21 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 2. Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
21 câu hỏi
Cho hàm số \[y = - {x^2} + 4x + 1\]. Khẳng định nào sau đây sai?
Trên khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\], hàm số đồng biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right)\].
Trên khoảng \[\left( {3; + \infty } \right)\], hàm số nghịch biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {4; + \infty } \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;4} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Đỉnh của parabol có hoành độ: \[{x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 2\].
Vì \(a = - 1 < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].
Mà \[\left( { - \infty ;1} \right) \subset \left( { - \infty ;2} \right)\] và \[\left( {3; + \infty } \right) \subset \left( {2; + \infty } \right)\].
Vậy khẳng định D sai.
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có hàm số \(\left( P \right):\,y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a = 1\) nên \[\left( P \right)\] có bề lõm hướng lên.
Hoành độ đỉnh của parabol \({x_I} = \frac{{ - b}}{{2a}} = 1\). Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)?
\(I\left( {0;1} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( { - \frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow y = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).
Vậy \(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số \[y = {x^2} - 2x - 3\]?
Hình \[1\].
Hình \[2\].
Hình \[3\].
Hình \[4\].
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị có:
\[\left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\] có \[a = 1 > 0\] nên \[\left( P \right)\] có bề lõm hướng lên (loại hình \[2\]).
\[\left( P \right)\] có đỉnh \[I\] có \[{x_I} = 1\] (loại hình \[1\] và \[3\]).
Vậy \[\left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\] có đồ thị là hình \[4\].
Xác định các hệ số \(a\) và \(b\) để parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + 4x - b\) có đỉnh \(I\left( { - 1; - 5} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right..\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({x_I} = - 1 \Rightarrow - \frac{4}{{2a}} = - 1 \Rightarrow a = 2.\)
Hơn nữa \(I \in \left( P \right)\) nên \( - 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.\)
Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị như hình bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?
\[a > 0\], \[b > 0\], \[c > 0\].
\[a > 0\], \[b < 0\], \[c < 0\].
\[a < 0\], \[b < 0\], \[c > 0\].
\[a < 0\], \[b > 0\], \[c > 0\].
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị, nhận thấy:
* Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm quay xuống dưới nên \(a < 0\).
* Đồ thị cắt trục tung tại tung độ bằng \(c\) nên \(c > 0\).
* Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 3\) nên \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] mà theo Vi-et \[{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 2\]\[ \Leftrightarrow b = - 2a \Rightarrow b > 0\].
Vậy \[a < 0\], \[b > 0\], \[c > 0\].
Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\,:\,y = {x^2} - 4x\) với đường thẳng \(d\,:\,y = - x - 2\) là
\(M\left( {0;\, - 2} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).
\(M\left( { - 1;\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 2;\,0} \right)\).
\(M\left( {\, - 3;\,1} \right)\), \(N\left( {3;\, - 5} \right)\).
\(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).
Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là nghiệm của phương trình:
\({x^2} - 4x = - x - 2\, \Leftrightarrow \,{x^2} - 3x + 2 = 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là \(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{3}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{25}}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\Delta = {1^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) \cdot 2 = 25\).
Vì \(a = - 3 < 0\) nên hàm số có giá trị lớn nhất là: \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{25}}{{12}}\).
>
Tìm giá trị thực của tham số \(m \ne 0\) để hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - 3m - 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) trên \(\mathbb{R}.\)
\(m = 1.\)
\(m = 2.\)
\(m = - 2.\)
\(m = - 1.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1\), suy ra \(y = - 4m - 2\).
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) khi và chỉ khi \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 4m - 2 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\).
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = 4{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,0} \right]\) bằng \(3\). Tổng \(T\) các phần tử của \(S\) là
\(T = 3\).
\(T = \frac{1}{2}\).
\(T = \frac{9}{2}\).
\(T = - \frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có đỉnh \(I\left( {\frac{m}{2};\, - 2m} \right)\).
Do \(m > 0\) nên \(\frac{m}{2} > 0\). Khi đó hoành độ đỉnh \({x_I} \notin \left[ { - 2;\,0} \right]\).
Ta có bảng biến thiên:
![Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) = 4 x 2 − 4 m x + m 2 − 2 m trên đoạn [ − 2 ; 0 ] bằng 3 . Tổng T các phần tử của S là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1753876628/1753876696-image6.png)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,0} \right]\) là \(y\left( 0 \right) = 3\) tại \(x = 0\).
Ta có \(y\left( 0 \right) = {m^2} - 2m = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m_1} = 3\\{m_2} = - 1 < 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow S = \left\{ 3 \right\}\).
