45 câu hỏi
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] và bằng vectơ \(\overrightarrow {AD} \) là
![Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid0-1737029811.png)
\[\overrightarrow {B'C'} \].
\[\overrightarrow {DA} \].
\[\overrightarrow {CB} \].
\[\overrightarrow {AB} \].
Do \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên ta có \(AD = B'C'\) và \(AD\,{\rm{//}}\,B'C'\).
Ta thấy \(\overrightarrow {AD} \) và \[\overrightarrow {B'C'} \] cùng hướng. Vậy \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {B'C'} \). Chọn A.
\[12\].
\[6\].
\[ - 12\].
\[ - 6\].
Ta có \[\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 6\]. Chọn B.
\(\left( {3\;;\;4\;;\;1} \right)\).
\(\left( {3\;;\;0\;;\;1} \right)\).
\(\left( {3\;;\;4\;;\; - 1} \right)\).
\(\left( {3\;;\;0\;;\;0} \right)\).
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là \(\left( {3\;;\;4\;;\; - 1} \right)\). Chọn C.
\(x + y + z - 3 = 0\).
\(x - y + z - 1 = 0\).
\(x + y - z - 1 = 0\).
\( - x + y + z - 1 = 0\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 1\;;\;1\;;\;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm nên chỉ có phương án D thỏa mãn. Chọn D.
\({\vec u_1} = \left( {3; - 1;3} \right)\).
\({\vec u_2} = \left( {3; - 1;0} \right)\).
\({\vec u_3} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\).
\({\vec u_4} = \left( { - 1;0;3} \right)\).
\(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 1\\z = 3t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_4} = \left( { - 1;0;3} \right)\). Chọn D.
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) chiều cao bằng \(2a\) và \(O\) là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ bên, ta tính được khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng
\(\frac{{2a}}{3}.\)
\(\frac{{2a}}{{\sqrt {17} }}.\)
\(\frac{{4a}}{{\sqrt {17} }}.\)
\(\frac{{4a}}{3}.\)
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(ABCD\) là hình vuông.
Suy ra \(OA = OB = OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} = a.\)
Dựa vào hình vẽ, ta có \(C\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;a;0} \right),A\left( { - a;0;0} \right),S\left( {0;0;2a} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AS} = \left( {a;0;2a} \right),\overrightarrow {BS} = \left( {0; - a;2a} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;0;2} \right)\) và \(\vec v = \left( {0; - 1;2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 2; - 1} \right).\)
Suy ra mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có phương trình là \(2x - 2y - z + 2a = 0.\)
Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot a - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2a} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{4a}}{3}.\) Chọn D.
\({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 100\).
\({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z + 15} \right)^2} = 100\).
\({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z + 15} \right)^2} = 25\).
Do mặt cầu có đường kính bằng 10 nên bán kính bằng 5.
Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( { - 6; - 9;15} \right)\), đường kính bằng 10 có phương trình là:
\({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 25\). Chọn B.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 45 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow x ;\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow y ;\,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow z \).
a) \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z \).
b) \(\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow x + \overrightarrow z \).
c) Góc giữa vectơ \(\overrightarrow {BA'} \) và vectơ \(\overrightarrow {A'C'} \) bằng \(60^\circ \).
d) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó, độ dài vectơ \(\overrightarrow {A'M} \) bằng \(\frac{{3a}}{2}\).
Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z \).
Theo quy tắc 3 điểm ta có \(\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow x - \overrightarrow z \).
Vì hình lập phương có cạnh bằng \(a\) nên \(A'B = A'C' = C'B = a\sqrt 2 \), do đó tam giác \(A'BC'\) đều, nên \[\widehat {BA'C'} = 60^\circ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BA'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \].
Dễ thấy \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AM \Rightarrow \)tam giác \(AA'M\) vuông tại \(A\).
Có \(\left| {\overrightarrow {A'M} } \right| = A'M = \sqrt {A{{A'}^2} + A{M^2}} = \sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2} + B{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{3a}}{2}\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
Hình chiếu của \[A\] lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(A'\left( {0;0;1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {3;\,3;\, - 3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,0;\, - 2} \right)\).
Khi đó \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = 3 \cdot \left( { - 2} \right) + 3 \cdot 0 + \left( { - 3} \right)\, \cdot \left( { - 2} \right) = 0\,\, \Rightarrow AC \bot AB\].
Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {2;\,0;\,2} \right)\,;\,\,\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {x - 3;\,y - 1;\,z + 2} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 2\\y - 1 = 0\\z + 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {5;1;0} \right)\).
