25 bài tập Hai mặt phẳng song song – vuông góc (có lời giải)

Các mặt phẳng \((P),(Q),(R),(S)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (4;3;1)\), \({\vec n_2} = (8;6;2),{\vec n_3} = (8;6;2),{\vec n_4} = (4;2;1)\).

a) Ta có \({\vec n_2} = 2{\vec n_1},9 \ne 2.5\). Vậy \((P)//(Q)\).

b) Ta có \({\vec n_3} = 2{\vec n_1},10 = 2.5\). Vậy \((P) \equiv (R)\).

c) Ta có \(\frac{4}{4} \ne \frac{3}{2}\) suy ra \({\vec n_1}\) và \({\vec n_4}\) không cùng phương. Vậy \((P)\) cắt \((S)\).

Dễ thấy điểm \(M\) không nằm trên \((P)\). Vì \((Q)//(P)\) nên \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2;1;1)\).

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(M\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n\) là:

\(2(x - 1) + (y - 2) + (z - 3) = 0{\rm{ hay }}2x + y + z - 7 = 0.{\rm{ }}\)

Các mặt phẳng \((E),(F),(G),(H)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = (2; - 1;8)\), \({\vec n_1} = (8; - 4;32),{\vec n_2} = (6; - 3;24),{\vec n_3} = (10; - 5;41)\).

a) Ta có \({\vec n_1} = 4\vec n\) và \(7 \ne 4\). 1. Vậy \((E)//(F)\).

b) Ta có \({\vec n_2} = 3\vec n\) và \(3 = 3\). 1. Vậy \((E) \equiv (H)\).

c) Ta có \(\frac{2}{{10}} \ne \frac{8}{{41}}\) suy ra \(\vec n\) và \({\vec n_3}\) không cùng phương. Vậy \((E)\) cắt \((G)\).

Các mặt phẳng \((P),(Q),(R)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (1; - 4;3),{\vec n_2} = (4;1;0)\), \({\vec n_3} = (1;1;1)\).

Ta có \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0\). Vậy \((P) \bot (Q)\).

Ta có \({\vec n_1} \cdot {\vec n_3} = 1 \cdot 1 + ( - 4) \cdot 1 + 3.1 = 0\). Vậy \((P) \bot (R)\).

Ba vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng \((F),(H),(G)\) lần lượt là \({\vec n_1} = (3;2;5),{\vec n_2} = (1; - 4;1),{\vec n_3} = (1; - 1;3)\). Ta có duy nhất \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0\) nên \((F) \bot (H)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (2; - 1;3)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta )\).

( \(\alpha \) ) vuông góc với \((\beta )\) nên \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (2; - 1;3)\) có giá song song hoặc nằm trong \((\alpha )\).

\((\alpha )\) đi qua \(A\) và \(B\) nên \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 2;5)\) có giá nằm trong \((\alpha )\).

Hơn nữa \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 2;5)\) và \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (2; - 1;3)\) không cùng phương nên chúng là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((\alpha )\).

Do đó mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_u}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = ( - 1;13;5)\).

Vậy phương trình của \((\alpha )\) là:

\( - 1(x - 3) + 13(y - 1) + 5(z + 1) = 0{\rm{ hay }}x - 13y - 5z + 5 = 0.\)

Hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (3;2; - 1)\), \({\vec n_2} = (6;4; - 2)\). Vì \({\vec n_2} = 2{\vec n_1}\) và \(3 \ne 2\). 1 nên \(\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)\).

Các vectơ \({\vec n_1} = (4; - 3; - 2),{\vec n_2} = (5; - 2;13)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\).

Vì \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 4 \cdot 5 + ( - 3) \cdot ( - 2) + ( - 2) \cdot 13 = 0\) nên \({\vec n_1} \bot {\vec n_2}\). Vậy \(\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right)\).

Hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (2; - 1; - 3),{\vec n_2} = (6; - 3; - 9).\)

Vì \({\vec n_2} = 3{\vec n_1}\) và \({D_1} = 1 \ne 3.1 = 3{D_1}\) nên \(\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)\).

Hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (1; - 1; - 2),{\vec n_2} = (1; - 1;1)\).

Vì \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 1) + ( - 2) \cdot 1 = 0\) nên \({\vec n_1} \bot {\vec n_2}\). Vậy \(\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right)\).

a) Mp \((Oxy)\) đi qua điểm \(O(0;0;0)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = (0;0;1)\) nên có phương trình là \(z = 0\).

Mp\((Oyz)\) đi qua điểm \(O(0;0;0)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\vec i = (1;0;0)\) nên có phương trình là \(x = 0\).

Mp \((Oxz)\) đi qua điểm \(O(0;0;0)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\vec j = (0;1;0)\) nên có phương trình là \(y = 0\).

b) Mặt phẳng đi qua điểm \(A( - 1;9;8)\) và song song với mặt phẳng \((Oxy)\) thì có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = (0;0;1)\) nên có phương trình là \(z - 8 = 0\).

Mặt phẳng đi qua điểm \(A( - 1;9;8)\) và song song với mă̆t phẳng \((Oyz)\) thì có vectơ pháp tuyến là \(\vec i = (1;0;0)\) nên có phương trình là \(x + 1 = 0\).

Mặt phẳng đi qua điểm \(A( - 1;9;8)\) và song song với mặt phẳng \((Oxz)\) thì có vectơ pháp tuyến là \(\vec j = (0;1;0)\) nên có phương trình là \(y - 9 = 0\).

Hai mặt phẳng \((\alpha ),(\beta )\) có vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\vec n = (1; - 3;2),\overrightarrow {{n^\prime }}  = (5;1; - 1)\).

Ta có \(\vec n \cdot \overrightarrow {{n^\prime }}  = 1 \cdot 5 + ( - 3) \cdot 1 + 2 \cdot ( - 1) = 0\) nên \(\vec n \bot \overrightarrow {{n^\prime }} \). Do đó \((\alpha )\) vuông góc với \((\beta )\).

Mặt phẳng \((Q)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (1;3;1)\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua A, B và vuông góc với \((Q)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = (1;2;3)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (1;3;1)\). Do đó \((P)\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = ( - 7;2;1)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A(1;2; - 2)\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_P} = ( - 7;2;1)\) nên có phương trình: \( - 7x + 2y + z - (( - 7) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 2)) = 0 \Leftrightarrow 7x - 2y - z - 5 = 0\).

Các mặt phẳng trên có vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (3; - 1;1),\overrightarrow {{n_\beta }}  = (3\sqrt 2 ; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\).

Do \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \sqrt 2  \cdot \overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(1 \ne \sqrt 2  \cdot \sqrt 2 \) nên hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song với nhau.

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (5;2; - 4),\overrightarrow {{n_\beta }}  = (10;4; - 2)\) không cùng phương nên (a) và ( \(\beta \) ) không song song với nhau.

b) Ta có \(5.1 + 2.( - 3) - 4.5 + 6 =  - 15 \ne 0\). Do đó điểm \(M(1; - 3;5)\) không thuộc mặt phẳng (a).

Ta có \(10.1 + 4.( - 3) - 2.5 + 12 = 0\). Do đó điểm \({\rm{M}}(1; - 3;5)\) thuộc mặt phẳng \((\beta )\).

c) Vi (P) // ( \(\alpha \)) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (5;2; - 4)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phằng \(({\rm{P}})\) đi qua \({\rm{M}}(1; - 3;5)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (5;2; - 4)\) có phương trình là: \(5(x - 1) + 2(y + 3) - 4(z - 5) = 0\) hay \(5x + 2y - 4z + 21 = 0\).

Vì \((Q)//(P)\) nên mặt phẳng \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3; - 5;4)\).

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) là: \(3(x - 1) - 5(y + 5) + 4(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y + 4z - 28 = 0.\)

Mặt phẳng \((\alpha )\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = (4;2;2),{\vec n_\beta } = (2; - 1;1)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,{{\vec n}_\beta }} \right] = (4;0; - 8)\).