Parabol\(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua ba điểm \(A\left( {0; - 1} \right)\), \(B\left( {1; - 1} \right)\), \(C\left( { - 1;1} \right)\) có phương trình là
\(y = {x^2} - x + 1\).
\(y = {x^2} - x - 1\).
\(y = {x^2} + x - 1\).
\(y = {x^2} + x + 1\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(A,B,C \in (P)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c\\ - 1 = a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c\\1 = a \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + b \cdot \left( { - 1} \right) + c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = - 1\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x - 1\).
Xét đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 4x - 5\).
a) Có toạ độ đỉnh \(I\left( {2;9} \right)\).
b) Trục đối xứng là \(x = 2\).
c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(C\left( {0\,; - 5} \right)\).
d) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là \(A\left( { - 1\,;0} \right)\) và \(B\left( {5\,;0} \right)\).
Lời giải
a) Sai. Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}}\, = \,2;\,\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \, - 9.\) Đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x - 5\)có đỉnh \(I\left( {2; - 9} \right).\)
b) Đúng. Đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x - 5\) có trục đối xứng là \(x = 2.\)
c) Đúng. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung: \({x_0}\, = \,0\, \Rightarrow {y_0}\, = \, - 5\, \Rightarrow \,C\left( {0;\, - 5} \right)\,.\)
\ ({x^2} - 4x - 5 \, = \, 0 \, \ leftrightarrow \, \ left [{\ start
Cho parabol \(y = {x^2} - 4x + 3\).
a) Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x = 2\).
b) Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {2; - 3} \right)\).
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 2\).
d) Parabol cắt trục \(Ox\) tại hai điểm \(A,\;B\). Khi đó diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(1\).
Lời giải
a) Đúng. Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2\).
b) Sai. Ta có \(x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = - 1\). Do đó \(I\left( {2; - 1} \right)\).
c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y\left( 2 \right) = - 1\).
d) Đúng. Ta có \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \Rightarrow A\left( {1;0} \right)}\\{x = 3 \Rightarrow B\left( {3;0} \right)}\end{array}} \right.\).
Ta có \({S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}d\left( {I,AB} \right) \cdot AB = \frac{1}{2}d\left( {I,Ox} \right) \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\).
Một cầu thủ bóng chuyền đón bóng bước 1, quả bóng nảy lên và chuyển động với vận tốc ban đầu
\({v_0}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) theo quỹ đạo là một đường parabol. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho tọa độ quả bóng ở thời điểm quả bóng bắt đầu nảy lên khỏi cánh tay của cầu thủ là \(\left( {0;{y_0}} \right)\), \({y_0}\) là độ cao của quả bóng so với mặt sân. Gọi \(\alpha \) là góc hợp bởi hướng nảy lên của quả bóng so với phương ngang thì quỹ đạo chuyển động của quả bóng có phương trình là \(y = \frac{{ - 4,9{x^2}}}{{v_0^2{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha \cdot x + {y_0}\).
Giả sử quả bóng nảy lên với vận tốc ban đầu \({v_0} = 7\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) ở độ cao \({y_0} = 0,8\,\left( {\rm{m}} \right)\).
a) Quỹ đạo chuyển động của quả bóng là \(y = \frac{{ - 0,1}}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot {x^2} + \tan \alpha \cdot x + 0,8\).
b) Nếu \(\alpha = 30^\circ \), sau 2 giây quả bóng ở độ cao trên \(1,7\left( {\rm{m}} \right)\).
c) Nếu \(\alpha = 60^\circ \), quả bóng sẽ đạt độ cao tối đa là \(3\left( {\rm{m}} \right)\).
d) Nếu \(\alpha = 60^\circ \) và không có cầu thủ nào đón bóng bước 2 thì quả bóng sẽ chạm mặt sân cách vị trí tiếp xúc với cánh tay cầu thủ đón bóng bước 1 một khoảng là \(4,818\left( {\rm{m}} \right)\).
chữ viết tắt: lớn
Lời giải
a) Đúng. Thay \({v_0} = 7,{y_0} = 0,8\) vào công thức \(y = \frac{{ - 4,9{x^2}}}{{v_0^2{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha \cdot x + {y_0}\)
ta được \(y = \frac{{ - 0,1}}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot {x^2} + \tan \alpha \cdot x + 0,8\).
b) Sai. Với \(\alpha = 30^\circ \), ta có \(y = \frac{{ - 0,4}}{3} \cdot {x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot x + 0,8\).
Thay \(x = 2\) vào ta được \(y \approx 1,42\left( {\rm{m}} \right)\).
c) Sai. Với \(\alpha = 60^\circ \), ta có \(y = - 0,4 \cdot {x^2} + \sqrt 3 \cdot x + 0,8\).