Trọng tâm của tam giác \[ABC\] là \(G\left( {\frac{1}{3}; - 1;\frac{{ - 2}}{3}} \right)\).
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Do \[\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\] nên \[\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \].
Do \[\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\] nên \[\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[\left( P \right)\].
Ta có \[\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 - 2 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{8}{9}\].
\[{\cos ^2}\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 1 - {\sin ^2}\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 1 - \frac{{64}}{{81}} = \frac{{17}}{{81}} \Rightarrow \cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\sqrt {17} }}{9}\].
Suy ra \[\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx 63^\circ \].
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị tính bằng mét). Bạn Huyền quan sát và phát hiện một con chim đang bay với tốc độ và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {20;40;30} \right)\) đến điểm \(B\left( {40;50;50} \right)\) trong vòng 4 phút. Nếu con chim bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 2 phút con chim ở vị trí \(C\left( {a;b;c} \right)\). Tổng \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Vì hướng bay và vận tốc bay của con chim không đổi nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.
Mặt khác do thời gian bay từ \(A\) đến \(B\) gấp đôi thời gian bay từ \(B\) đến \(C\) nên \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {BC} \)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{40 - 20 = 2\left( {a - 40} \right)}\\{50 - 40 = 2\left( {b - 50} \right)}\\{50 - 30 = 2\left( {c - 50} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 50}\\{b = 55}\\{c = 60}\end{array} \Rightarrow a + b + c = 165} \right.} \right.\).
Đáp án: \(165\).
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = \left( {3;\,4;\, - 5} \right)\) và \({\vec u_2} = \left( {5;\,3;\,4} \right)\).
Тa có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + \left( { - 5} \right) \cdot 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {3^2} + {4^2}} }} = \frac{7}{{50}}\).
Suy ra \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 82^\circ \).
Đáp án: \(82\).
\(\overrightarrow {DC} .\)
\(\overrightarrow {BA} .\)
\(\overrightarrow {CD} .\)
\(\overrightarrow {DB} .\)
\(\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} \). Chọn C.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} .\)
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} .\)
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} .\)
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\)
Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} .\) Chọn B.
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\) Đặt \(\vec a = \overrightarrow {AA'} ,\vec b = \overrightarrow {AB} ,\vec c = \overrightarrow {AC} .\) Hãy biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {B'C} \) theo các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c.\)
\(\overrightarrow {B'C} = \vec a + \vec b - \vec c.\)
\(\overrightarrow {B'C} = - \vec a + \vec b - \vec c.\)
\(\overrightarrow {B'C} = \vec a + \vec b + \vec c.\)
\(\overrightarrow {B'C} = - \vec a - \vec b + \vec c.\)
Ta có: \(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A'A} + \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {B'C} = - \vec a - \vec b + \vec c.\) Chọn D.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(\overrightarrow {AO} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\)
\(\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\)
\(\overrightarrow {AO} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\)
\(\overrightarrow {AO} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).\)
Ta có: \(\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\) (quy tắc hình hộp). Chọn B.
\(M\) là tâm hình bình hành \(ABB'A'.\)
\(M\) là tâm hình bình hành \(BCC'B'.\)
\(M\) là trung điểm \(BB'.\)
\(M\) là trung điểm \(CC'.\)
Ta phân tích: \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a - \vec b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} .\)
\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(BB'\). Chọn C.
1.
2.
\(\sqrt 3 .\)
3.
Ta có \[\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 1\]. Chọn A.
\(\alpha = 30^\circ .\)
\(\alpha = 45^\circ .\)
\(\alpha = 60^\circ .\)
\(\alpha = 120^\circ .\)
Ta có \(\vec a \cdot \overrightarrow b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) \Rightarrow \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3 \cdot 2}} = - \frac{1}{2}\).
\( \Rightarrow \left( {\vec a,\vec b} \right) = 120^\circ \). Chọn D.
\(45^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(120^\circ .\)
Dễ thấy tam giác \(A'C'D\) là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(\widehat {C'A'D} = 60^\circ \).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {A'D} } \right) = 180^\circ - 60^\circ \)\( = 120^\circ \). Chọn D.
\(120^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(30^\circ .\)
Vì hai vectơ \(\vec x = \vec a + \vec b,\vec y = 2\vec a - \vec b\) vuông góc với nhau nên
\(\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {2\vec a - \vec b} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\vec a^2} - {\overrightarrow b ^2} + \vec a \cdot \vec b = 0\)\( \Leftrightarrow 2 \cdot {\left| {\vec a} \right|^2} - {\left| {\vec b} \right|^2} + \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 2 \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - {2^2} + \sqrt 2 \cdot 2 \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\vec a,\vec b} \right) = 90^\circ \). Chọn C.