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) là: \(4(x - 1) + 0(y - 0) - 8(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2z + 1 = 0.\)

Mặt phẳng \((R)\) có cặp vectơ chỉ phương là \({\vec n_P} = (4; - 2;6),{\vec n_Q} = (2;2;2)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right] = ( - 16;4;12)\).

Phương trình mặt phẳng \((R)\) là: \( - 16(x - 1) + 4(y - 2) + 12(z + 1) = 0 \Leftrightarrow  - 4x + y + 3z + 5 = 0.\)

Vì \((P)//(Q)\) nên \(\vec n = (3; - 2;4)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vậy phương trình \((P)\) là:

\(3 \cdot (x - 4) - 2 \cdot (y + 3) + 4 \cdot (z - 7) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y + 4z - 46 = 0\).

Ta có: \({\vec n_1} = (1; - 1;0),{\vec n_2} = (0;1;1)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((Q),(R)\) và \(\left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right] = ( - 1; - 1;1)\).

Vì \((P)\) vuông góc với hai mặt phẳng \((Q),(R)\) nên vectơ pháp tuyến của \((P)\) vuông góc với cả \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\). Suy ra \(\left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right]\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\).

Vậy phương trình \((P)\) là:

\(( - 1) \cdot (x - 1) - 1 \cdot (y + 2) + 1 \cdot (z - 4) = 0 \Leftrightarrow  - x - y + z - 5 = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (3;2; - 1),\overrightarrow {{n_R}}  = (1;1; - 1)\)

Vi \(({\rm{P}}) \bot ({\rm{Q}})\) và \(({\rm{P}}) \bot ({\rm{R}})\) nên \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = ( - 1;2;1)\)

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) đi qua điểm \({\rm{M}}(1; - 1;5)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = ( - 1;2;1)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

\( - (x - 1) + 2(y + 1) + (z - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - z + 2 = 0\)

a) Xét \((\alpha ):2x - 3y + z + 5 = 0\) và \(\left( {{\alpha ^\prime }} \right): - 4x + 6y - 2z + 7 = 0\).

Ta có \(\frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - 3}}{6} = \frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{5}{7}\) nên \((\alpha )//\left( {{\alpha ^\prime }} \right)\).

b) Mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2; - 3;1)\).

Vì \((\beta )//(\alpha )\) nên \((\beta )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2; - 3;1)\).

Vậy mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm \(M(1; - 2;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2; - 3;1)\) nên có phương trình:

\(2(x - 1) - 3(y + 2) + 1(z - 3) = 0{\rm{ hay }}2x - 3y + z - 11 = 0.{\rm{ }}\)

Ba mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right),\left( {{\alpha _2}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _3}} \right)\) lần lượt có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = (3; - 2; - 1),\overrightarrow {{n_2}}  = (2;4; - 2)\) và \(\overrightarrow {{n_3}}  = (1;2; - 1)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}}  = 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 4 + ( - 1) \cdot ( - 2) = 0\) nên \(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right)\);

\(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_3}}  = 3 \cdot 1 + ( - 2) \cdot 2 + ( - 1) \cdot ( - 1) = 0\) nên \(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _3}} \right)\);

\(\overrightarrow {{n_2}}  \cdot \overrightarrow {{n_3}}  = 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + ( - 2) \cdot ( - 1) = 12 \ne 0\) nên \(\left( {{\alpha _2}} \right),\left( {{\alpha _3}} \right)\) không vuông góc với nhau.

Gọi \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (2; - 1;3)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta )\).

\((\alpha )\) vuông góc với \((\beta )\) nên \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (2; - 1;3)\) có giá song song hoặc nằm trong \((\alpha )\).

\((\alpha )\) đi qua \(A\) và \(B\) nên \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 2;5)\) có giá nằm trong \((\alpha )\).

Hơn nửa \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 2;5)\) và \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (2; - 1;3)\) không cùng phương nên chúng là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((\alpha )\).

Do đó mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = ( - 1;13;5)\).

Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: \( - 1(x - 3) + 13(y - 1) + 5(z + 1) = 0{\rm{ hay }}x - 13y - 5z + 5 = 0.{\rm{ }}\)