44 bài tập Cấp số cộng và cấp số nhân có lời giải

Dãy số $\left(u_n\right)$ có tính chất $u_{n+1}=u_n+d$ với d không đổi thì được gọi là một cấp số cộng.

Ta thấy dãy số: $1;-3;-7;-11;-15$ là một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=1$ và công sai $d=-4$.

Chọn C.

Vì $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng nên ta có $u_2=u_1+d\iff d=u_2-u_1=8-2=6$. Chọn B.

Ta có $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng nên $2u_2=u_1+u_3$, suy ra $u_3=2u_2-u_1=-5$. Chọn D.

Ta có: $u_n=u_1+\left(n-1\right)d$. Theo đề bài ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_9=5u_2\\ u_{13}=2u_6+5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+8d=5\left(u_1+d\right)\\ u_1+12d=2\left(u_1+5d\right)+5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4u_1-3d=0\\ u_1-2d=-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ d=4\end{array}\right.$. Chọn A.

Ta có: $u_n=u_1+\left(n-1\right)d=3+7\left(n-1\right)=7n-4$;

$u_n>2018\iff 7n-4>2018\iff n>\frac{2022}{7}$. Vậy $n=289$. Chọn B.

Áp dụng công thức $S_n=\frac{n\left(u_n+u_1\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$ ta được:

$S_{10}=\frac{10\left[2+\left(10-1\right)\cdot 2\right]}{2}=100$. Chọn B.

Ta có $S_6=S_9\iff \frac{6\left(2a_1+5d\right)}{2}=\frac{9\left(2a_1+8d\right)}{2}\iff 12a_1+30d=18a_1+72d\iff a_1=-7d.$

$\Rightarrow \frac{a_3}{a_5}=\frac{a_1+2d}{a_1+4d}=\frac{-7d+2d}{-7d+4d}=\frac{5}{3}.$ Chọn C.

Ta có $S_n=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}\iff \frac{n\left[2\cdot 3+\left(n-1\right)\cdot 4\right]}{2}=253$

Ta có: $\frac{\frac{-1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{-1}{6}}=\frac{\frac{-1}{24}}{\frac{1}{12}}=\frac{\frac{1}{48}}{\frac{-1}{24}}=\frac{-1}{2}$ nên dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội $q=\frac{-1}{2}$. Chọn A.

Ta có $2046=S_n=u_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}=-6\cdot \frac{1-{\left(-2\right)}^n}{1-\left(-2\right)}=2\left[{\left(-2\right)}^n-1\right]\Rightarrow {\left(-2\right)}^n=1024\iff n=10$.

Chọn B.

Lập tỉ số $\frac{u_4}{u_1}=\frac{u_1\cdot q^3}{u_1}=\frac{16}{2}\Rightarrow q^3=8$, ta được q = 2.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_n=u_1\cdot q^{n-1}$.

Ta có: $2048=2\cdot 2^{n-1}\Rightarrow 2^{n-1}=1024=2^{10}\Rightarrow n-1=10\Rightarrow n=11$.

Khi đó, $S_{11}=2\cdot \frac{1-2^{11}}{1-2}=2\cdot 2047=4094$. Chọn B.

Ta có: $u_4=u_1\cdot q^3$ và $u_5=u_1\cdot q^4$. Chia vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được

$\frac{u_4}{u_5}=\frac{u_1\cdot q^3}{u_1\cdot q^4}=\frac{1}{q}\iff \frac{128}{32}=\frac{1}{q}\Rightarrow q=\frac{1}{4}.$

Khi đó, $u_4=u_1\cdot q^3\iff \frac{1}{32}=u_1\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\Rightarrow u_1=2.$

Vậy cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=2$ và $q=\frac{1}{4}.$ Chọn D.

Ta có: $S_{10}=\frac{\frac{1}{2}.\left(1-3^{10}\right)}{1-3}=14762$. Chọn A.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n=u_1\cdot q^{n-1}$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u}_2=2\\ u_6=32\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot q=2\\ u_1\cdot q^5=32\end{array}\right.\Rightarrow q^4=16\Rightarrow q=\pm 2$. Chọn B.

Ta có: $u_4=u_1\cdot q^3$ và $u_5=u_1\cdot q^4$. Chia vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được

$\frac{u_4}{u_5}=\frac{u_1\cdot q^3}{u_1\cdot q^4}=\frac{1}{q}\iff \frac{-108}{-324}=\frac{1}{q}\Rightarrow q=3$.

