22 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài tập cuối chương VIII (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ^ (ABCD). Gọi M là hình chiếu của A trên SB. Khẳng định nào sau đây là đúng?AM ^ SD.
AM ^ (SCD).
AM ^ CD.
AM ^ (SBC).
D
Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BC mà BC ^ AB nên BC ^ (SAB) Þ BC ^ AM.
Mà AM ^ SB nên AM ^ (SBC).
60°.
45°.
135°.
90°.
A
![Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện [A, BC, S]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/2-1754540654.png)
Vì SA ^ (ABC) Þ SA ^ BC mà BC ^ AB nên BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB.
Lại có AB ^ BC nên \(\widehat {SBA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BC, S].
Xét DSAB vuông tại A, có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).
\(\sqrt 2 \).
\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
2.
\(2\sqrt 2 \).
A
Vì SA ^ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Do đó (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = \(\widehat {SCA}\).
Xét DSAC vuông tại A, có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).
60°.
45°.
30°.
90°.
B
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng a nên ABB'A' là hình vuông.
Do AA' ^ (A'B'C') nên A'B' là hình chiếu vuông góc của AB' lên mặt phẳng (A'B'C').
Do đó (AB', (A'B'C')) = (AB', A'B') = \(\widehat {AB'A'} = 45^\circ \).
3.
Vô số.
1.
2.
B
Qua M có vô số mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q).
(ACC'A').
(ABC'D').
(AB'D').
(BDC').
A
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên (ACC'A') ^ (ABCD).
(SBC).
(SAD).
(SCD).
(SAC).
D
Vì SB ^ (ABCD) Þ SB ^ AC mà AC ^ BD nên AC ^ (SBD) Þ (SAC) ^ (SBD).
\(a\sqrt 5 \).
\(a\sqrt 7 \).
\(a\sqrt 6 \).
\(a\sqrt 3 \).
B
Ta có \(AC' = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 7 \).
\(a\sqrt 3 \).
a.
2a.
\(a\sqrt 2 \).
D
Ta có SA ^ BC (do SA ^ (ABC)) và BC ^ AB nên BC ^ (SAB).
Kẻ AH ^ SB và AH ^ BC (do BC ^ (SAB)) Þ AH ^ (SBC).
Khi đó d(A, (SBC)) = AH.
Xét DSAB vuông tại A, AH là đường cao ta có:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \).
\(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
\(\frac{a}{2}\).
\(\frac{a}{{\sqrt 6 }}\).
\(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\).
C
Do S.ABCD là chóp đều nên SO ^ (ABCD) Þ SO ^ CD.
Gọi H là trung điểm của CD. Suy ra OH ^ CD mà SO ^ CD nên CD ^ (SOH).
Hạ OK ^ SH và OK ^ CD (do CD ^ (SOH)) nên OK ^ (SCD).
Suy ra d(O, (SCD)) = OK.
Ta có \(OH = \frac{a}{2};OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét DSOC vuông tại O, ta có \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét DSOH vuông tại O, OK là đường cao, ta có:
\(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}}\) \( \Rightarrow OK = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\).
\(\frac{{a\sqrt {12} }}{7}\).
\(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
\(\frac{a}{{\sqrt 6 }}\).
\(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\).
B
Gọi E là trung điểm của BC.
Vì DABC đều nên AE ^ BC mà AA' ^ BC (do AA' ^ (ABC)) nên BC ^ (A'AE).
Kẻ AH ^ A'E và AH ^ BC (do BC ^ (A'AE)) nên AH ^ (A'BC).
Suy ra d(A, (A'BC)) = AH.
Vì DABC đều nên \(AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét DA'AE vuông tại A, ta có \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}}\]\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
a3.
\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{9}\).
\(\frac{{{a^3}}}{2}\).
A
Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BC mà BC ^ AB nên BC ^ (SAB).
Kẻ AH ^ SB mà AH ^ BC (do BC ^ (SAB)) Þ AH ^ (SBC).
Khi đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét DSAB vuông tại A, đường cao AH, ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{2{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SA = a\).
Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 3 \), O là trọng tâm tam giác đáy, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó:
a) (SM, (ABC)) ≈ 70,9°.
b) \(SO = a\sqrt 2 \).
c) (SA, (ABC)) = (SA, OA).
d) SO ^ (ABC).
a) Do S.ABC là chóp đều nên SO ^ (ABC).