\(\sqrt {19} .\)
\( - 5\).
7.
\(\sqrt {39} .\)
Ta có \({\left| {\vec u + \vec v} \right|^2} = {\left| {\vec u} \right|^2} + {\left| {\vec v} \right|^2} + 2\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right| \cdot \cos 120^\circ = 4 + 25 + 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \frac{{ - 1}}{2} = 19\).
\( \Rightarrow \left| {\vec u + \vec v} \right| = \sqrt {19} \). Chọn A.
\(\frac{1}{6}{a^2}.\)
\(\frac{1}{4}{a^2}.\)
\(\frac{1}{2}{a^2}.\)
\({a^2}.\)
Ta có \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} } \right)\)
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) + \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {{a^2} \cdot \frac{1}{2} + {a^2} \cdot \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}{a^2}\].
Chọn C.
\( - \frac{1}{3}{a^2}.\)
\( - \frac{1}{6}{a^2}.\)
\( - \frac{1}{2}{a^2}.\)
\( - \frac{1}{8}{a^2}.\)
Ta có: \[\overrightarrow {CM} \cdot \overrightarrow {AN} = \left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\]
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{4} - {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{ - 1}}{2}{a^2}\). Chọn C.
\(M\left( {2\;;\;6\;;\;6} \right)\).
\(M\left( {1\;;\;3\;;\;3} \right)\).
\(M\left( { - 1\;;\;3\;;\; - 3} \right)\).
\(M\left( { - 2\;;\; - 6\;;\; - 6} \right)\).
Tọa độ trung điểm \(M\)của \(AB\)là \(M\left( {1\;;\;3\;;\;3} \right)\). Chọn B.
\(\left( {10; - 2;13} \right)\).
\(\left( { - 2;2; - 7} \right)\).
\(\left( { - 2; - 2;7} \right)\).
\(\left( { - 2;2;7} \right)\).
Ta có: \(2\vec a = \left( {4; - 6;6} \right)\), \(3\vec b = \left( {0;6; - 3} \right)\), \( - 2\vec c = \left( { - 6;2; - 10} \right)\).
Suy ra \(\vec u = 2\vec a + 3\vec b - 2\vec c = \left( { - 2;2; - 7} \right)\). Chọn B.
\(D\left( {0;\, - 5;\,3} \right)\).
\(D\left( {0;\,5;\,3} \right)\).
\(D\left( {1;\,5;\, - 3} \right)\).
\(D\left( {0;\, - 5;\, - 3} \right)\).
Gọi tọa độ điểm \(D\) là: \(D\,\left( {x;y;z} \right)\). Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\,5\,;\, - 3} \right)\); \(\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x\,;\, - y\,;\, - z} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = 1\\ - y = 5\\ - z = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 5\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {0;\, - 5;\,3} \right)\).
Vậy điểm \(D\left( {0;\, - 5;\,3} \right)\)thì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành. Chọn A.
\(\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 11} \right)\).
\[\overrightarrow {KP} = \left( {8;6; - 11} \right)\].
\[\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 4} \right)\].
\[\overrightarrow {KP} = \left( {3;3; - 2} \right)\].
Ta có: \[\overrightarrow {OM} = \left( {1;5;2} \right) \Rightarrow M\left( {1;5;2} \right)\], \[\overrightarrow {ON} = \left( {3;7; - 4} \right) \Rightarrow N\left( {3;7; - 4} \right)\].
Vì \[P\] là điểm đối xứng với \[M\]qua \[N\] nên \[N\] là trung điểm của \(MP\), ta suy ra được
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NP} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = {x_P} - {x_N}\\{y_N} - {y_M} = {y_P} - {y_N}\\{z_N} - {z_M} = {z_P} - {z_N}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_P} = 5\\{y_P} = 9\\{z_P} = - 10\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {5;9; - 10} \right)\).
Khi đó \[\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 11} \right)\]. Chọn A.
\(M\left( {0; - \frac{9}{4};0} \right).\)
\(M\left( {0;\frac{9}{2};0} \right).\)
\(M\left( {0; - \frac{9}{2};0} \right).\)
\(M\left( {0;\frac{9}{4};0} \right).\)
Ta có điểm \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;y;0} \right)\).