Suy ra \({y_{\max }} = \frac{{107}}{{40}} = 2,675\left( {\rm{m}} \right)\) khi \(x = \frac{{5\sqrt 3 }}{4}\).
d) Đúng.
Với \(\alpha = 60^\circ \), ta có \(y = - 0,4 \cdot {x^2} + \sqrt 3 \cdot x + 0,8\).
Quả bóng chạm đất thì \( - 0,4 \cdot {x^2} + \sqrt 3 \cdot x + 0,8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{\sqrt {107} + 5\sqrt 3 }}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \frac{{ - \sqrt {107} + 5\sqrt 3 }}{4}\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.\).
Gọi \(A,B\) lần lượt là vị trí bóng tiếp xúc với tay cầu thủ và vị trí bóng chạm mặt sân.
Ta có \(OA = {y_0} = 0,8\); \(OB = \frac{{\sqrt {107} + 5\sqrt 3 }}{4}\).
Vị trí quả bóng rơi xuống sân cách vị trí tiếp xúc với cánh tay cầu thủ đón bóng bước 1 một khoảng là: \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} \approx 4,818\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\;\left( P \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
a) \(a > 0\).
b) \(c > 0\).
c) \(a - 2b + c = 9\).
d) Đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 5\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Lời giải
a) Đúng. Vì bề lõm của parabol quay lên nên \(a > 0\).
b) Sai. Khi \(x = 0\) thì \(y = - 1 \Rightarrow c = - 1 < 0\).
c) Sai. Khi \(x = 1\) thì \(y = - 2 \Rightarrow a + b + c = - 2\).
Khi \(x = 2\) thì \(y = 1 \Rightarrow 4a + 2b + c = 1\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = - 1}\\{a + b + c = - 2}\\{4a + 2b + c = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 3}\\{c = - 1}\end{array}} \right.\).
Suy ra: \(a - 2b + c = 7\).
d) Đúng. Từ câu c), suy ra \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 3x - 1\).
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\):
\(2{x^2} - 3x - 1 = x + 5 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).
Vậy đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 5\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 6x - 5\).
a) Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 5\).
b) Đỉnh của đồ thị hàm số đã cho là \(I\left( {2;3} \right)\).
c) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3\).
d) Đường thẳng \(d:y = 4x - m\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt khi \(m > 4\).
Lời giải
a) Đúng. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(A\left( {0; - 5} \right)\).
b) Sai. Đỉnh của đồ thị hàm số là điểm \(I\left( {\frac{{ - b}}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right) = I\left( {3;4} \right)\).
c) Sai. Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 5\), có \(a < 0\) nên giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - {x^2} + 6x - 5\) là \(y = f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right) = f\left( 3 \right) = 4\).
d) Đúng. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị \(\left( P \right)\) là:
\( - {x^2} + 6x - 5 = 4x - m \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 5 - m = 0\) \(\left( 1 \right)\)
Vậy đường thẳng \(d:y = 4x - m\) cắt đồ thị \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - 5 + m > 0 \Leftrightarrow m > 4.\)
Một vật chuyển động có vận tốc \(({\rm{m}}/{\rm{s}})\) được biểu diễn theo thời gian \(t(\;{\rm{s}})\) bằng công thức \(v\left( t \right) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10\). Vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu (đơn vi: m/s)?
Lời giải
Vật chuyển động có công thức vận tốc dạng hàm số bậc hai.
Ta có \(t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot \frac{1}{2}}} = 4 \Rightarrow {v_{\min }} = \frac{1}{2} \cdot {4^2} - 4 \cdot 4 + 10 = 2\,({\rm{m/s)}}\).
Vậy vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[2\,{\rm{m/s}}\].
Đáp án: 2.
Biết rằng hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] đạt giá trị lớn nhất bằng \[ - 4\] tại \[x = 2\] và đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left( {0; - 5} \right)\]. Giá trị của biểu thức \[T = a + b - c\] bằng bao nhiêu?
Lời giải
Hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] đạt giá trị lớn nhất bằng \[ - 4\] tại \[x = 2\] và đồ thị hàm số đi qua \[A\left( {0; - 5} \right)\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a \cdot {2^2} + 2b + c = - 4\\a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\4a + b = 0\\4a + 2b + c = - 4\\c = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{4}\\b = 1\\c = - 5\end{array} \right.\].
Khi đó, ta có \(T = a + b - c = - \frac{1}{4} + 1 + 5 = 5,75.\)
Đáp án: \(5,75\).