Suy ra OM là hình chiếu vuông góc của SM trên mặt phẳng (ABC).
Khi đó (SM, (ABC)) = (SM, OM) = \(\widehat {SMO}\).
Vì ABC là tam giác đều nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}\)Þ \(AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a\); \(OM = \frac{a}{2}\).
Xét DSOA vuông tại O, có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \).
Xét DSMO vuông tại O, \(\tan \widehat {SMO} = \frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{a}{2}}} = 2\sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SMO} \approx 73,9^\circ \).
b) \(SO = a\sqrt 3 \).
c) OA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (ABC).
Khi đó (SA, (ABC)) = (SA, OA).
d) SO ^ (ABC).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có AB = a; \[AA' = a\sqrt 3 \].
a) BD ^ (ACC'A').
b) (ADD') ^ (ACC'A').
c) Khoảng cách giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (ADC'B') bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
d) Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
a) ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ tứ giác đều nên ABCD là hình vuông suy ra BD ^ AC.
Có AA' ^ (ABCD) Þ AA' ^ BD.
Do đó BD ^ (ACC'A').
b) Có (ADD') Ì (ADD'A') mà (ADD'A') không vuông góc với mặt phẳng (ACC'A').
c) Có BC // B'C' Þ BC // (ADC'B') nên d(BC, (ADC'B')) = d(B, (ADC'B')).
Kẻ BH ^ AB'.
Có AD ^ (ABB'A') Þ AD ^ BH. Do đó BH ^ (ADC'B').
Do đó d(B, (ADC'B')) = BH.
Xét DABB' vuông tại B, ta có \(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{{B'}^2}}} + \frac{1}{{B{A^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
d) Ta có \[{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{2}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{1}{2}AA'.{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}a\sqrt 3 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\].
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = a, \(BC = a\sqrt 3 \), AA' = 2a.
a) Góc giữa AC' và (ABB'A') là \(\widehat {B'AC'}\).
b) Thể tích lăng trụ đã cho bằng \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
c) Hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) vuông góc với nhau.
d) Khoảng cách giữa AA' và BC' bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
a) Do ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên (ABB'A') ^ (A'B'C') mà C'B' ^ A'B' nên C'B' ^ (ABB'A').
Suy ra AB' là hình chiếu vuông góc của AC' trên mặt phẳng (ABB'A').
Khi đó (AC', (ABB'A')) = (AC', AB') \[ = \widehat {B'AC'}\].
b) \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 2a.\frac{1}{2}.a.\sqrt 3 a = {a^3}\sqrt 3 \).
c) Do ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên (BCC'B') ^ (ABC).
d) Do AA' // BB' Þ AA' // (BB'C').
Khi đó d(AA', BC') = d(AA', (BB'C')) = d(A, (BB'C')).
Vì AB ^ B'C' (BC // B'C') và AB ^ BB' nên AB ^ (BB'C').
Do đó d(A, (BB'C')) = AB = a.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a, SA ^ (ABCD) và \(SA = a\sqrt 6 \). Gọi AM, AN lần lượt là đường cao của DSAB, DSAD. Khi đó:
a) BC ^ (SAC).
b) SC ^ MN.
c) (SAC) ^ (SBD).
d) \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{7}\).
a) BC không vuông góc với mặt phẳng (SAC).
b) Có BC ^ AB mà BC ^ SA (do SA ^ (ABCD)) nên BC ^ (SAB) Þ BC ^ AM.
Vì AM ^ BC và AM ^ SB nên AM ^ (SBC) Þ AM ^ SC (1).
Có CD ^ AD và CD ^ SA (do SA ^ (ABCD)) Þ CD ^ (SAD) Þ CD ^ AN.
Vì AN ^ CD và AN ^ SD nên AN ^ (SCD) Þ AN ^ SC (2).
Từ (1) và (2) Þ SC ^ (AMN) Þ SC ^ MN.
c) Có BD ^ AC và BD ^ SA (SA ^ (ABCD)) nên BD ^ (SAC) Þ (SBD) ^ (SAC).
d) Theo câu b, có AM ^ (SBC) nên d(A, (SBC)) = AM.
