44 bài tập Đạo hàm và khảo sát hàm số có lời giải

Ta có: \[y' = {\left( {2x} \right)^\prime } \cdot cos2x = 2\cos 2x\]. Chọn B.

Ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3} \)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\).

Vậy \(S = f\left( 1 \right) + 4f'\left( 1 \right)\)\( = \sqrt {{1^2} + 3} + 4 \cdot \frac{1}{{\sqrt {{1^2} + 3} }}\)\( = 4\). Chọn B.

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\). Chọn D.

Ta có \(f'\left( x \right) = 2 - {e^x}\). Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \ln 2\).

\(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( {\ln 2} \right) = 2\ln 2;\,f\left( 2 \right) = 6 - {e^2}\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\ln 2} \right) = 2\ln 2\). Chọn D.

Ta có \(y = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = x - 2 + \frac{4}{{x + 1}}\).

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận xiên là \(y = x - 2\). Chọn A.

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \,\, \Rightarrow a < 0\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;d} \right)\,\, \Rightarrow \,d < 0\). Chọn B.      

Từ bảng biến thiên, ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(x = 1\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\), không đồng biến trên \(\left( { - 1;3} \right)\).

\( - 1\) và \(3\) là hai điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), không phải giá trị cực trị.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên nửa đoạn \(\left( {1;2} \right]\) bằng \(f\left( 2 \right)\) và \(f\left( 2 \right) < - 2\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                    d) Sai.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\). Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\).

Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = - \infty \).

Vậy \(x = - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} + 2x}} = 1\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 3}}{{x + 2}} = - 1\).

Vậy \(y = x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} + 2x - \left( {x + 2} \right) - 1}}{{x + 2}} = x - 1 - \frac{1}{{x + 2}}\).

Để \(x \in \mathbb{Z}\) và \(y \in \mathbb{Z}\) thì suy ra \(\frac{1}{{x + 2}} \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\x + 2 = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\).

Với \(x = - 1 \Rightarrow y = - 3\).

Với \(x = - 3 \Rightarrow y = - 3\).

Vậy có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị \(\left( C \right)\), số phần tử của \(S\) là \(2\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 2\), có đường tiệm cận ngang là \(y = 1\).

Từ bảng biến thiên suy ra trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,2} \right)\), đồ thị hàm số luôn nằm phía trên so với đường thẳng \(y = 1 \Rightarrow f\left( x \right) > 1\,\,\forall \,\,x \in \left( { - \infty ;\,2} \right) \Rightarrow f\left( { - 5} \right) > 1 > 0\).

Ta có:

+ Đường tiệm cận ngang là \(y = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a = b\).

+ Đường tiệm cận đứng là \(x = 2 \Rightarrow \frac{{ - c}}{b} = 2 \Leftrightarrow c = - 2b = - 2a\).

Mặt khác: \(f'\left( x \right) = \frac{{ac - 3b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne 2\).

\( \Rightarrow ac - 3b > 0 \Leftrightarrow - 2{a^2} - 3a > 0 \Rightarrow \frac{{ - 3}}{2} < a < 0 \Rightarrow b < 0,\,\,c > 0\).

Vậy trong các số \(a,b\) và \(c\) có hai số âm.

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                    d) Sai.

Ta có \(2x + 2y + \pi x = 4\), suy ra \(y = 2 - \frac{{\left( {\pi + 2} \right)x}}{2}\).

\(S\left( x \right) = 2xy + \frac{{\pi {x^2}}}{2} = 2x\left( {2 - x - \frac{{\pi x}}{2}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{2} = 4x - 2{x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{2}\) (m²).

Ta có \(x > 0\) và \(y > 0\), suy ra \(0 < x < \frac{4}{{\pi + 2}}\).

\(S'\left( x \right) = 4 - 4x - \pi x;\,\,S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{{\pi + 4}}\).

Bảng biến thiên

Vậy diện tích của cửa sổ lớn nhất khi \(x = \frac{4}{{\pi + 4}}\) (m). Giá trị lớn nhất là \(\frac{8}{{\pi + 4}}\) (m²).

Đáp án:       a) Sai,                    b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.

Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( { - 2{x^3} + x} \right)^\prime } = - 6{x^2} + 1\) nên hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 là: \(f'\left( 1 \right) = - 6 \cdot {1^2} + 1 = - 5\).

Đáp án:\( - 5\).