Cổng vòm hoa tại một lễ cưới có hình dạng là đường parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng vòm hoa là \(3,2\,{\rm{m}}\). Tại vị trí trên cổng vòm hoa có độ cao \(2\,{\rm{m}}\) so với mặt đất người ta thả một sợi dây chạm đất cách chân \(A\) của cổng vòm hoa một đoạn \(1\,{\rm{m}}\) (như hình vẽ). Tính chiều cao của cổng vòm hoa (theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.
Khi đó đường parabol \(\left( P \right)\) có phương trình dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) sẽ đi qua ba điểm có tọa độ là \(\left( { - 1,6;0} \right)\), \(\left( {1,6;0} \right)\) và \(\left( { - 0,6;2} \right)\).
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 = a \cdot {\left( { - 1,6} \right)^2} + b \cdot \left( { - 1,6} \right) + c\\0 = a \cdot {\left( {1,6} \right)^2} + b \cdot \left( {1,6} \right) + c\\2 = a \cdot {\left( { - 0,6} \right)^2} + b \cdot \left( { - 0,6} \right) + c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{10}}{{11}}\\b = 0\\c = \frac{{128}}{{55}}\end{array} \right.\).
Suy ra phương trình đường parabol \(\left( P \right)\) là \(y = - \frac{{10}}{{11}}{x^2} + \frac{{128}}{{55}}\).
Giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục \(Oy\) là đỉnh \(I\left( {0;\frac{{128}}{{55}}} \right)\).
Vậy chiều cao của cái cổng là \(OI = \frac{{128}}{{55}} \approx 2,33\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Đáp án: \(2,33\).
Một nhà hát có sức chứa 800 người. Với giá vé 40 nghìn đồng trung bình sẽ có 300 người đến nhà hát mỗi ngày. Để tăng doanh thu, nhà hát đã khảo sát thị trường và thấy rằng nếu giá vé cứ giảm 10 nghìn đồng sẽ có thêm 100 người đến mỗi ngày. Gọi \(A\) nghìn đồng là giá vé để doanh thu từ tiền bán vé của nhà hát là lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức \({A^2} + 2025\).
Lời giải
Gọi giá vé bán của nhà hát là \(x\) (\(0 < x < 40\)).
Khi đó số tiền giảm giá vé so với giá cũ 40 nghìn đồng là \(\left( {40 - x} \right)\) nghìn đồng.
Số người đến nhà hát tăng thêm mỗi ngày: \(\frac{{40 - x}}{{10}} \cdot 100 = 10\left( {40 - x} \right) = 400 - 10x\).
Số người đến nhà hát mỗi ngày: \(300 + 400 - 10x = 700 - 10x\).
Doanh thu từ tiền bán vé của nhà hát bằng \(f\left( x \right) = x\left( {700 - 10x} \right) = - 10{x^2} + 700x\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc hai, đạt giá trị lớn nhất tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{700}}{{2 \cdot \left( { - 10} \right)}} = 35\).
Do đó để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất thì giá vé của nhà hát là \(A = 35\) .
Giá trị biểu thức \({A^2} + 2025 = {35^2} + 2025 = 3250\).
Đáp án: 3250.
Một cửa hàng bán bưởi da xanh với giá bán mỗi quả là 60 000 đồng. Với giá bán này thì mỗi ngày cửa hàng chỉ bán được 30 quả. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 1 000 đồng thì số bưởi bán tăng thêm được là 10 quả. Xác định giá bán (đơn vị: nghìn đồng) để cửa hàng thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi quả là 35 000 đồng.
Lời giải
Gọi \[x\] là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi da xanh (\[x\]: đồng, \[35\,000 \le x \le 60\,000\]).
Tương ứng với giá bán là \[x\] thì số quả bán được là:
\[30 + \frac{{10}}{{1\,000}}\left( {60\,000 - x} \right) = - \frac{1}{{100}}x + 630\].
Gọi \[f\left( x \right)\] là hàm lợi nhuận thu được (\[f\left( x \right)\]: đồng), ta có:
\[f\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{100}}x + 630} \right) \cdot \left( {x - 35000} \right) = - \frac{1}{{100}}{x^2} + 980x - 22\,050\,000\].
Lợi nhuận thu được lớn nhất khi hàm \[f\left( x \right)\] đạt giá trị lớn nhất trên \[\left[ {35000\,;60000} \right]\].
Ta có: \[f\left( x \right) = - {\left( {\frac{1}{{10}}x - 4\,900} \right)^2} + 1\,960\,000 \le 1\,960\,000,\,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {35\,000\,;60\,000} \right]\]
\[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {35\,000\,;60\,000} \right]} {\rm{ }}f\left( x \right) = f\left( {49\,000} \right) = 1\,960\,000\].
Vậy với giá bán \[49\] nghìn đồng mỗi quả bưởi thì cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất.
Đáp án: 49.