\(\overrightarrow {AM} = \left( {1;y + 1;0} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {1 + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} ;\overrightarrow {BM} = \left( { - 3;y - 1;1} \right)\)\( \Rightarrow BM = \sqrt {10 + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \).
Ta có điểm \(M\) cách đều hai điểm \(A\) và \(B \Rightarrow AM = BM\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = \sqrt {10 + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \Leftrightarrow 1 + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10 + {\left( {y - 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 4y = 9 \Leftrightarrow y = \frac{9}{4}\).
Vậy \(M\left( {0;\frac{9}{4};0} \right)\). Chọn D.
\(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right).\)
\(C\left( {0;0;\frac{5}{2}} \right).\)
\(C\left( {0;0;3} \right).\)
\(C\left( {0;0;5} \right).\)
Ta có \(C \in Oz \Rightarrow C\left( {0;0;a} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 1;1; - 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;0;a - 1} \right)\).
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B \Rightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\)\( \Leftrightarrow 3 - 2a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2} \Rightarrow C\left( {0;0;\frac{5}{2}} \right)\). Chọn B.
\(m = 3,n = 11.\)
\(m = - 1,n = - 5.\)
\(m = - 1,n = 5.\)
\(m = 1,n = 5.\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 4;5} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {m - 1;n - 3;10} \right)\).
Ba điểm \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng khi \(k \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{ - 1}} = \frac{{n - 3}}{{ - 4}} = \frac{{10}}{5} = 2\)\( \Rightarrow m = - 1;n = - 5\).
Chọn B.
\(\overrightarrow x = \left( { - 10;\,\,15;\,\, - 13} \right)\).
\[\overrightarrow x = \left( {10;\,\, - 15;\,\,13} \right)\].
\(\overrightarrow x = \left( {2;\,\, - 3;\,\,17} \right)\).
\(\overrightarrow x = \left( { - 2;\,\,3;\,\, - 17} \right)\).
Ta có: \(2\overrightarrow a = \left( { - 4;\,\,6;\,\,2} \right)\), \( - 3\overrightarrow b = \left( { - 6;\,\,\,9;\,\, - 15} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow x = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b = \)\(\left( { - 10;\,\,15;\,\, - 13} \right)\). Chọn A.
\(G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3}; - 2} \right)\).
\(G\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};3} \right)\).
\(G\left( {5;1;6} \right)\).
\(G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};2} \right)\).
Gọi \(G\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{1 + 2 + 2}}{3} = \frac{5}{3}\\{y_0} = \frac{{ - 1 + \left( { - 1} \right) + 3}}{3} = \frac{1}{3}\\{z_0} = \frac{{2 + 3 + 1}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};2} \right)\). Chọn D.
\({\vec n_1} = \left( {3;4;5} \right)\).
\({\vec n_2} = \left( {1;3; - 4} \right)\).
\({\vec n_3} = \left( {1;3;4} \right)\).
\({\vec n_4} = \left( {3; - 4;5} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 4z + 5 = 0\)có một VTPT là \({\vec n_2} = \left( {1;3; - 4} \right)\). Chọn B.
\(\left( {1;\,2;\,2} \right)\).
\(\left( {8;\, - 16;\,16} \right)\).
\(\left( { - 1;\,2;\, - 2} \right)\).
\(\left( {1;\,4;\,4} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;2;0} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 4;4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {8;\,16;\,16} \right)\). Chọn \({\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \frac{1}{8}\vec n = \left( {1;2;2} \right)\).
Chọn A.
\(x + 20 = 0\).
\(x - 2024 = 0\).
\(y + 2025 = 0\).
\(2x + 5y - 8z = 0\).
Thế \(O\left( {0;0;0} \right)\) vào mặt phẳng \(x + 20 = 0\) ta được \(0 + 20 = 0\) (không thỏa). Do đó mặt phẳng \(x + 20 = 0\) không đi qua gốc tọa độ.
Thế \(O\left( {0;0;0} \right)\) vào mặt phẳng \(x - 2024 = 0\) ta được \(0 - 2024 = 0\) (không thỏa). Do đó mặt phẳng \(x - 2024 = 0\) không đi qua gốc tọa độ.
Thế \(O\left( {0;0;0} \right)\) vào mặt phẳng \(y + 2025 = 0\) ta được \(0 + 2025 = 0\) (không thỏa). Do đó mặt phẳng \(y + 2025 = 0\) không đi qua gốc tọa độ.
Thế \(O\left( {0;0;0} \right)\) vào mặt phẳng \(2x + 5y - 8z = 0\) ta được \(0 + 0 + 0 = 0\) (thỏa). Do đó mặt phẳng \(2x + 5y - 8z = 0\) đi qua gốc tọa độ. Chọn D.