Điều kiện \(x \ne 1\). Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\):

\[\frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}} = mx + 1 \Rightarrow \left( {mx + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = - 2x + 1 \Leftrightarrow m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 = 0\].

Đặt \[g\left( x \right) = m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2\]. \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.Điều này xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {3 - m} \right)^2} + 8m > 0\\m + 3 - m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} + 2m + 9 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 5;5} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;1;2;3;4;5} \right\}\). Vậy có \(10\) giá trị.

Đáp án:\(10\).

Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là \(x\,\,\left( {x \in \mathbb{N},\,\,x > 0} \right)\).

Thời gian cần để sản xuất hết \(8000\) quả bóng là: \(\frac{{8000}}{{30x}}\) (giờ).

Tổng chi phí để sản xuất là: \(P\left( x \right) = 200x + \frac{{8000}}{{30x}} \cdot 192 = 200x + \frac{{51200}}{x}\).

Ta có: \(P'\left( x \right) = 200 - \frac{{51200}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\\x = - 16\left( L \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Vậy công ty nên sử dụng \(16\) máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.

Đáp án:\(16.\)

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{1}{2}{\left(2x\right)}^{\text{'}}\cos 2x-\sin x=\cos 2x-\sin x$. Khi đó, $y^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \pi -\sin \frac{\pi }{2}=-2$. Chọn D.

Ta có: \[v\left( t \right)\]\( = s\prime \left( t \right)\)\( = 2{t^2} - 2\), suy ra \(v\left( 2 \right) = 6 {\rm{m/s}}\). Chọn A.

Ta có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} - \frac{{3b}}{{{x^4}}} + 2cx\).

\(f\left( 2 \right) = \frac{{95}}{4}\)\( \Leftrightarrow 8a + \frac{b}{8} + 4c = \frac{{95}}{4}\)(1)

\[f'\left( 1 \right) = 16\]\[ \Leftrightarrow 3a - 3b + 2c = 16\](2)

\[f'\left( { - 1} \right) = 8\]\[ \Leftrightarrow 3a - 3b - 2c = 8\](3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\\c = 2\end{array} \right.\]. Vậy \[a + b + c = 2\]. Chọn B.

Từ đồ thị hàm số ta thấy trong khoảng $\left(-1;1\right)x$ tăng, y giảm (đồ thị hàm số đi xuống). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-1;1\right).$ Chọn D.

Từ bảng biến thiên ta thấy mệnh đề: “Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$” là sai vì hàm số $y=f\left(x\right)$ không xác định tại x = 0. Chọn B.

Ta có: $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x+3}=-\infty ; =\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x+3}=+\infty$.

$\Rightarrow x=-3$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn C.

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{1\right\}$.Ta có $y=\frac{2x+4}{1-x}\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{6}{{\left(1-x\right)}^2}>0,\forall x\ne 1$.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$. Chọn A.

Dựa vào bảng xét dấu của $f^{\text{'}}\left(x\right)$ ta thấy $f^{\text{'}}\left(x\right)$ đổi dấu 2 lần.

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 2. Chọn B.

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang $y=-1$. Chọn A.

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[0;3\right]$ là $-4$ đạt khi $x=1$. Chọn D.

Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và $y_{CĐ}=-5$.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và $y_{CT}=3$. Chọn B.

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right.$.

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số có điểm cực tiểu là x = 0. Chọn B.

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+3>0\forall x\in ℝ$. Khi đó $y\left(0\right)=0;y\left(2\right)=14$.

Vậy $\underset{x\in \left[0;2\right]}{\max }y=y\left(2\right)=14=M$. Chọn C.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ngay đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, suy ra loại đáp án A.

Nhìn vào bảng biến thiên thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.

$y=\frac{-x-2}{x-1}$ có $ad-bc=3>0$. Loại đáp án B.

$y=\frac{-x-3}{x-1}$ có $ad-bc=4>0$. Loại đáp án D.

$y=\frac{-x+3}{x-1}$ có $ad-bc=-2<0$. Chọn C.

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1-\ln x}{x^2} .f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=e$.

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left[1;e^2\right)$:

Vậy $m=\underset{\left[1;e^2\right)}{\min }f\left(x\right)=0;M=\underset{\left[1;e^2\right)}{\max }f\left(x\right)=\frac{1}{e}$. Suy ra $\ln \left(m+M\right)=\ln \frac{1}{e}=-1$. Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. Suy ra loại B và D.

Ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm x = 1 nên loạiC.

