43 bài tập Phương trình và bất phương trình có lời giải

 $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=1\iff x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Chọn C.

Ta có: \({2^{2x - 4}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x - 4 = x \Leftrightarrow x = 4.\)Chọn C.

Điều kiện: \(x > 2\).

Phương trình tương đương với \(x - 2 = {3^2} \Leftrightarrow x = 11\) (thỏa mãn).Chọn A.

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\6 - 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}.\)

Ta có: \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\)\( \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x \Leftrightarrow 8x > 8 \Leftrightarrow x > 1.\)

Kết hợp với điều kiện, ta được \(1 < x < \frac{6}{5}.\)

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {1;\frac{6}{5}} \right).\)Từ đó, \(S = a + b = 1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}.\)

Lời giải ngắn gọn như sau:

\({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 6 - 5x\\6 - 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \frac{6}{5}.\)Chọn B.

Ta có: \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \frac{\pi }{{12}} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{{12}} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.\).

Vậy phương trình có nghiệm là: \[x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{4}\).

Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) là hai nghiệm.

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                   c) Đúng,      d) Đúng.

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 6 > 0}\\{x - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.\).

Ta có \({\log _3}\left( {x + 6} \right) = {\log _3}\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 6} \right) = {\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}3\)

\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 6} \right) = {\log _3}3\left( {x - 1} \right) \Rightarrow x + 6 = 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x = \frac{9}{2}\] (thoả mãn điều kiện).

Vậy phương trình (*) có nghiệm là \(x = \frac{9}{2}\).

Giải phương trình: \(\frac{{{x^2} - 11x + 9}}{{x - 1}} = 0\) ta được tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{11 \pm \sqrt {85} }}{2}} \right\}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{9}{2}} \left( {x - 3} \right) = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} \ne \frac{5}{2}\).

Ta có \({d_1}:2x - y - 8 = 0 \Leftrightarrow y = 2x - 8\).

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là: \(2x - 8 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 4\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                    d) Sai.

Ta có: \({4^{{x^2} + 5}} = {\left( {{2^2}} \right)^{{x^2} + 5}} = {2^{2\left( {{x^2} + 5} \right)}};\,\,{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{x - {x^2}}} = {\left( {{2^{ - 3}}} \right)^{x - {x^2}}} = {2^{ - 3\left( {x - {x^2}} \right)}}.\) Khi đó:

\({4^{{x^2} + 5}} \ge {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{x - {x^2}}} \Leftrightarrow {2^{2\left( {{x^2} + 5} \right)}} \ge {2^{ - 3\left( {x - {x^2}} \right)}} \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + 5} \right) \ge - 3\left( {x - {x^2}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 5\).

Vậy phương trình có \(8\) nghiệm nguyên.

Tích nghiệm lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là \(\left( { - 2} \right) \cdot 5 = - 10\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.

Với mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên mặt cầu, khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt nước tương ứng với giá trị tung độ\(y\) của điểm\(M\).

Xét phương trình:\(4,8\cos \frac{x}{9} = 3,6 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{9} = \frac{3}{4}\)

Do \(x \in \left[ { - \frac{{9\pi }}{2};\frac{{9\pi }}{2}} \right]\) nên \(\frac{x}{9} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)

Từ phương trình \(\cos \frac{x}{9} = \frac{3}{4}\) với \(\frac{x}{9} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), ta có \(\frac{x}{9} \approx \pm 0,7227\). Khi đó,\(2\left| x \right| \approx 13,0086\).

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó lớn nhất là \(13\,{\rm{m}}\)để sà lan có thể đi qua được gầm cầu.

Đáp án:\(13\).

Số tiền sau \(t\)năm mà cô Liên có là: \(S = 100 \cdot {\left( {1,06} \right)^t}\).

Xét bất phương trình: \(100 \cdot {\left( {1,06} \right)^t} > 150 \Leftrightarrow {\left( {1,06} \right)^t} > \frac{{150}}{{100}} \Leftrightarrow t > {\log _{1,06}}\left( {1,5} \right)\).

Vì \({\log _{1,06}}\left( {1,5} \right) \approx 6,96\) nên \(t > 6,96\).

Vậy sau ít nhất \(7\) năm thì số tiền cô Liên có được cả gốc và lãi nhiều hơn \[150\] triệu đồng.

Đáp án:\(7\).

Ta có \[\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\], với \[k \in \mathbb{Z}\]. Chọn D.

Ta có \(\sin x = \sin 30^\circ \)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = 30^\circ + k360^\circ \\x = 180^\circ - 30^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 30^\circ + k360^\circ \\x = 150^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Chọn A.

Ta có \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]. Chọn C.

Phương trình \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn D.

Ta có: $\cos x=-\frac{1}{2}\iff \cos x=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Chọn A.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\cos 3x\ne \text{0}\\ \cos x\ne \text{0}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có $\tan 3x=\tan x\iff 3x=x+k\pi \iff x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.$

Kết hợp điều kiện , suy ra  $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Chọn B.

Ta có:  $\tan \left(3x-15°\right)=\sqrt{3}\iff \tan \left(3x-15°\right)=\tan 60°$

$\iff 3x-15°=60°+k180°\iff x=25°+k60°\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ Chọn D.

Ta có $\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Trong đoạn $\left[-\pi ;\pi \right]$, phương trình có hai nghiệm. Chọn C.