Xét DSAB, có \(\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{6{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}}\)\( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Một người thiết kế một bể kính hình lăng trụ lục giác đều, có cạnh đáy bằng 20 cm, chiều cao bằng 50 cm. Người đó dùng một vòi bơm nước vào bể với tốc độ 200 cm3/s (biết 1 lít nước bằng 1000 cm3), giả sử độ dày kính và đường nối các mép kính là không đáng kể. Khi đó:
a) Bể kính là lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều.
b) Diện tích đáy của bể kính là \(40\sqrt 3 \) cm2.
c) Bể chứa được tối đa 52 lít nước (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Sau khi bơm 2 phút, mực nước trong bể cao 24 cm (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Lăng trụ lục giác đều là lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều.
b) Diện tích đáy của bể kính là \(S = 6.\frac{{{{20}^2}\sqrt 3 }}{4} = 600\sqrt 3 \) cm2.
c) Thể tích của khối lăng trụ \(V = S.h = 600\sqrt 3 .50 = 30000\sqrt 3 \) cm3 ≈ 52 lít.
d) Sau 2 phút bơm được V' = 200.120 = 24000 cm3 nước vào bể.
Chiều cao mực nước trong bể \(h' = \frac{{V'}}{S} = \frac{{24000}}{{600\sqrt 3 }} = \frac{{40\sqrt 3 }}{3} \approx 23\) cm.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AB = a. Số đo của góc nhị diện [B, DD', C] bằng bao nhiêu độ?
![Số đo của góc nhị diện [B, DD', C] bằng bao nhiêu độ? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/17-1754541424.png)
Vì DD' ^ (BCD) nên DD' ^ BD, DD' ^ CD.
Suy ra số đo góc nhị diện [B, DD', C] bằng (BD, CD) = 45°.
Trả lời: 45.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 1, AC cắt BD tại O, SO ^ (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và CD.
Gọi M là hình chiếu của O trên CD. Khi đó OM ^ CD và SO ^ OM.
Do đó d(SO, CD) = \(OM = \frac{1}{2} = 0,5\).
Trả lời: 0,5.
Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có AC' = 8, diện tích của tam giác A'BC bằng 9 và đường thẳng AC' tạo với mặt phẳng (A'BC) một góc 30°. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Gọi I là giao điểm của AC' và A'C nên I là trung điểm của AC'.
Ta thấy VA.A'BC = VC'.A'BC = VB.A'B'C' Þ VABC.A'B'C' = 3VA.A'BC.
Do đường thẳng AC' tạo với mặt phẳng (A'BC) một góc 30°.
Þ AI tạo với mặt phẳng (A'BC) một góc 30°.
Do đó d(A, (A'BC)) = AI.sin30° = \(\frac{{AC'}}{2}.sim30^\circ = 2\).
Khi đó \[{V_{A.A'BC}} = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right).{S_{A'BC}} = \frac{1}{3}.2.9 = 6\].
Vậy VABC.A'B'C' = 3VA.A'BC = 18.
Trả lời: 18.
Cho mô hình tạo khung cho rạp xiếc lưu động hình chóp cụt ABCD.A'B'C'D' có hai đáy là hình vuộng cạnh đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ. Biết thể tích khối chóp cụt trên là 5600 m3 và chiều cao bằng 6 m. Tính cạnh của đáy lớn.
Gọi x (m) là độ dài cạnh hình vuông nhỏ, suy ra 2x (m) là cạnh hình vuông đáy lớn.
Khi đó ta có \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right) = \frac{1}{3}.6.\left( {{x^2} + 4{x^2} + 2{x^2}} \right)\)Þ 14x2 = 5600 Þ x = 20 m.
Vậy chiều dài đáy lớn bằng 40 m.
Trả lời: 40.
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy ABCD. Biết đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB = a, BC = 3a, SB = 2a. Góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) là x°. Tính x2 + 100.
Do BC ^ AB và BC ^ SA nên suy ra BC ^ (SAB).
Gọi H là hình chiếu của A lên SB.
Vì AH ^ SB và AH ^ BC (vì BC ^ (SAB)) nên suy ra AH ^ (SBC).
Suy ra SH là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (SBC).
Do đó (SA, (SBC)) = (SA, SH) = \(\widehat {HSA} = \widehat {BSA}\).
Xét tam giác SAB vuông tại A, ta có \(\sin \widehat {BSA} = \frac{{AB}}{{SB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat {BSA} = 30^\circ \Rightarrow x = 30\).
Vậy x2 + 100 = 1000.
Trả lời: 1000.