\(2x + y - 2z + 5 = 0\).
\(x + 2y + 2z - 5 = 0\).
\(x + 3y - z + 1 = 0\).
\(x + y + z - 6 = 0\).
Mặt phẳng \[\left( P \right):\,2x + y - 2z + 4 = 0\] có VTPT \(\vec n = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(2x + y - 2z + 5 = 0\) có VTPT \({\vec n_1} = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Ta có \({\vec n_1} = \vec n\) nên hai mặt phẳng không vuông góc.
Mặt phẳng \(x + 2y + 2z - 5 = 0\) có VTPT \({\vec n_2} = \left( {1;2;2} \right)\).
Ta có \({\vec n_2} \cdot \vec n = 0\) nên hai mặt phẳng vuông góc.
Mặt phẳng \(x + 3y - z + 1 = 0\) có VTPT \({\vec n_3} = \left( {1;3; - 1} \right)\).
Ta có \({\vec n_3} \cdot \vec n = 7 \ne 0\) nên hai mặt phẳng không vuông góc.
Mặt phẳng \(x + y + z - 6 = 0\) có VTPT \({\vec n_4} = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \({\vec n_4} \cdot {\rm{ }}\vec n = 1 \ne 0\) nên hai mặt phẳng không vuông góc. Chọn B.
\(3\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{{11}}{3}\).
\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 4 - 6 - 10} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \frac{{11}}{3}\). Chọn D.
\[\left( P \right):x + y + 2z - 3 = 0\].
\[\left( P \right):x + y + 2z - 6 = 0\].
\[\left( P \right):x + 3y + 4z - 7 = 0\].
\[\left( P \right):x + 3y + 4z - 26 = 0\].
Ta có .
\[ \Rightarrow \left( P \right):1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( P \right):x + y + 2z - 3 = 0.\] Chọn A.
\[2x - 3y + 6z + 12 = 0\].
\(2x + 3y - 6z - 12 = 0\).
\(2x - 3y + 6z = 0\).
\(2x + 3y + 6z + 12 = 0\).
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,4;\,2} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;\,4;\,3} \right)\], \[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4;\, - 6;\,12} \right)\].
Ta có \[\vec n = \left( {4;\, - 6;\,12} \right)\] cùng phương \[{\vec n_1} = \left( {2;\, - 3;\,6} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] đi qua điểm \[C\left( {0;2;1} \right)\] và có một vectơ pháp tuyến \[{\vec n_1} = \left( {2;\, - 3;\,6} \right)\] nên \[\left( {ABC} \right)\]có phương trình là: \(2\left( {x - 0} \right) - 3\left( {y - 2} \right) + 6\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 3y + 6z = 0\).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(2x - 3y + 6z = 0\). Chọn C.
\(\left( Q \right):3x - 2y + 4z - 4 = 0.\)
\(\left( Q \right):3x - 2y + 4z + 4 = 0.\)
\(\left( Q \right):3x - 2y + 4z + 5 = 0.\)
\(\left( Q \right):3x + 2y + 4z + 8 = 0.\).
Do \[\left( Q \right)\] song song với \[\left( P \right)\] nên \[\left( Q \right)\] có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {3; - 2;4} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right)\]: \(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + 4\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + 4z + 4 = 0\). Chọn B.
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} + 1 = 0\).
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{7} = 1\).
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} = 1\).
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{7} = 1\).
Phương trình mặt phẳng đã cho là: \(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} = 1\). Chọn C.
\({\vec u_1} = \left( {8;6;3} \right)\).
\({\vec u_2} = \left( {8;6; - 3} \right)\).
\({\vec u_3} = \left( { - 8;6; - 3} \right)\).
\({\vec u_4} = \left( {5;9;12} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 5}}{8} = \frac{{y - 9}}{6} = \frac{{z - 12}}{3}\) có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {8;\;6\;;\;3} \right)\). Chọn A.
\(\frac{{x + 4}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x + 1}}{{ - 5}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}\).
\(\frac{{x + 4}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}\).
Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(B\left( { - 4;3; - 2} \right)\), nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;2; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương, có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x + 4}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}\). Chọn D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - t\\z = - 1 + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1\\z = 1 - t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1\\z = - 1 + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - t\\z = 1 - t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\), nhận \[{\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2; - 1;1} \right)\] làm vectơ chỉ phương, có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - t\\z = - 1 + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Chọn A.
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