Ta có $3\cot x-\sqrt{3}=0\iff \cot x=\frac{\sqrt{3}}{3}\iff \cot x=\cot \frac{\pi }{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ Chọn D.

Ta có $cot\left(3x-1\right)=-\sqrt{3}\iff cot\left(3x-1\right)=cot\left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff 3x-1=\frac{-\pi }{6}+k\pi \iff x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$ Chọn B.

Phương trình $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-m=2\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=m+2.$

Phương trình có nghiệm $\iff -1\le m+2\le 1\iff -3\le m\le -1$

 $\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }S=\left\{-3;-2;-1\right\}\stackrel{}{\to }T=\left(-3\right)+\left(-2\right)+\left(-1\right)=-6.$ Chọn D.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \sin x\ne 0\end{array}\right.$

 $\text{pt}\iff \frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{{\sin }^{3}x}=\frac{1}{\cos x}\iff \frac{1-\cos x}{{\sin }^{2}x\cos x}=\frac{1}{\cos x}\iff \frac{1}{1+\cos x}=1\iff \cos x=0$ (Loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn C.

Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>9\iff x<{\log }_{\frac{1}{3}}9\iff x<-2$.Vậy tập nghiệm là: $S=\left(-\infty ;-2\right)$.Chọn B.

Ta có $5^{x+2}=1\iff x+2=0\iff x=-2$. Vậy $S=\left\{-2\right\}$. Chọn D.         

Điều kiện: x > 0.

Bất phương trình tương đương với $x>5^2\iff x>25$. Chọn B.

Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$.

 ${\log }_2\left(x-2\right)=3\iff x-2=8\iff x=10$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm x = 10. Chọn D.

Ta có:$2^{x^2+2x}=8^{2-x}\iff 2^{x^2+2x}=2^{6-3x}\iff x^2+5x-6=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-6\end{array}\right.$ .

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng - 5. Chọn B.

Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x^2-3x-7}>3^{2x-21}\iff 3^{-\left(2x^2-3x-7\right)}>3^{2x-21}$$\iff -\left(2x^2-3x-7\right)>2x-21$

$\iff -2x^2+3x+7>2x-21\iff -2x^2+x+28>0\iff -\frac{7}{2}<x<4$

Do $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$.

Vậy bất phương trình đã cho có 7 nghiệm nguyên.Chọn A.

Do $\frac{\pi }{4}<1$ nên  ^{${\log }_{\frac{\pi }{4}}\left(3x+1\right)\ge {\log }_{\frac{\pi }{4}}\left(2x+5\right)$}

  $\iff \left\{\begin{array}{l}x>-\frac{1}{3}\\ x\le 4\end{array}\right.$ $\iff -\frac{1}{3}<x\le 4$.Do đó các nghiệm nguyên là:$0;1;2;3;4$ .

Vậy bất phương trình có 5 nghiệm nguyên. Chọn A.

Ta có: ${\log }_{2-\sqrt{3}}\left(2x-5\right)\ge {\log }_{2-\sqrt{3}}\left(x-1\right)\iff \left\{\begin{array}{l}2x-5\le x-1\\ 2x-5>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 4\\ x>\frac{5}{2}\end{array}\right.\iff \frac{5}{2}<x\le 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(\frac{5}{2};4\right]$. Chọn A.

Ta có: $5^{x-1}\ge 5^{x^2-x-9}\iff x-1\ge x^2-x-9\iff x^2-2x-8\le 0\iff -2\le x\le 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . Chọn A.

Ta có:  $9^x+2\cdot 3^x-3>0\iff \left(3^x-1\right)\left(3^x+3\right)>0\iff 3^x>1$ (vì ) $3^x+3>3,\forall x\in ℝ$.

$\iff x>0$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là . Chọn B.

Có $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)\iff \left[\begin{array}{c}2x-\frac{\pi }{4}=x+\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}-x+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\pi +k2\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$

 $\text{Vì }x\in \left(0;\pi \right)\text{ nên \hspace{0.17em}}x\in \left\{\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right\}$ . Ta có $\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\pi$.

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.

Ta có $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\iff \cot 3x=\cot \left(\frac{-\pi }{3}\right)\iff 3x=\frac{-\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{-\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

$-\frac{\pi }{2}<\frac{-\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}<0\left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff \frac{-7}{6}<k<\frac{1}{3}\Rightarrow k=\left\{-1;0\right\}\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=\frac{-\pi }{9}\\ x=\frac{-4\pi }{9}\end{array}.\right.$

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                   c) Đúng,      d) Đúng.

Ta có $h=\left|x\right|=\left|1,5\cos \left(\frac{t\pi }{4}\right)\right|\le 1,5$.

Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là .

Khi đó, $\cos \left(\frac{t\pi }{4}\right)=\pm 1\iff \left[\begin{array}{l}\frac{t\pi }{4}=k2\pi \\ \frac{t\pi }{4}=\pi +k2\pi \end{array}\iff \left[\begin{array}{l}t=8k\\ t=4+8k\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.\right.$. Vậy trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm $t=0,t=4,t=8$ (giây).

Khi vật ở vị trí cân bằng thì $x=0\iff 1,5\cos \left(\frac{t\pi }{4}\right)=0\iff \cos \left(\frac{t\pi }{4}\right)=0$

$\iff \frac{t\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=2+4k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm $t=2,t=6,t=10,t=14,t=18$ (giây); tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Đúng,      d) Sai.