Khi đó, $u_4=u_1\cdot q^3\iff -108=u_1\cdot 3^3\Rightarrow u_1=-4.$

Vậy cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=-4$ và $q=3.$ Chọn D.

Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân, có:$u_2=u_1\cdot q\iff \frac{5}{2}=5\cdot q\Rightarrow q=\frac{1}{2}$.

Vậy cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=5$ và $q=\frac{1}{2}.$ Gọi S là tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân trên. Ta được $S=\frac{5\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^8\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1275}{128}.$ Chọn C.

Ta có $-1533=S_n=u_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}=-3\cdot \frac{1-2^n}{1-2}=3\left(1-2^n\right)\Rightarrow 2^n=512=2^9\iff n=9$.

Chọn A.

Đặt $S_1$ là giá của mét khoan đầu tiên thì $S_1=50000$ đồng.

Kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm $2,5\%$ so với giá của mét khoan ngay trước đó.

Suy ra $S_2=S_1+S_1\cdot 2,5\%=S_1\left(1+0,025\right)$.

Tương tự $S_3=S_2+S_2\cdot 2,5\%=S_2\left(1+0,025\right)$.

Vậy các giá trị $S_1,S_2,\mathrm{...},S_{45}$ lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu $S_1=50000$ và công bội

$q=1+0,025$.

Gọi T là tổng số tiền mà chủ nhà phải thanh toán khi khoan 45 m giếng, ta có:

$T=S_1+S_2+\mathrm{...}+S_{45}=50000\cdot \frac{{\left(1+0,025\right)}^{45}-1}{1+0,025-1}\approx 4075807$ (đồng). Chọn B

Ta có: $u_6=u_1+5d\iff 27=-3+5d\iff d=6$.

Vậy $u_n=u_1+\left(n-1\right)d=-3+\left(n-1\right)\cdot 6=-9+6n$.

Khi đó, $u_{10}=-9+6\cdot 10=51,u_{85}=-9+6\cdot 85=501$ và $S_{85}=\frac{85\left(u_1+u_{85}\right)}{2}=\frac{85\left(-3+501\right)}{2}=21165$.

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                   c) Đúng,      d) Đúng.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_7=26\\ u_2^2+u_6^2=466\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}2u_1+6d=26\\ {\left(u_1+d\right)}^2+{\left(u_1+5d\right)}^2=466\end{array}\right.\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=13-3d\left(1\right)\\ {\left(u_1+d\right)}^2+{\left(u_1+5d\right)}^2=466\left(2\right)\end{array}\right.$.

Thay (1) vào (2), ta được: ${\left(13-2d\right)}^2+{\left(13+2d\right)}^2=466\iff 8d^2+338=466\iff \left[\begin{array}{l}d=4\\ d=-4\end{array}\right.$.

Vì $d<0$ nên ta nhận $d=-4$, khi đó $u_1=25$.

Ta có: $u_n=u_1+\left(n-1\right)d=25+\left(n-1\right)\cdot \left(-4\right)=29-4n$. Khi đó, $u_{2024}=-8067$.

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Đúng,      d) Đúng.

Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân đã cho.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51 & & (1)}\\{{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102 & (2)}\end{array}} \right.\).

Nhận xét: Nếu \({u_1} = 0\) hay \(q = 0\) thì (1) và (2) đều không thoả mãn, vì vậy ta có \({u_1}q \ne 0\). Chia theo vế (2) cho (1), ta được: \(q = 2\).

Thay \(q = 2\) vào (1) suy ra \({u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3\).

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = 3 \cdot {2^{n - 1}}\). Khi đó, \({u_4} = 3 \cdot {2^3} = 24\).

Xét \({u_n} = 12288 \Leftrightarrow 3 \cdot {2^{n - 1}} = 12288 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{12}} \Leftrightarrow n = 13\).

Vậy 12 288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^8}} \right)}}{{1 - 2}} = 765\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                    d) Đúng.