Vậy bảng biến thiên đề bài cho là của hàm số $y=\frac{x^2+2x-2}{x-1}$. Chọn A.

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{0\right\}$. Ta có $y^{\text{'}}=1-\frac{9}{x^2}$. Khi đó, $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-3\left(l\right)\end{array}\right.$.

$y\left(2\right)=\frac{13}{2}$, $y\left(4\right)=\frac{25}{4}$, $y\left(3\right)=6$. Vậy $\underset{\left[2;4\right]}{\min }y=6$. Chọn A.

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( {0\,;\, + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' = 2x\ln x + x = x\left( {2\ln x + 1} \right)\), \(y' = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin D\\2\ln x + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \ln x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra hàm số có giá trị cực tiểu là \( - \frac{1}{{2e}}\) tại \(x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\). Chọn C.

Ta có $y^{\text{'}}=-4x^3+12x,y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in \left[-1;1\right]\\ x=\sqrt{3}\notin \left[-1;1\right]\\ x=-\sqrt{3}\notin \left[-1;1\right]\end{array}\right.$. Lại có $y\left(0\right)=m;y\left(\pm 1\right)=m+5$.

Vậy $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }y=y\left(\pm 1\right)=m+5=5\iff m=0$. Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f\left(x\right)=2m+1$ có ba nghiệm phân biệt khi

$-1<2m+1<3\iff -1<m<1$. Vì m nguyên nên $m=0$. Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\), ta có:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = - 1 = \frac{a}{c}\,\, \Rightarrow \,\,a\, = - c\,\,\left( 1 \right)\).

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = 1 = - \frac{d}{c}\,\, \Rightarrow \,\,d\, = - c\,\,\,\left( 2 \right)\).

Đồ thị hàm số đi qua \(A\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\) hay \(A\left( {2;0} \right)\) \( \Rightarrow \, - \frac{b}{a} = 2\,\,\, \Rightarrow \,b = - 2a = 2c\,\,\left( 3 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\,,\,\left( 2 \right)\,\)và \(\left( 3 \right)\) ta có \(T = \frac{{a - 2b + 3d}}{c} = \frac{{ - c - 4c - 3c}}{c} = - 8\). Chọn C.

Đây là dáng điệu của hàm số bậc ba nên ta loại \(y = {x^4} + 3{x^2} + 2\) và \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\).

Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \). Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{4}{9}{x^3} - 2{x^2} + 2} \right) = + \infty ;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{4}{9}{x^3} - 2{x^2} + 2} \right) = - \infty \) nên đáp án \(y = \frac{4}{9}{x^3} - 2{x^2} + 2\) thỏa mãn. Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \Rightarrow a < 0\).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, suy ra \(d < 0\).

Ta có (do \(a < 0\)).

Vậy \(a < 0,b > 0,c > 0,d < 0\).Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \Rightarrow a < 0\).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, suy ra \(d < 0\).

Ta có (do \(a < 0\)).

Vậy \(a < 0,b > 0,c > 0,d < 0\).Chọn D.

ĐKXĐ: \(x \ne - 5m\). Ta có \(y' = \frac{{5m - 2}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}}\). Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 10} \right)\) khi và chỉ khi \(y' > 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 10} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5m - 2 > 0\\ - 5m \ge - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{2}{5}\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{5} < m \le 2.\)

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \[m \in \left\{ {1;2} \right\}\]. Chọn D.

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {x - \sin 2x} \right)^\prime } = 1 - 2\cos 2x\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}\)\[ \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{3} + 2k\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Với \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) thì phương trình\(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm\[x = \frac{\pi }{6}\] hoặc \[x = \frac{{5\pi }}{6}\].

Có \(f\left( 0 \right) = 0\);\(f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\,f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\,f\left( \pi \right) = \pi \).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \(\frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                   c) Sai,                    d) Đúng.

Tập xác định của hàm số đã cho là \[\mathbb{R}\].

Thay \[x = 0\] vào hàm số ta được \[y = 2\]. Do đó, đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \[\left( {0\,;2} \right)\].

Ta có \[y' = 3{x^2} - 3\]. Ta thấy \[y'\left( 0 \right) = - 3 \ne 0\]. Suy ra hàm số không đạt cực trị tại điểm \[x = 0\].

Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), \[y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\]. Có \[y\left( 0 \right) = 2;y\left( 2 \right) = 4;y\left( 1 \right) = 0\].

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\] bằng \[4\].

Đáp án:       a) Sai,                    b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.