
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{7} = 1\).
Phương trình mặt phẳng đã cho là: \(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} = 1\). ChọnC.
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 5}}{8} = \frac{{y - 9}}{6} = \frac{{z - 12}}{3}\).
\({\vec u_1} = \left( {8;6;3} \right)\).
\({\vec u_2} = \left( {8;6; - 3} \right)\).
\({\vec u_3} = \left( { - 8;6; - 3} \right)\).
\({\vec u_4} = \left( {5;9;12} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 5}}{8} = \frac{{y - 9}}{6} = \frac{{z - 12}}{3}\) có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {8;\;6\;;\;3} \right)\). ChọnA.
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình chính tắc của đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {1;1;2} \right)\) và \(B\left( { - 4;3; - 2} \right)\) là:
\(\frac{{x + 4}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x + 1}}{{ - 5}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}\).
\(\frac{{x + 4}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}\).
Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(B\left( { - 4;3; - 2} \right)\), nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;2; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương, có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x + 4}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}\). Chọn D.
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 3 = 0\) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - t\\z = - 1 + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1\\z = 1 - t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1\\z = - 1 + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - t\\z = 1 - t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\), nhận \[{\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2; - 1;1} \right)\] làm vectơ chỉ phương, có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - t\\z = - 1 + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Chọn A.