Đặt  $u_1,u_2,u_3,u_4$ theo thứ tự là số đo bốn góc của tứ giác ABCD, gọi d là công bội của cấp số nhân $u_1,u_2,u_3,u_4\Rightarrow q=2$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+u_3+u_4=360°\\ q=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot \frac{1-q^4}{1-q}=360°\\ q=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot \frac{1-2^4}{1-2}=360°\\ q=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=24°\\ q=2\end{array}.\right.\right.$

Vậy số đo bốn góc của tứ giác ABCD là: $24°,48°,96°,192°$.

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                    d) Đúng.

Ngày thứ nhất Aladin ước 3 điều.

Ngày thứ hai Aladin ước $2\cdot 3=6$ điều.

Ngày thứ ba Aladin ước $2\cdot 2\cdot 3=2^2\cdot 3=12$ điều.

Ngày thứ tư Aladin ước $2\cdot 2^2\cdot 3=2^3\cdot 3=24$ điều.

Tiếp tục như thế, ngày thứ 10 Aladin ước $2^9\cdot 3$ điều.

Vậy sau 10 ngày Aladin đã ước: $3\left(1+2+2^2+2^3+\dots +2^9\right)=3\cdot \frac{1-2^{10}}{1-2}=3069$ điều.

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.

Số hộp sữa ở mỗi hàng từ trên xuống lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 1\), công sai \(d = 2\). Khi đó, tổng của \(n\) số hạng đầu cấp số cộng là:

\[{S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] \Leftrightarrow 900 = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]\] \( \Leftrightarrow 1800 = 2{n^2} \Leftrightarrow {n^2} = 900\). Suy ra \(n = 30\).

Vậy số hộp sữa của dãy cuối cùng là: \({u_{30}} = {u_1} + 29d = 1 + 29 \cdot 2 = 59\).

Đáp án: \(59\).

Theo tính chất của cấp số cộng, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5+15}{2}\\ \frac{x+y}{2}=15\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=20\end{array}\right.\right.$. Vậy $3x+2y=70$.

Đáp án: 70.

Số cây trên mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với số hạng đầu $u_1=1$ và công sai  d =1.

Tổng số cây trồng được là: $S_n=465\iff \frac{n\left(n+1\right)}{2}=465\iff n^2+n-930=0\iff \left[\begin{array}{l}n=30\left(\text{tm}\right)\\ n=-31\left(\text{ktm}\right)\end{array}\right.$.

Vậy số hàng cây trong khu vườn là 30 hàng.

Đáp án: 30.

Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 35 số hạng với công sai d = 4 và $u_1=18$.

Tổng số ghế là $S_{35}=u_1+u_2+\dots +u_{35}=\frac{35\cdot \left[2\cdot 18+\left(35-1\right)\cdot 4\right]}{2}=3010$.

Đáp án: 3010.

Ở phương án trả lương thứ nhất, số tiền lương mỗi năm người lao động nhận được lập thành cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 120\) triệu đồng, công sai \(d = 18\) triệu đồng.

Ở phương án trả lương thứ hai, số tiền lương mỗi quý người lao động nhận được lập thành cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = 24\) triệu đồng, công sai \(d' = 1,8\) triệu đồng.

Tổng số tiền lương người lao động nhận được trong \(n\) năm ở phương án thứ nhất là tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) và bằng:

\({S_n} = \frac{{\left[ {2 \cdot 120 + \left( {n - 1} \right) \cdot 18} \right] \cdot n}}{2} = 9{n^2} + 111n\) (triệu đồng).

Do \(1\) năm có \(4\) quý nên tổng số tiền lương người lao động nhận được trong \(n\) năm ở phương án thứ hai là tổng \(4n\) số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) và bằng:

\({S'_{4n}} = \frac{{\left[ {2 \cdot 24 + \left( {4n - 1} \right) \cdot 1,8} \right] \cdot 4n}}{2} = 14,4{n^2} + 92,4n\) (triệu đồng).

Xét bất phương trình: \(14,4{n^2} + 92,4n > 9{n^2} + 111n \Rightarrow n > \frac{{31}}{9} \approx 3,44\).

Vậy từ năm thứ \(4\) trở đi thì tổng số tiền lương nhận được trong các năm đi làm ở phương án thứ hai sẽ nhiều hơn ở phương án thứ nhất.

Đáp án: \(4\).

Ta có $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots +\frac{1}{2^{30}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \left(1-\frac{1}{2^{30}}\right)}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{30}}\Rightarrow a\cdot b=-1$.

Đáp án: - 1.